6.4.2向量在物理中的应用举例（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知三个力f1=(−2,−1)，f2=(−3,2)，f3=(4,−3)A.(−1,−2) B.(1,3) C.(−1,2) D.(1,2)【答案】D【解析】为使物体保持平衡，即合力为零，即4个向量相加等于零向量，

所以f4=(0,0)−(−2,−1)−(−3,2)−(4,−3)=(1,2)．故选2．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】作，使.在中，，，，.故选：C.3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角.当小车向前运动10m时，则力F做的功为()A.100J B.50JC. D.200J【答案】B【解析】由题意，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角，且小车向前运动10m时，此时根据向量的数量积的定义，可得则力F做的功为，故选：B.4．一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8km,则河水的流速为()A.23km/h B.2km/hC.3km/h D.3km/h【答案】A【解析】如图,设A为渔船,BC所在直线为对岸,AB=4km,实际航程AC=8km,则∠BCA=30°,又|vAB|=2km/h,∴|vAC|=4km/h,∴|vBC|=23km/h,故选：A.5.一个物体同时受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°方向移动了8m,已知|F1|=2N,方向为北偏东30°,|F2|=4N,方向为北偏东60°,|F3|=6N,方向为北偏西30°,则这三个力的合力所做的功为()A.24J B.242J C.243J D.246J【答案】D【解析】如图,以正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,则F1=(1,3),F2=(23,2),F3=(-3,33),所以合力F=F1+F2+F3=(23-2,2+43).由题意得,位移s=(42,42),故合力F所做的功W=F·s=(23-2)×42+(2+43)×42=63×42=246(J).故选：D.二、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）6．作用于一个物体的两个力F1、F2的大小都是10，F1与F2的夹角为60°，则F1＋F2的大小为________．【答案】10eq\r(3)【解析】|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F12＋2F1F2＋F22＝300，所以，|F1＋F2|＝2×10×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)．故答案为：10eq\r(3)7．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为m/s．【答案】2eq\r(26)【解析】设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，所以v2＝v－v1，v·v1＝0，所以|v2|＝eq\r(v2－2v·v1＋v\o\al(2,1))＝2eq\r(26)(m/s)．故答案为：2eq\r(26)8．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为________．【答案】41，(5,4)．【解析】由题意，F1=(2,3),F2=(3,1),所以合力F=(5,4),

计算可知合力的大小为41，坐标为(5,4)．故答案：为41，(5,4)．

四、解答题：（本题共9．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在同一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜.现有甲、乙、丙三人玩此游戏.若甲、乙两人的力相同，均为aN，试探究丙需要多大拉力，才能使小球静止.若甲、乙两人的力不相等，则小球有可能静止吗⋅【答案】小球不可能静止【解析】设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a，b，c，

根据题意，可知a，b，c三个向量两两夹角为120∘．

∵|a|=|b|，∴a+b平分a，b所成的角，即方向与c方向相反．

要使小球不动，则c=−(a+b)，

∴|c|=aN．10．如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.(1)请说明|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.【答案】答案见解析【解析】画出物体的受力分析图,如图.(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G=-(F1+F2),|F1|=|G|cos当角θ从0°趋向于90°时,|F1|、|F2|都逐渐增大.(2)由|F1|=|G|cos∵0°≤θ<90°,∴0°≤θ≤60°,∴角θ的取值范围是0°≤θ≤60°.11．一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，求船的速度以及所用时间（精确到）．【答案】km/h,6min【解析】因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，所以船的速度为km/h,所以所用时间是.故答案为：km/h6minA级必备知识基础练1.[探究点一(角度4)]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=()A.-725 B.C.0 D.12.[探究点二(角度1)]体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360N,则该学生的体重m(单位:kg)约为()(参考数据:取重力加速度大小g=10m/s2,3=1.732)A.64 B.62 C.76 D.603.[探究点一(角度3)·2023湖南怀化一模]已知点G是△ABC的重心,AG=λAB+μAC(λ,μ∈R),若A=120°,AB·AC=-2,则|AG|的最小值是(A.33 B.C.23 D.4.[探究点二(角度2)]一条河宽为80000m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需时间为h.

