6.3.1平面向量基本定理（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为()A．－2 B．－4C．－6 D．－8【答案】D【解析】易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝6λ，,－4＝kλ，))∴k＝－8,故选：D2．在△ABC中，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为所以P为的重心，所以,所以,所以因为，所以,故选：A3．在△中，为边上的中线，为的中点，则()A． B．C． D．【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选:A.4．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选：A．5.如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选:D.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若AM=12AB+12AC,则点B.若AM=2AB-AC,则点M在线段BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则△MBC的面积是△ABC面积的【答案】ACD【解析】对于选项A,AM=12AB+12AC⇒12AM-12AB=12AC-12AM对于选项B,AM=2AB-AC⇒AM-AB=AB-AC,∴BM=CB,则点M在线段CB的延长线上,所以B错误.对于选项C,设BC的中点为D,则AM=-BM-CM=MB+MC=2MD,由重心性质可知C成立.对于选项D,AM=xAB+yAC,且x+y=12⇒2AM=2xAB+2yAC,且2x+2y=1,设AD=2AM则AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的12故选:ACD.7．在给出的下列命题中，正确的是（）A.设O、A、B、C是同一平面上的四个点，若，则点A、B、C必共线

B.若向量a和b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c=λa+μb(μ、λ∈R)，且表示方法是唯一的

C.已知平面向量满足则△ABC为等腰三角形

D.已知平面向量满足，且，则是等边三角形【答案】ACD【解析】对于选项A，OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，

∴OA−OC=m(OB−OC)，∴CA=mCB，且有公共点C，∴则点A、B、C共线，A正确；

对于选项B，根据平面向量的基本定理知，

不共线的向量a和b是一组基底，则平面α上的任一向量c，

都可表示为c=λa+μb(μ、λ∈R)，且表示方法唯一，

B中并没有说明向量a和b不共线，故B不正确；

对于选项C，平面向量OA、OB、OC满足OA⋅OB=OA⋅OC,

则OA⋅(OB−OC)=0,即OA·CB=0，于是OA⊥BC，

再由AO=λABAB+ACAC可知AO平分角A，

故AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，故C正确；

对于选项D，平面向量OA、OB8.如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中AB=1，∠ACB=π6，∠D=π4A.AE+DC=AC+DE

B.AE【答案】AD【解析】对于选项A，AE+DC=AC+CE+EC−ED=AC+DE，故Ａ正确；

对于选项B，由题意，AB=1，∠ACB=π6，∠D=π4，

∴AC=3，BC=DE=2，CE=CD=2，

∴BE=2−2，BE=2−22BC．

∴AE=AB+BE=AB+2−22BC=AB+2−2三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．设分别是的边上的点，,,若(为实数)，则的值为.【答案】.【解析】易知====，∴=，=，∴10．如图，在中，，是上一点，若则实数的值为________．【答案】【解析】由题意图,，又，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故答案为：．11．如图，是的重心，的延长线交于点，，分别是边，上异于端点的动点，且.试用，，表示,则=______________若，，=________【答案】;3【解析】.由，，得.①∵是的重心，∴.②又，不共线，由①②，得，解得，∴,故答案为：;3四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】（1）由，，三点共线，可设，由，，三点共线，可设，∴，解得，，∴.（2）∵，，三点共线，设，由（1）知，，∴，，∴为定值.13．如图所示，在中,.（1）试用向量来表示；（2）AM交DN于O点，求AO∶OM的值．【答案】（1）；（2）AO∶OM＝3∶11.【解析】（1）,，，；（2）A，O，M三点共线，设，D，O，N三点共线，，，不共线，解得，.14.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)).(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设eq\o(BO,\s\up7(→))＝xeq\o(BM,\s\up7(→))＋yeq\o(BN,\s\up7(→))，则求x＋y的值.【答案】（1）1∶4；（2）eq\f(10,7).【解析】(1)由eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，可知M，B，C三点共线．如图，设eq\o(BM,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))，则eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4)，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.(2)由eq\o(BO,\s\up7(→))＝xeq\o(BM,\s\up7(→))＋yeq\o(BN,\s\up7(→))，得eq\o(BO,\s\up7(→))＝xeq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\f(x,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＋yeq\o(BN,\s\up7(→))，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))∴x＋y＝eq\f(4,7)＋eq\f(6,7)＝eq\f(10,7).答案：1∶4eq\f(10,7)A级必备知识基础练1.[探究点二]设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,42.[探究点二]如图所示,在△ABC中,AD=23AB,BE=12BC,则DE=(A.1B.1C.1D.13.[探究点二]如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,A.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<04.(多选题)[探究点三]已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是()A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点OD.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)5.[探究点二]已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.

