1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系基础过关练题组一直线的方向向量和平面的法向量1.(2020北京一零一中学期中)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)2.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的一个法向量为.

3.已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12

题组二空间中直线、平面的平行问题4.(2021海南北京师范大学万宁附属中学月考)若直线m的方向向量为a,平面α的法向量为μ,m⊄α,则能使m∥α的是()A.a=(1,0,0),μ=(-2,0,0)B.a=(1,-1,3),μ=(0,3,1)C.a=(0,2,1),μ=(-1,0,1)D.a=(1,3,5),μ=(1,0,1)5.(2022山东临沂平邑一中月考)已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),向量AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α与平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能6.(2021海南海口海南中学期中)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=15C.x=8题组三空间中直线、平面的垂直问题7.(2022安徽师大附中期中)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1与l2的位置关系是()A.l1⊥l2B.l1∥l2C.l1、l2相交但不垂直D.不能确定8.(2022吉林白城大安六中期中)已知直线l的一个方向向量d=(2,3,5),平面α的一个法向量u=(-4,m,n),若l⊥α,则m=,n=.

9.(2020陕西西安中学期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证:(1)BD1⊥平面AB1C;(2)平面EAC⊥平面AB1C.

能力提升练题组一用空间向量研究平行、垂直问题1.(多选)(2022山东潍坊第四中学月考)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是()A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2B.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥βC.直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量u=(6,4,-1),则l⊥αD.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量u=(0,-5,0),则l∥α2.(2021天津十三中月考)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为()A.(1,1,1)B.2C.23.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证:(1)平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)C1F∥平面ABE.题组二用空间向量解决立体几何中的探索性问题4.(2020天津一中月考)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B内(含边界),若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为()A.8B.4C.825.(2021天津第四十二中学月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊥BC,AA1=AB=BC=2.(1)求证:BC1⊥平面A1B1C;(2)点M在线段B1C上,且B1MB1C=13,在线段A

答案全解全析基础过关练1.A由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线,故选A.2.答案(1,1,1)(答案不唯一)解析设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).由题意知AB=(-1,1,0),BC=(1,0,-1).所以n·3.解析由已知得SA,AB,AD两两垂直,∴以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.∵SA=AB=BC=1,AD=12∴S(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),D12∴SD=12,0,-1,SC易知平面SAB的一个法向量为AD=12设平面SDC的法向量为m=(x,y,z),则m·∴平面SDC的一个法向量为m=(2,-1,1).解后反思求解平面的法向量时,如果题目中已经给出坐标,可以直接利用坐标运算来求解法向量,如果题目中未给出坐标,需先分析条件,利用共点的相互垂直的三条直线建立恰当的空间直角坐标系,再利用坐标运算求解法向量.4.B若m∥α,则a⊥μ,即a·μ=0.对于A,C,D,a·μ均不为0,不满足条件;对于B,a·μ=0-3+3=0,满足条件.故选B.5.A因为n1·AB=0,n1·AC=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行.故选A.6.D因为l1∥l2,所以a∥b,所以32=x4=y57.A由题意得a·b=-2+6-4=0,∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故选A.8.答案-6;-10解析∵l⊥α,∴d∥u,又d=(2,3,5),u=(-4,m,n),∴-42=m39.证明以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2).(1)易得AC=(-2,2,0),AB1=(0,2,2),设平面AB1C的法向量为m=(x,y,z),则m·∴m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量.∵BD1=-2m,∴BD1∥m,∴BD(2)易得AE=(-2,0,1).设平面EAC的法向量为n=(x',y',z'),则n·∴n=(1,1,2)是平面EAC的一个法向量.由(1)知m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量.∵m·n=1+1-2=0,∴平面EAC⊥平面AB1C.能力提升练1.AB因为b=-a,且直线l1,l2不重合,所以l1∥l2,故A中结论正确;因为u·v=2×(-3)+2×4+(-1)×2=0,所以α⊥β,故B中结论正确;因为a·u=1×6+(-1)×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l⊂α,故C中结论错误;因为u=-532.C连接OE.设点M的坐标为(x,y,1).因为AC∩BD=O,所以O22又E(0,0,1),A(2,2,0),所以OE=-22,-22,1因为AM∥平面BDE,所以OE∥AM,所以x-2所以点M的坐标为223.证明以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=a,AB=b,BB1=c,则B(0,0,0),A(0,b,0),C1(a,0,c),Fa2,0(1)易得AB=(0,-b,0),AE=a2设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则n·AB令x=2,则y=0,z=-ac,∴n=2易知平面B1BCC1的一个法向量n'=(0,1,0).∵n'·n=2×0+0×1+-a∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)易得C1F=由(1)知平面ABE的一个法向量为n=2,∵n·C1F=0,∴又∵C1F⊄平面ABE,∴C1F∥平面ABE.4.D以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0).设M(4,a,b)(a,b∈[0,4]),则D1M=(4,a,b-4),∵D1M⊥CP,∴D1M·∴|BM|=(=5a2-∴当a=125时,|BM|取得最小值4∴S△BCM的最小值为455×4×125.解析(1)证明:由题意得BC1⊥B1C,BB1⊥A1B1,A1B1⊥B1C1.∵BB1∩B1C1=B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1,∵BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1.∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1C.(2)以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.则A(0,2,0),C(2,0,0),C1(2,0,2),B(0,0,0),A1(0,2,2),M23,0,