5.[探究点二(角度1)]用两条成120°角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具受到的重力为10N,则每根绳子的拉力大小为N.

6.[探究点一(角度3)·2023河南洛阳月考]如图,E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,AB=1,CD=2,∠ABC=75°,∠BCD=45°,则线段EF的长是.

7.[探究点一(角度2)]如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.8.[探究点二(角度2)]某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.B级关键能力提升练9.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若(PB−PC)·(OB+OC)=(PC−PA)·(OA+OC)=A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变11.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8km,则河水的流速是km/h.

12.在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则向量AC与BD的夹角为,四边形ABCD的面积为13.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于对岸B(AB与河岸的方向垂直)的正西方向并且与B相距2503m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船的速度(自身动力产生的速度)的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,航行的合速度方向与正西方向的夹角为,小货船的速度大小为km/h.

14.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.15.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:AP=AB.16.一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.C级学科素养创新练17.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.参考答案1.B如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又∠BDC为DB,DC∴cos∠BDC=DB·2.B设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|=360N,<F1,F2>=60°,∴|F1+F2|=(F1+F∴mg≈624,∴m≈62.故选B.3.C∵点G是△ABC的重心,∴AG=13(AB+AC).∵A=120°,AB·AC=-2,∴AB·AC=|AB||AC|cos120°=-2.设|AB|=x,|AC|=y,∴|AB||AC|=4,即xy=4.|AG|=13|AB+AC|=13(AB+AC)2=13AB2+AC4.5根据题意,设船速为v1,水速为v2,作出如图所示的示意图,则|v1|=20km/h,|v2|=12km/h,因为v实际=v1+v2,所以|v实际|=|v1|2所以所需时间t=8016=5(h)5.10设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10N,∴每根绳子的拉力都为10N.6.72如图,EF=∵E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,∴2EF=(EA+ED)+(AB+DC)+(BF∵∠ABC=75°,∠BCD=45°,∴<AB,DC∴|EF|=1=1=1=72∴EF的长为727.证明AD·CE=(AC+=AC=AC=AC=-13|CA|2+1因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|28.解设v1表示20km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.如图,令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.∵DA+∴DB=v-v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA+AC=DC,∴DC=v-这就是当车的速度为40km/h时,骑车人感觉到的风速.由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=2BC.∴|v|=202km/h.∴实际风速的大小是202km/h,为东南风.9.B因为(PB−PC)·(OB+则(OB−OC)·(OB+OC)=0,所以|OB|=|OC|.同理可得|OA|=|OC|,即|OA|=|OB|=|OC|,所以O为△ABC的外心.10.AC设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<π2,则|F|cosθ=|f|,∴|F|=|f|∵θ增大,cosθ减小,∴|F|增大.∵|F|sinθ增大,∴船的浮力减小.11.23如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|OA|=4,|OB|=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=23.即河水的流速是23km/h.12.π25由AC·BD=1×(-4)+2×2=0知AC⊥BD又∵|AC|=12+22=5,|BD∴四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×13.30°221如图,AB=250m=14km,BC=2503m=34km,tan∠CAB=∴∠CAB=60°,∴∠CAD=90°+60°=150°,∴合速度的方向与水流的方向成150°角,与正西方向的夹角为30°.设小货船的速度为v1,水流速度为v2,合速度为v,则v1=v-v2,∴|v1|=v=6=221(km/h).∴小船航行速度的大小为221km/h.14.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2).设AF=λAC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA=(-1,2),由题设BF⊥DA,所以BF·DA=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=又DC=(1,0),所以cos∠ADB=DA·DB|DA||又∠ADB,∠FD