6.3.2~6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.3.2~6.3.4平面向量的正交分解及线性运算坐标表示(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知，，向量与共线，则实数的值为A． B． C． D．【答案】【解析】，，又与平行，，解得．故选：．2．设向量a=(2,−1)，b=(−3,5)，若表示向量3a，4b−aA.(4,9) B.(−4,−9) C.(4,−9) D.(−4,9)【答案】C【解析】向量a=(2,−1)，b=(−3,5)，则向量3a=(6,−3)，4b−a=(−14,21)，

设向量c=(x,y)，依题意，得3a+4b−a+23．已知向量，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得到.故选：A4．在中，为上一点，是的中点，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为是的中点，所以，，解得，.故选:B.5.已知向量，其中，则的最小值为（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故的最小值为.故选：A二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在△ABC中，，则不可能为（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因为所以P为的重心，所以,所以,所以因为，所以故选：BCD7.下列命题中，结论正确的有（）A．设向量，，与共线的单位向量为或；B．设向量，，若，则或；C．若，则A､B､C､D四点共线；D．设向量，，则的最小值为；【答案】BD【解析】对于选项A，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，故A正确；对于选项B，，即，解得，故B错误.对于选项C，，则或与共线，故C错误；对于选项D，，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：D8．如图，四边形是正方形，延长至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断不正确的选项是A．满足的点必为的中点 B．满足的点有且只有一个 C．满足的点最多有3个 D．的最大值为3【答案】ABC【解析】以，所在直线分别为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，设正方形边长为1，，则：，，；；由得，，，；；满足的点有线段的中点和点；满足的点有点和线段的中点；满足的点最多有2个；，时，取最大值3．故选：ABC．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________．【答案】4【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1，1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(λ,μ)＝4.故答案为：410．设,，，，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是【答案】8【解析】，，因为A、B、C三点共线，所以，所以，即，，当且仅当时等号成立．所以的最小值为8.11．给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心的圆弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上运动．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．【答案】2【解析】以O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，设∠AOC＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，则C(cosα，sinα)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y，,sinα＝\f(\r(3),2)y，))所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故x＋y的最大值为2.故答案为：2四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.【答案】（1）－eq\f(1,2)；（2）eq\f(3,2).【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2).∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).13．如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）求点B，C的坐标；（2）求证：四边形OABC为等腰梯形．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）设，则，，∴，∴，．（2）证明：连接OC．∵，，∴，∴．又，，∴四边形OABC为等腰梯形．14．已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y−x)的对应关系可用(1)证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma(2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】(1)证明：设a→=(x1,y1)，b→=(x2,y2)，

∴ma→+nb→=(mx1+nx2,my1+ny2)，

f(ma→A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点三]下列各对向量不共线的是()A.a=(2,3),b=(3,-2)B.a=(2,3),b=(4,-6)C.a=(2,-1),b=(1,2)D.a=(1,2),b=(2,2)2.[探究点一]向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=()A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7)3.[探究点一]已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)4.[探究点四]已知向量a=(3,5),b=(cosα,sinα),且a∥b,则tanα等于()A.35 B.53 C.-35 5.[探究点二]已知四边形ABCD的三个顶A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶D的坐标为()A.2,72C.(3,2) D.(1,3)6.[探究点二]已知A(2,0),B(0,2),若AC=13AB,则点7.[探究点五]设OA=(2,-1),OB=(3,0),OC=(m,3),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围是.

8.[探究点五]已知OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.

9.[探究点二、四]已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2).(1)若AB=a,求x的值;(2)若AB∥a,求x的值.10.[探究点二]已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及MN的坐标.11.[探究点二]如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC=14OA,OD=12OBB级关键能力提升练12.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面四个结论,其中正确的有()A.OC与BA平行 C.OA+OC=OB D.13.已知AB=(-1,3),AC=(2,-2),BD=(a+1,2a),若B,C,D三点共线,则实数a的值为()A.-2 B.37 C.-115 D.14.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共线,则y的值可以是()A.-1 B.0 C.1 D.215.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“”,向量ab=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=2,12,n=π3,0,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足OQ=mOP+n(其中O为坐标原点),则A.-1 B.-2 C.2 D.116.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至E,使|CE|=14|17.已知向量a=13,tanα,b=(cosα,1),α∈π2,π,且a∥b,则sinα=,cos2α=.

18.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为.

19.已知点A(-1,1),B(2,-1).(1)若点C是线段AB的中点,求点C的坐标;(2)若直线AB上的点D满足AD=-2BD,求点D的坐标.C级学科素养创新练20.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是()A.存在实数x,使a∥bB.存在实数x,使(a+b)∥aC.存在实数x,m,使(ma+b)∥aD.存在实数x,m,使(ma+b)∥b21.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当k为何值时,a∥(b+c)?(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.参考答案1.ABCA,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b=2a,两个向量共线.2.B∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B.3.D∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即2x-5+9=0,2y+6-6=0,4.B由a∥b,得5cosα-3sinα=0,即tanα=535.A设顶点D的坐标为(x,y),因为BC=(4,3),AD=(x,y-2),且BC=2AD,所以2x=4,2y6.43,23设C(x,y),则AC=(x-2,y),AB=(-2,2),所以(x-2,y)=-23,23,得x=43,y=23,7.{m|m∈R且m≠6}∵A,B,C三点能构成三角形,∴AB,AC又∵AB=(1,1),AC=(m-2,4),∴1×4-1×(m-2)≠0.解得m≠6.∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}.8.9或92AB=OB−OA=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),BC=OC−OB=(5,-1)-(因为A,B,C共线,所以AB与BC所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n,②解①②组成的方程组得m所以m+n=9或m+n=929.解(1)AB=(2,0),因为AB=a,所以x解得x=-1.(2)因为AB∥a,所以x2-3x-4=0,解得x=-1或4.10.解a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c=CA=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).∴5=∴m(3)设M(x1,y1),由CM=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴x∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).设N(x2,y2),由CN=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).∴x2+3=12∴N(9,2).∴MN=(9,-18).11.解因为OC=14OA所以C0,因为OD=12OB所以D2,设M(x,y),则AM=(x,y-5),CM=AD=2,32因为AM∥AD,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20因为CM∥CB,所以74x-4y-54=0,即7x-联立①②,解得x=127,y=2,故点M的坐标为1212.ACDBA=(2,-1),OC=(-2,1),又2×1-(-1)×(-2)=0,所以OC与BA平行,A正确.AB+BC=AC≠CA,所以B不正确.OA+OC=(0,2)=OB,所以C正确.AC=(-4,0),OB-2OA=(0,2)-(4,2)=13.D根据题意,已知AB=(-1,3),AC=(2,-2),则BC=AC−AB=(3,-5),若B,C,D三点共线,则BC∥BD,则有3×2a=(-5)×(a+1),14.ABC∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-2≤y≤2.∴y的取值范围是[-2,215.B由题意知,点P的坐标为(x,sinx),则OQ=mOP+n=12又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin2x所以函数y=f(x)的最小值为-2.16.83,-7∵