6.[探究点二]已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若OP=3OA+xOB,则x=.

7.[探究点二]在长方形ABCD中,点E为CD的中点,设AB=a,AD=b,若AE=λa+μb,则λ+μ=.

8.[探究点一]设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底,表示向量c=3e1-e2.9.[探究点二·苏教版教材例题]如图,▱ABCD的对角线AC和BD交于点M,AB=a,AD=b,试用基底a,b表示MC,B级关键能力提升练10.在△ABC中,AB=4,AC=2,点M是边BC的中点,则BC·AM的值为(A.-6 B.6 C.-8 D.811.如图,在△ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点,若AP=mAB+A.13 B.23 C.2 12.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若AB=a,AD=b,E为BF的中点,则AE=()A.45a+25b B.25aC.43a+23b D.23a13.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成基底,对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为.

14.[2023湖南湘潭期末]已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a=OA,其中O为原点,则x=,y=.

15.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP|=|PB|,求点P的坐标.16.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM的值C级学科素养创新练17.已知集合M={a|a=(1,2)+(3λ1,4λ1),λ1∈R},N={a|a=(-2,-2)+(4λ2,5λ2),λ2∈R},则M∩N等于()A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)}C.{(-2,-2)} D.⌀18.如图所示,在△ABO中,OC=13OA,OD=12OB,AD与BC相交于点(1)试用向量a,b表示OM;(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M.设OE=λOA,OF=μOB,其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时,λ=1,μ=12,此时1λ+2μ=5;当EF与BC重合时,λ=13,μ=1,此时1λ+2μ=5.能否由此得出一般结论:不论参考答案1.D因为向量e1与e2不共线,所以3x=42.DDE=DB+BE3.B如图所示,利用平行四边形法则,将OP分解到OP1和OP2上,有OP=OA+OB,则OA=mOOB与OP2方向相反,4.BCD由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.5.6由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,所以x=3λ,2=λy,故xy=36.-2∵点P在直线AB上,且OP=3OA+xOB,∴3+x=1,∴x=-2.7.32∵在长方形ABCD中,点E为CD的中点∴DE=12DC=12AB,而∴AE=AD+DE=b+12a.∴λ8.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得λ所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一个基底.(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+故c=2a+b.9.解AC=AB+AD=因为平行四边形的对角线互相平分,所以MC=12AC=从而MA=-MC=-12a-12MB=12DB=12(MD=-MB=12b-10.A∵在△ABC中,点M是边BC的中点,∴AM=1又BC=AC−AB,∴BC·AM=12(AC−AB)·(AB+AC)=111.A设BP=λBD,因为AD=13DC则AP=AB+BP=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=(1-λ)AB+14λAC,又因为AP=m12.A设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=5m.过点E作EH⊥AB于点H,则EH=2m25m=2AH=(2所以AH=45AB,HE=2所以AE=AH+HE=45AB13.(2,2)由题意知a=(2cos45°,2sin45°)=(214.-1-2由题意知x+3=2,15.解设点P的坐标为(x,y).当P在线段AB上时,AP=∴(x