量子力学中文复习课

量子力学中文复习课12通知3月27日（星期三）复习授课内容4月1日（星期一）期中考试4月3日（星期三）期中考试试题解答3量子力学的基础：建立在实验基础上并需由实验来检验科学的特征之一：可证伪性量子理论发展阶段：1900—1923年：旧量子论1924—1927年：量子力学1927—现在：量子电动力学、量子场论、……量子信息科学、……学习量子力学的困难：(也见下页）—缺乏（通常意义上的）直观性（“宏观”人的观察）—难于用语言恰当描述有些概念、观点、理论、……—从小到大的教育和观察都是“经典”知识和概念4实用观点：先接受概念和理论——运用——回头再思考其正确性各学习阶段的不同：中学—大学初级课程—深入课程重要特征：时延性增长—很难当堂听懂尽快课后复习的重要性做大量习题：索末菲《致海森堡》“要勤奋地去做练习，只有这样，你才会发现，哪些你理解了，哪些你还没有理解。”钱学森《科学技术工作的基本训练》“理论工作中主要是靠做习题来练，不做习题是练不出本领来的。”关于如何学习量子力学5辉煌经典力学牛顿3个定律拉格朗日表述或哈密顿表述

牛顿万有引力定律包括约束条件电磁学(包括光)麦克斯韦方程组位移电流（1864）惠更斯的光波动理论电磁波实验赫芝1887-88年热力学和统计物理……,麦克斯韦玻尔兹曼吉布斯困难：不能解释若干实验现象，例如，黑体辐射、光电效应、固体比热、原子稳定性及其线状光谱、……量子力学就是在解决这些困难的过程中逐步发展起来核心思想一切微观客体具有波粒二象性经典物理学的辉煌与困难6光的波动性早知道：惠更斯波动理论。光的干涉、衍射等现象黑体辐射物体——辐射+吸收电磁波(绝对)黑体——吸收所有入射电磁波黑体辐射研究辐射与周围物体处于热平衡时电磁波能量按波长或频率的分布光的粒子性典型实验：黑体辐射、光电效应、康普顿效应、……Rayleigh-Jeans理论(1900年)

态密度+能均分定理

Wien公式（经验公式-实验总结，1896年）

非经典理论光的波粒二象性7光电效应光电效应1887年，Hertz发现紫外光照射火花隙的阴极时，放电容易些—1899年，Lenard证明紫外光照射金属表面时有电子(光电子)逸出——红限()——瞬刻性()——光电子正比于光强——最大光电子动能与光的强度无关，但

Einstein（1905年）光量子假说:电磁波辐射、吸收和传播都具有粒子性Einstein关系

粒子性

波动性Einstein方程W逸出功密立根(为否定做)实验(1914年)：实验证明了上式并测量了h原子的稳定性和线状光谱——Bohr理论稳定性问题——原子中电子圆运动=>电磁辐射=>没有稳定原子原子线状光谱问题——经典物理理论得到连续光谱。但是实验得到线状光谱.广义Balmer公式Rydberg常数：Balmer公式-1885年-Bohr出生Bohr理论假定——定态

——跃迁

——角动量量子化

Sommerfeld推广10deBroglie假说(1924年)微观粒子具有波动性并满足(deBroglie)关系deBroglie关系

粒子性

波动性1927年Davisson&Germer电子衍射实验证明了电子的波动性1927年小汤拇孙等电子衍射实验再次证明了电子的波动性、……其后实验证明所有微粒都具有波动性微观客体都具有的波粒二象性—量子力学逐步发展11“宏观物体只表现出粒子性”波动光学几何光学→

<<d:h

→0:量子物理→经典物理子弹：m=0.01kg，v=300m/s=1.225Å电子的波长:微尘：m=10-13kg，v=0.01m/sV=100伏，m=9.1×10-31kg（其数量级和X射线波长的数量级相同）因普朗克常数极其微小，子弹的波长小到实验难以测量的程度。它们只表现出粒子性，并不是说没有波动性。12例

