1.2 空间向量基本定理

.2空间向量基本定理基础过关练题组一空间向量基本定理及相关概念的理解1.(多选)(2022福建三明尤溪第五中学月考)给出下列命题,其中正确的有()A.空间任意三个向量都可以作为一个基底B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线C.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底2.(2021山东济宁检测)已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,则不能与a,b共同构成空间向量的一个基底的向量是()A.OAB.OBC.OCD.以上都不能3.(2022吉林白城一中段考)已知M,A,B,C四点互不重合且无三点共线,则能使向量MA,MB,MC成为空间的一个基底的关系是()A.OMB.MA=MB+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个题组二空间向量基本定理的应用——用空间的基底表示空间向量5.(2020安徽淮北一中期中)已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量OA=a,OB=b,OC=c,则OP=()A.16B.13C.16D.136.已知a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=αa+βb+λc,则α,β,λ的值分别为.

7.(2020江苏扬州邗江中学期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知A1A=a,A1B1=b,A1D1=c,O为底面ABCD的中心,G为△D8.(2022湖北武汉育才高级中学月考)如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,延长AG交BC于M,E是BD上一点,BE=3ED,以{AB,AC,AD}为基底表示GE,则GE=.

题组三利用空间向量基本定理解决立体几何问题9.化学中,将构成粒子(原子、离子、分子等)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点),则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为.

10.(2022河北石家庄冀明中学月考)在正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AB的中点,设AB=a,AC=b,AD=c,用a,b,c表示向量DM,则DM=,异面直线DM与CN所成角的余弦值为.

11.(2021山东师大附中月考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=3,AB=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°,设CD=a,CB=b,CC(1)试用a,b,c表示A1(2)已知O为体对角线A1C的中点,求CO的长.

12.(2022黑龙江绥化肇东四中期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EFG∥平面ABD.

答案全解全析基础过关练1.BD空间中共面的三个向量不能作为基底,故A错误;两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,说明a,b与任何一个向量都共面,故a∥b,故B正确;空间向量的基底不唯一,只要是不共线的三个向量都可以作为基底,故C错误;{a,b,c}是空间的一个基底,即a,b,c不共面,由m=a+c知m,a,c共面,故b与m,a不共面,则{a,b,m}是空间的一个基底,故D正确.故选BD.2.COC=12(OA+OB+OC)-12(OA+OB-OC)=12∴OC不能与a,b共同构成空间向量的一个基底.易知OA,OB均能与a,b共同构成空间向量的一个基底.故选C.3.C只有不共面的向量才可以构成空间的一个基底.对于A,由OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),知M,A,B,C四点共面,故MA,MB,MC共面;对于B,D,由共面向量定理知MA,MB,MC共面.故选C.4.C借助长方体进行判断,如图,可知向量a,b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共面,x,y,a+b+c不共面,故选C.方法归纳判断给出的某一个向量组中的三个向量能否构成基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.5.C连接ON,OP=23ON+13OM=23×12(OB+OC)+1313OC=16a+16.答案52,-1,-解析由题意知e1+2e2+3e3=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+λ(e1-e2+e3)=(α+β+λ)e1+(α+β-λ)e2+(α-β+λ)e3,∴α+β7.答案-23a+12b+解析连接OG,则AG=AO+OG=12(AB+AD)+13(OD1+OC11312(BA+BC)+DD1+12(AB+AD)+CC1=12AB12A1B1+56A8.答案-112AB-1解析连接AE.因为G为△ABC的重心,所以AG=23AM.因为BE=3ED,所以BE=34BD.所以GE=AE-AG=AB+34BD-23AM=AB+312(AB+AC)=-112AB-19.答案1解析设立方体的棱长为a.取{A1B1,A1D1,A1A}为空间向量的一个基底,其中<A1B1BF=AF-AB=12AD-AB=12A1D1-A1B1,设BF与B1E所成角为θ,则cosθ=|cos<BF,B1E=14A1D1214A10.答案12a+12解析连接AM,则DM=DA+AM=-AD+12(AB+AC)=12a+CN=AN-AC=12AB-AC=设正四面体的棱长为1.易知|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=12设异面直线DM与CN所成角为θ,则cosθ=|cos<DM,CN>|=12a+12b-11.解析(1)A1C=A1A+AD+DC=-AA1+BC-CD=-(2)由题意知|a|=2,|b|=2,|c|=3,a·b=0,a·c=2×3×12=3,b·c=2×3×1∵CO=12CA∴|CO|=1=1=14×(12.证明(1)易得B1D=B1C1+C1D=B1C1+12∵B1D·BA=B1B1D·BD=B1C1+1∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.(2