6.4.3 第2课时 正弦定理（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.4.3第二课时正弦定理(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B为（）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】根据正弦定理：，即，根据知，故.故选：.2．已知的三个角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】在中，因为，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.故是直角三角形或等腰三角形.故选：D.3．在中，角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，角，，的对边分别为，，，满足，可得：，因为为锐角三角形，所以，由正弦定理可得：．故选：．4．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，若最长边为，则最短边长为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由得：，，由得：，∴，即为最大角，故有，最短边为，于是由正弦定理，求得，故选:A。5.在平面四边形中，，，则的取值范围是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，①当点与点重合时构成，此时，解得，②当点与点重合时构成，此时，解得，又∵为平面四边形，∴，故选:C。二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在中，若，，，则角B的大小不可能为（）A．30° B．45° C．135° D．45°或135°【答案】ACD【解析】在中，由正弦定理可知：，因为，所以或因为，所以，因此，故选：ACD7.以下关于正弦定理或其变形正确的有（）A．在ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinCB．在ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝bC．在ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，若A＞B，则sinA＞sinB都成立D．在ABC中，【答案】ACD【解析】对于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；对于D，由正弦定理，可得右边＝＝左边，故该选项正确.故选：ACD.8．在中，已知，且，则（）A．、 B．C．若，则 D．【答案】ABC【解析】因为，所以，即.又因为，所以，即，.对于选项A，故A正确.对于选项B，因为，，所以，即，故B正确.对于选项C，若，则，，则，因为，所以.故，故C正确.对于选项D，因为，设，，，，则，不成立,故D错误.故选：ABC。三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．【答案】【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴，由正弦定理可得，即，当时，.当时，则的最小值为．故答案为：.10．如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.【答案】【解析】因为，，，所以，又，则△的面积为，又，所以在△中由正弦定理得：，则.故答案为：；.11．在锐角中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为，所以因为锐角，所以四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在中，、、是角、、的对边，其外接圆半径为，。(1)求角的大小；(2)求周长的取值范围。【答案】(1);(2)【解析】(1)已知，则由正弦定理得，简化移项得，又∵，∴，∴，又，则；(2)由的外接圆半径，由正弦定理得：，可知，∴，由于，∴，∴，∴。则的周长，∴周长的取值范围是。13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题设及正弦定理得．因为sinA0，所以．由，可得，故．因为，故，因此B=60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积．由正弦定理得．由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，从而．因此，△ABC面积的取值范围是．14．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是A级必备知识基础练1.[探究点一]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=45°,C=60°,b=2,则c等于()A.32 B.3 C.2 D.2.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,b=3,A=π4,则B=(A.π6 B.C.π6或53.[探究点四]在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于()A.35 B.±C.-35 D.±4.[探究点二]在△ABC中,若3asinB=c-bcosA,则B=()A.π6 B.C.π3或25.[探究点二]在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,则此三角形(A.无解 B.有两解C.有一解 D.解的个数不确定6.[探究点三]在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形7.[探究点一]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于.

8.[探究点一]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=9.[探究点二、四]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=37(1)求sinC的值;(2)当a=7时,求△ABC的面积.B级关键能力提升练10.如图,在△ABC中,角C的平分线CD交边AB于点D,A=2π3,AC=23,CD=32,则BC=(A.33 B.4C.42 D.611.在△ABC中,A=60°,a=13,则a+b+A.833 C.2633 12.在△ABC中,若sinC=2sinBcosB,且B∈π6,π4,则cbA.(2,3) B.(C.(0,2) D.(2,2)13.(多选题)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,sinB=sin2A,S△ABC是△ABC的面积,则()A.sinB=429 B.cosC.c=3 D.S△ABC=2214.在△ABC中,B=π4,BC边上的高AD等于13BC,且AD=1,则AC=,sin∠BAC=15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=14a,2sinB=3sinC,△ABC的面积为3154,则cosA=,16.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)·sinB,求△ABC面积的最大值.18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2sinA-3sinB)2=4sin2C-sin2B.(1)求角C的大小;(2)若b=1,c=7,求cos(B-C)的值.C级学科素养创新练19.(多选题)锐角△ABC中,三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是()A.sinA>sinB B.cosA<cosBC.sinA>cosB D.sinB>cosA20.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍.(1)求sinB(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长参考答案1.B在△ABC中,∵B=45°,C=60°,b=2,∴由正弦定理bsinB=csinC,得2sin45°2.D在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,因为a=2,b=3,A=π4,所以bsinA<a<b又0<B<π,所以B=π3或B=2π3.3.B由S=12AB·BC·sin∠ABC,得4=12×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,从而cos∠ABC=4.A因为3asinB=c-bcosA,由正弦定理得3sinAsinB=sinC-sinBcosA.因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以3sinAsinB=sinAcosB.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以tanB=33,而B为三角形的内角,故B=π6.故选5.B在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,则bsinA=12×12=6,可得bsinA<a<b,可得此三角形有两解.故选6.B由已知,得asinA=b=bsinB,所以sinB=1,所以B=90°,故7.63由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=c8.2113在△ABC中,由cosA=45,cosC=513,可得sinA=35,sinsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365又a=1,故由正弦定理得b=asin9.解(1)在△ABC中,因为A=60°,c=37a,所以由正弦定理,得sinC=c(2)因为a=7,所以c=37×7=3由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍)所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=10.D在△ACD中,根据正弦定理得sin∠ADC=AC·因为∠ADC<A,所以∠ADC=π4所以∠ACD=π-2π所以∠ACB=π6,则∠B=π6,所以AB=AC=2在△ABC中,由余弦定理得BC2=(23)2+(23)2-2×23×23×-12=36,所以BC=6.故选D.11.B由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得a+b+csin12.A由正弦定理及已知得cb=sinCsinB=2sinBcosBsinB=2cosB.又π6<B<π4,余弦函数在此范围内是减函数,13.ACD因为sinB=sin2A,所以sinB=2sinAcosA,即b=2acosA.又a=3,b=2,所以cosA=13,sinA=223,sin又b<a,所以cosB=79cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=13=cosA,所以c=a=3S△ABC=12bcsinA=12×2×3×223=2214.531010如图,由AD=1,B=π又AD=13BC=BD,∴BC=3,DC=2,AC=1由正弦定理知,sin∠BAC=BC·15.-144在△ABC中,∵2sinB=3sinC∴2b=3c,又b-c=14a,∴a=2c,b=3∴由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=9c24+又△ABC的面积为315∴12bcsinA=3154,即12×32c×c×154=16.解由已知,得a2·sinBcosB=b2·sinAcosA.又由正弦定理,得sin2A·sinBcosB=sin所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.17.解由正弦定理,得a2-c2=(2a-b)b,即a2+b2-c2=2ab.由余弦定理,得cosC=a2∵C∈(0,π),∴C=π4∴S=12absinC=12×2RsinA·2RsinB=2R2sinAsinB=2R2sinA2=R2(sinAcosA+sin2A)=R21=R222∵A∈0,3π4,∴∴sin2A-π4∈-∴△ABC面积的最大值为2+12R18.解(1)由(2sinA-3sinB)2=4sin2C-sin2B化简,得sin2