6.4.1 平面几何中的向量方法（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.4.1平面几何中的向量方法(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知正方形ABCD的边长为1，则=（）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，因为正方形的边长为，则，因为，所以，故选:C．2．在△ABC中，=（2，3），=（1，k）,若△ABC为直角三角形，则k的值为（）A．－ B． C．－或 D．－、或【答案】D【解析】当A为直角时，=0，所以，当B为直角时，=0，=0,所以，当C为直角时，=0，=0,所以，综上，故选:D.3．中，，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】C【解析】因为中，，则，即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形,故选:C4．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则()A．-6 B．12 C．6 D．-12【答案】A【解析】由在边上且，为的中点，，，.故选:A.5.在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，所以又，可知所以化简可得又，，所以则即，又在递增,所以,故故选：A二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(

)A.若AM=12AB+12AC，则点M是边BC的中点；

B.若AM=2AB−AC，则点M在边BC的延长线上；

C.若MA+MB+MC=0【答案】ACD【解析】若AM=12AB+12AC，则点M是边BC的中点，故A正确；

若AM=2AB−AC，则AM−AB=AB−AC，即BM=CB，所以B是CM的中点，点M在边CB的延长线上，故B错误；

若AM+BM+CM=0，故点M是△ABC的重心，故C正确；

因为AM=xAB+yAC，且x+y=12，所以2AM=2xAB7.已知A,B,C为直线l上不同的三点，点O不在直线l上，实数x满足关系式x2OA+2xOB+OC=A.x的值有且只有一个 B.x的值有两个

C.点B为线段AC的中点 D.OB【答案】ACD【解析】由于实数x满足关系式x2OA+2xOB+OC=0，

即OC=−x2OA−2xOB，

∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，

∴−x2−2x=1，解得x=−1.

则A正确，B错误．

此时OB=12(OA+OC)，故C8．点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(    )A.若OA+OB+OC=0，则点O为△ABC的重心

B.若OA·(AC|AC|−AB|AB|)=OB⋅(BC|BC|−【答案】AC【解析】对于A:由于OA=−(OB+OC)=−2OD，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心，故A正确．

对于B，向量AC|AC|，AB|AB|分别表示在AC和AB上取单位向量AC′和AB′，它们的差是向量B′C′，当OA·(AC|AC|−AB|AB|)=0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，

同理由OB·BC|BC|−BA|BA|=0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心，故B错误；

对于C，OA+OB是以OA，OB为边的平行四边形的一条对角线，而AB是该四边形的另一条对角线，AB·(OA三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在中,,,为斜边上靠近点的三等分点,为边的中点,则的值为__________.【答案】【解析】由已知可知：，，，所以故答案为：610．已知在中，，，，，，则的值为_________.

【答案】【解析】在中，，建立直角坐标系,

,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故答案为：。11．已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在四边形中，已知，，，.（1）判断四边形的形状；（2）若，求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）四边形是等腰梯形.（2）【解析】（1）由题,因为,,所以,又因为,,所以四边形是等腰梯形（2）设,所以,,因为,所以,解得,所以,,设向量与夹角为,则,故向量与夹角的余弦值为13．如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.【答案】见解析【解析】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.∴＝，＝.∵·＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE.14．已知Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m，BC=n．(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD=1(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．【答案】见解析【解析】以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为轴x、y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0,m)，B(n,0)．

(1)证明：∵D为斜边AB的中点，

∴D(n2,m2)，

∴|CD→|=12n2+m2，|AB→|=m2+n2，

∴|CD→|=12|AB→|，即CD=12AB．

(2)∵E为CD的中点，∴En4,m4．A级必备知识基础练1.[探究点一(角度4)]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=()A.-725 B.C.0 D.12.[探究点二(角度1)]体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360N,则该学生的体重m(单位:kg)约为()(参考数据:取重力加速度大小g=10m/s2,3=1.732)A.64 B.62 C.76 D.603.[探究点一(角度3)·2023湖南怀化一模]已知点G是△ABC的重心,AG=λAB+μAC(λ,μ∈R),若A=120°,AB·AC=-2,则|AG|的最小值是(A.33 B.C.23 D.4.[探究点二(角度2)]一条河宽为80000m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需时间为h.