从德布罗意波导出氢原子玻尔理论中角动量量子化条件。解：在一根两端固定的弦线上产生驻波的条件为：反射点无半波损失时对于由弦线构成的圆环，产生稳定驻波的条件为：从微观粒子具有波粒二象性来看，电子绕原子核作稳定的圆形轨道运动，就相当于电子波在此圆周上形成稳定的驻波。即只有电子的物质波绕核形成驻波的情况下，才具有稳定结构。必须满足：为电子的德布罗意波长。rλ13态叠加原理：如果是系统可能的状态，则它们的线性叠加态也是系统的的一个可能状态。其中是复数。为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。注意量子力学的态叠加原理与经典的波叠加原理有差别量子力学的态叠加原理可只涉及一个粒子的波动性。例如一个粒子的态的解释下面的单光子Mach-Zehnder（马赫—曾德尔）干涉仪的实验清楚说明了这一事实！态叠加原理14本章小结1光的波粒二象性:黑体辐射,光电效应,康普顿散射2玻尔的氢原子理论:定态,量子跃迁,量子化条件3实物粒子的波粒二象性:爱因斯坦-德布罗意关系4德布罗意波(物质波)的实验验证15微观粒子具有波粒二象性与经典物理的粒子概念不同需要不同的描述方式经典物理质点动力学：牛顿方程：初始条件主要结论：位置和动量是状态量；轨道概念，因果律微观粒子具有波粒二象性没有轨道概念了！量子力学中需用

波函数取代位置动量（状态量）

薛定谔方程取代牛顿方程如何描述一个微观粒子的运动16SchrödingerEq.薛定谔方程是量子力学的基本假设。正确性—由实验检验。1、Ψ称为波函数2、它是非相对论性方程3、因果律4、推广到多粒子系统5、另一种描述方式Heisenberg描述（1925年）。1887年生、1926年提出、1933年奖薛定谔方程17不含时薛定谔方程当势能项不显含t的时候，V(r,t)=V(r)波函数的统计解释（Born1926年，1954年奖）粒子在空间中某点r附近dτ体积微元中出现的几率正比于。注：波动性是与一个粒子联系，不是多粒子效应。几率波强度决定粒子出现在空间某处的概率，不能决定它何时处于空间某处。没有轨道的概念了！18波函数它描述系统的状态，它是复函数几率密度

Ψ与cΨ（)描述同样状态。可归一性归一化波函数仍然可差一个常相位因子它满足标准化条件——单值、有限、连续（包括一阶空间导数）19逸出功~几电子伏~几埃势能是物理模型：金属中的电子忽略：1)多维——容易推广2)多电子效应3)周期势——固体物理内容4)室温时，可认为是无限深势该简化模型能够说明若干量子特征并说明了求解薛定谔方程的一般步骤一维无穷深势阱一维无限深势阱势能是一维定态薛定谔方程粒子不能在阱外，所以时在阱内（），定态薛定谔方程为其一般解是归一化条件边界条件21一维无限深势阱22一维无限深势阱23存在问题通解应该为exp(ikx)和exp(-ikx)，或者sin(kx)和cos(kx)的线形组合，很多同学只写了Asin(kx)有很多同学算sin(pix)的时候，未在计算器上改为弧度。一维无限深势阱定态能量是1）能量量子化，基态能量不为零！2）定态波函数3）驻波条件4）经典对应2526隧穿效应（tunneleffect）粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。它是粒子具有波动性的表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。上图给出了势垒穿透的波动图象。0aV(x)xV0入射波+反射波透射波狮子的能量大于U才能出来！不好，狮子出来啦！经典理论量子理论救命UU28一维方势垒的透射29一维方势垒的透射E=V时，透射系数为多少？E-V=0，T=0???30一维方势垒的透射取极限：例1:入射粒子为电子。设me=9.11×10-31kg，E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2Å，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5Å，则T≈0.024，可见透射系数迅速减小。质子与电子质量比

μp/μe≈1840。对于a=2Å

则T≈2×10-38。可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功地说明了放射性元素的α衰变现象。例2:入射粒子换成质子。(1)扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一项技术上的重大发明，用于观察表面的微