6.3.1平面向量基本定理（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．下面三种说法中正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量.A.①② B.②③C.①③ D.①②③【答案】B【解析】由于同一个平面内任意两个不共线的向量都可以作为表示这个平面内所有向量的基底,故①是错的,②③是对的,故选：B.2.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①eq\o(AD,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))；②eq\o(DA,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))；③eq\o(CA,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→))；④eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OB,\s\up8(→)).其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是()A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】C【解析】如图所示，eq\o(AD,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))为不共线向量，可以作为基底.eq\o(CA,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→))为不共线向量，可以作为基底.eq\o(DA,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OB,\s\up8(→))均为共线向量，不能作为基底．,故选：C3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＋λeq\o(CB,\s\up8(→))，则λ＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,2)【答案】A【解析】∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DB,\s\up8(→))，∴eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→)).又∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＋λeq\o(CB,\s\up8(→))，∴λ＝eq\f(2,3).故选：A4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则eq\f(n,m)＝()A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(1,4) D．4【答案】B【解析】由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，∴eq\f(n,m)＝2,故选：B5．在中，为上一点，是的中点，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为是的中点，所以，，解得，.故选:B.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．设是所在平面内的一点，，则A． B． C． D．【答案】CD【解析】用向量做基底显然成立，选项正确，，，，，，选项正确，，选项错误，，选项错误，故选：．7.如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．λ+μ(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.故选:BC.8．设a是已知的平面向量，向量a，b，c在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）A.给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；

B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc；

C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a=λb+μc；

D.若|a【答案】ABD【解析】对于选项A，给定向量a和b，只需求得其向量差a−b即为所求的向量c，故总存在向量c，使a=b+c，故A正确；

对于选项B，当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；

对于选项C，取a=(4,4)，μ=2，b=(1,0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a=λb+μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；

对于选项D，∵|a|2=(λb+μc)2=λ2+μ三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．设向量，不平行，向量与平行．则实数______．【答案】-4【解析】∵不平行，∴；又与平行；∴存在实数μ，使；∴根据平面向量基本定理得，∴λ=-4．故答案为：-4．10．若，，，，则______，______.【答案】【解析】因为,,所以，即,因为，，，由平面向量基本定理可得，.故答案分别为：；11．已知点是所在平面内一点，且满足，若，则___________【答案】【解析】由题意，如图所示，因为，所以又因为，所以，故答案为:-2.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在中，，且与的夹角为，.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】选取向量为基底．（1）由已知得，，∴．（2）由（1）得，又，∴．13．如图所示，在中，是以为中点的点的对称点，，和交于点，设，.（1）用和表示向量、；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题意知，是线段中点，且.，；（2），由题可得，且，设，即，则有，解得.因此，.14．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))不共线．(1)在△OAB中，点P在AB上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝req\o(OB,\s\up6(→))＋seq\o(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；(2)已知点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．【答案】（1）0；（2）-1【解析】(1)因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，又因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝req\o(OB,\s\up6(→))＋seq\o(OA,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(2,3)，s＝－eq\f(2,3)，所以r＋s＝0.(2)因为四边形OABP为平行四边形，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，又因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋(m＋1)eq\o(OA,\s\up6(→))，依题意eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))是非零向量且不共线，所以m＋1＝0，解得m＝－1.A级必备知识基础练1.[探究点二]设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,42.[探究点二]如图所示,在△ABC中,AD=23AB,BE=12BC,则DE=(A.1B.1C.1D.13.[探究点二]如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,A.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<04.(多选题)[探究点三]已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是()A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点OD.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)5.[探究点二]已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.

6.[探究点二]已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若OP=3OA+xOB,则x=.

7.[探究点二]在长方形ABCD中,点E为CD的中点,设AB=a,AD=b,若AE=λa+μb,则λ+μ=.

8.[探究点一]设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底,表示向量c=3e1-e2.9.[探究点二·苏教版教材例题]如图,▱ABCD的对角线AC和BD交于点M,AB=a,AD=b,试用基底a,b表示MC,B级关键能力提升练10.在△ABC中,AB=4,AC=2,点M是边BC的中点,则BC·AM的值为(A.-6 B.6 C.-8 D.811.如图,在△ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点,若AP=mAB+A.13 B.23 C.2 12.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若AB=a,AD=b,E为BF的中点,则AE=()A.45a+25b B.25aC.43a+23b D.23a13.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成基底,对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为.

14.[2023湖南湘潭期末]已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a=OA,其中O为原点,则x=,y=.

15.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP|=|PB|,求点P的坐标.16.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM的值C级学科素养创新练17.已知集合M={a|a=(1,2)+(3λ1,4λ1),λ1∈R},N={a|a=(-2,-2)+(4λ2,5λ2),λ2∈R},则M∩N等于()A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)}C.{(-2,-2)} D.⌀18.如图所示,在△ABO中,OC=13OA,OD=12OB,AD与BC相交于点(1)试用向量a,b表示OM;(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M.设OE=λOA,OF=μOB,其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时,λ=1,μ=12,此时1λ+2μ=5;当EF与BC重合时,λ=13,μ=1,此时1λ+2μ=5.能否由此得出一般结论:不论参考答案1.D因为向量e1与e2不共线,所以3x=42.DDE=DB+BE3.B如图所示,利用平行四边形法则,将OP分解到OP1和OP2上,有OP=OA+OB,则OA=mOOB与OP2方向相反,4.BCD由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.5.6由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,所以x=3λ,2=λy,故xy=36.-2∵点P在直线AB上,且OP=3OA+xOB,∴3+x=1,∴x=-2.7.32∵在长方形ABCD中,点E为CD的中点∴DE=12DC=12AB,而∴AE=AD+DE=b+12a.∴λ8.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得λ所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一个基底.(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+故c=2a+b.9.解AC=AB+AD=因为平行四边形的对角线互相平分,所以MC=12AC=从而MA=-MC=-12a-12MB=12DB=12(MD=-MB=12b-10.A∵在△ABC中,点M是边BC的中点,∴AM=1又BC=AC−AB,∴BC·AM=12(AC−AB)·(AB+AC)=111.A设BP=λBD,因为AD=13DC则AP=AB+BP=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=(1-λ)AB+14λAC,又因为AP=m12.A设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=5m.过点E作EH⊥AB于点H,则EH=2m25m=2AH=(2所以AH=45AB,HE=2所以AE=AH+HE=45AB13.(2,2)由题意知a=(2cos45°,2sin45°)=(2