5.[探究点二(角度1)]用两条成120°角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具受到的重力为10N,则每根绳子的拉力大小为N.

6.[探究点一(角度3)·2023河南洛阳月考]如图,E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,AB=1,CD=2,∠ABC=75°,∠BCD=45°,则线段EF的长是.

7.[探究点一(角度2)]如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.8.[探究点二(角度2)]某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.B级关键能力提升练9.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若(PB−PC)·(OB+OC)=(PC−PA)·(OA+OC)=A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变11.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8km,则河水的流速是km/h.

12.在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则向量AC与BD的夹角为,四边形ABCD的面积为13.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于对岸B(AB与河岸的方向垂直)的正西方向并且与B相距2503m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船的速度(自身动力产生的速度)的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,航行的合速度方向与正西方向的夹角为,小货船的速度大小为km/h.

14.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.15.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:AP=AB.16.一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.C级学科素养创新练17.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.参考答案1.B如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又∠BDC为DB,DC∴cos∠BDC=DB·2.B设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|=360N,<F1,F2>=60°,∴|F1+F2|=(F1+F∴mg≈624,∴m≈62.故选B.3.C∵点G是△ABC的重心,∴AG=13(AB+AC).∵A=120°,AB·AC=-2,∴AB·AC=|AB||AC|cos120°=-2.设|AB|=x,|AC|=y,∴|AB||AC|=4,即xy=4.|AG|=13|AB+AC|=13(AB+AC)2=13AB2+AC4.5根据题意,设船速为v1,水速为v2,作出如图所示的示意图,则|v1|=20km/h,|v2|=12km/h,因为v实际=v1+v2,所以|v实际|=|v1|2所以所需时间t=8016=5(h)5.10设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10N,∴每根绳子的拉力都为10N.6.72如图,EF=∵E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,∴2EF=(EA+ED)+(AB+DC)+(BF∵∠ABC=75°,∠BCD=45°,∴<AB,DC∴|EF|=1=1=1=72∴EF的长为727.证明AD·CE=(AC+=AC=AC=AC=-13|CA|2+1因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|28.解设v1表示20km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.如图,令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.∵DA+∴DB=v-v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA+AC=DC,∴DC=v-这就是当车的速度为40km/h时,骑车人感觉到的风速.由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=2BC.∴|v|=202km/h.∴实际风速的大小是202km/h,为东南风.9.B因为(PB−PC)·(OB+则(OB−OC)·(OB+OC)=0,所以|OB|=|OC|.同理可得|OA|=|OC|,即|OA|=|OB|=|OC|,所以O为△ABC的外心.10.AC设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<π2,则|F|cosθ=|f|,∴|F|=|f|∵θ增大,cosθ减小,∴|F|增大.∵|F|sinθ增大,∴船的浮力减小.11.23如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|OA|=4,|OB|=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=23.即河水的流速是23km/h.12.π25由AC·BD=1×(-4)+2×2=0知AC⊥BD又∵|AC|=12+22=5,|BD∴四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×13.30°221如图,AB=250m=14km,BC=2503m=34km,tan∠CAB=∴∠CAB=60°,∴∠CAD=90°+60°=150°,∴合速度的方向与水流的方向成150°角,与正西方向的夹角为30°.设小货船的速度为v1,水流速度为v2,合速度为v,则v1=v-v2,∴|v1|=v=6=221(km/h).∴小船航行速度的大小为221km/h.14.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2).设AF=λAC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA=(-1,2),由题设BF⊥DA,所以BF·DA=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=又DC=(1,0),所以cos∠ADB=DA·DB|DA||又∠ADB,∠