6.4.2向量在物理中的应用举例（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理(提升练）一、选择题（共6小题，满分30分，每小题5分）1．河中水流自西向东每小时10km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10km，该小船行驶的方向和静水速度分别为()A.西偏北30°，速度为20km/hB.北偏西30°，速度为20km/hC.西偏北30°，速度为20km/hD.北偏西30°，速度为20km/h【答案】B【解析】由题意得，方向为北偏西30°，故选：B2．物体受到一个水平向右的力F1及与它成60∘角的另一个力F2的作用.已知F1的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30∘角，则F2A.3N B.3N C.2N D.【答案】C【解析】令OA=F1，OB=F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，

则OC表示合力F，F=F1+F2，

结合题意可知∠AOB=60°，∠AOC=30°，则∠BOC=30°，

因为BC//OA，所以∠AOC=∠BCO=30°=∠BOC，

所以OB=BC=OA=2，即OA=OB=2，

所以F2=A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2| D.v【答案】B【解析】由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.故选:B．4．平面上有两个向量e1=1,0,e2=0,1,今有动点P从P0−1,2开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为e1+e2；另一动点Q从点QA.1.5 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】∵P0(−1,2)，Q又∵e1+e2=(1,1)，∴|∴当t时刻时，点P的位置为(−1+t,2+t)，点Q位置为(−2+3t,−1+2t)，∴PQ=(−1+2t,−3+t)，∴(−1)×(−1+2t)+(−3)×(−3+t)=0，∴t=2．故选:B．5.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小为g=10N/kg,3≈1.732)()A.63kg B.69kg C.75kg D.81kg【答案】B【解析】设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,学生的体重为mkg,则mg=|F1+F2|=(=40=4003≈692.8,可得m≈69kg.故选:B.6．(多选题)在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境(如下图).假设行李包所受重力为G，两个拉力分别为F1，F2，若|F1|=|F2|，F1A.F1的最小值为12G

B.θ的范围为0,π

C.当θ=π2时，|【答案】ACD【解析】∵G=F1+F2,∴G2=F1+F22，

∵F1=F2，∴G2=F12+F22+2F1F2cosθ

=2F12(1+cosθ)二、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）7．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，则F1，F2的合力F对质点所做的功为．【答案】－102(焦)【解析】W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．8．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，则船实际航程为_____km 【答案】6【解析】设船的速度为，水的速度为，则船的实际航行速度为，于是有==12=船实际航程为=6。故答案为：6.9．如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F的大小为50N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为,力F做的功为.

【答案】25e;1000J【解析】∵|F|=50,且F与小车的位移方向的夹角为60°,∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos60°e=25e.∵力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,∴力F做的功W=25×40=1000(J).四、解答题：（本题共3小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）10．已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1的大小为24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2的大小为12N.求F1和F2的合力．【解析】由题意做出受力分析图：

在直角三角形OFF1中，∠OF1F=60°，OF11．如图，已知河水自西向东流速为|v0|=1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s【答案】答案见解析【解析】设OA=v0，OB=v1，OC=v2，

则由题意知v2=v0+v1，|OA|=1，

根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．

(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|OB|=|AC|=3，如下图所示：

则在直角△OAC中，|v2|=|OC|=OA2+AC2=2m/s，

tan∠AOC=31=3，又α=∠AOC∈(0,π2)，所以α=π3；

(2)由题意知(1)当cosθ多大时,船能垂直到达对岸?(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?【答案】答案见解析【解析】(1)船垂直到达对岸,即v1+v2与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0.所以v1·v2+v22=0,即|v1||v2|cosθ+|v2|2=0,所以40cosθ+16=0,解得cosθ=-(2)设船航行到对岸所需的时间为t,则t=d|v1|sinθ故当θ=90°时,船的航行时间最短,为120A级必备知识基础练1.[探究点一(角度4)]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=()A.-725 B.C.0 D.12.[探究点二(角度1)]体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360N,则该学生的体重m(单位:kg)约为()(参考数据:取重力加速度大小g=10m/s2,3=1.732)A.64 B.62 C.76 D.603.[探究点一(角度3)·2023湖南怀化一模]已知点G是△ABC的重心,AG=λAB+μAC(λ,μ∈R),若A=120°,AB·AC=-2,则|AG|的最小值是(A.33 B.C.23 D.4.[探究点二(角度2)]一条河宽为80000m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需时间为h.

5.[探究点二(角度1)]用两条成120°角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具受到的重力为10N,则每根绳子的拉力大小为N.

6.[探究点一(角度3)·2023河南洛阳月考]如图,E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,AB=1,CD=2,∠ABC=75°,∠BCD=45°,则线段EF的长是.

7.[探究点一(角度2)]如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.8.[探究点二(角度2)]某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.B级关键能力提升练9.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若(PB−PC)·(OB+OC)=(PC−PA)·(OA+OC)=A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变11.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8km,则河水的流速是km/h.

12.在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则向量AC与BD的夹角为,四边形ABCD的面积为13.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于对岸B(AB与河岸的方向垂直)的正西方向并且与B相距2503m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船的速度(自身动力产生的速度)的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,航行的合速度方向与正西方向的夹角为,小货船的速度大小为km/h.

14.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.15.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:AP=AB.16.一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.C级学科素养创新练17.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.参考答案1.B如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又∠BDC为DB,DC∴cos∠BDC=DB·2.B设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|=360N,<F1,F2>=60°,∴|F1+F2|=(F1+F∴mg≈624,∴m≈62.故选B.3.C∵点G是△ABC的重心,∴AG=13(AB+AC).∵A=120°,AB·AC=-2,∴AB·AC=|AB||AC|cos120°=-2.设|AB|=x,|AC|=y,∴|AB||AC|=4,即xy=4.|AG|=13|AB+AC|=13(AB+AC)2=13AB2+AC4.5根据题意,设船速为v1,水速为v2,作出如图所示的示意图,则|v1|=20km/h,|v2|=12km/h,因为v实际=v1+v2,所以|v实际|=|v1|2所以所需时间t=8016=5(h)5.10设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10N,∴每根绳子的拉力都为10N.6.72如图,EF=∵E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,∴2EF=(EA+ED)+(AB+DC)+(BF∵∠ABC=75°,∠BCD=45°,∴<AB,DC∴|EF|=1=1=1=72∴EF的长为727.证明AD·CE=(AC+=AC=AC=AC=-13|CA|2+1因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|28.解设v1表示20km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.如图,令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.∵DA+∴DB=v-v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA+AC=DC,∴DC=v-这就是当车的速度为40km/h时,骑车人感觉到的风速.由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=2BC.∴|v|=202km/h.∴实际风速的大小是202km/h,为东南风.9.B因为(PB−PC)·(OB+则(OB−OC)·(OB+OC)=0,所以|OB|=|OC|.同理可得|OA|=|OC|,即|OA|=|OB|=|OC|,所以O为△ABC的外心.10.AC设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<π2,则|F|cosθ=|f|,∴|F|=|f|∵θ增大,cosθ减小,∴|F|增大.∵|F|sinθ增大,∴船的浮力减小.11.23如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|OA|=4,|OB|=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=23.即河水的流速是23km/h.12.π25由AC·BD=1×(-4)+2×2=0知AC⊥BD又∵|AC|=12+22=5,|BD∴四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×13.30°221如图,AB=250m=14km,BC=2503m=34km,tan∠CAB=∴∠CAB=60°,∴∠CAD=90°+60°=150°,∴合速度的方向与水流的方向成150°角,与正西方向的夹角为30°.设小货船的速度为v1,水流速度为v2,合速度为v,则v1=v-v2,∴|v1|=v=6=221(km/h).∴小船航行速度的大小为221km/h.14.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2).设AF=λAC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA=(-1,2),由题设BF⊥DA,所以BF·DA=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=又DC=(1,0),所