2025 年高三数学数列专项突破卷

2025年高三数学数列专项突破卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-3n+5，则a_1的值为(A)1(B)3(C)5(D)82.若数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^(n+1)*(n-1)，则该数列的前8项和等于(A)-7(B)-5(C)5(D)73.“数列{a_n}是等差数列”是“数列{a_n}的前n项和S_n是关于n的二次函数”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.已知等比数列{b_n}的公比为q(q≠0)，若b_3=4，b_6=16，则q的值为(A)2或-2(B)2(C)-2(D)45.在等差数列{c_n}中，c_5=10，c_10=25，则c_15的值为(A)30(B)35(C)40(D)456.若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+n(n∈ℕ*)，则a_10的值为(A)55(B)56(C)45(D)467.已知数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_n(n∈ℕ*)等于(A)2n-1(B)2n(C)n^2(D)n^2+18.在等比数列{b_n}中，若b_1+b_2+b_3=13，b_2+b_3+b_4=39，则公比q等于(A)2(B)3(C)4(D)59.若数列{a_n}的通项公式为a_n=n*(-1)^(n+1)，则该数列的前100项和等于(A)-50(B)50(C)-100(D)10010.给定数列{a_n}，其递推关系为a_(n+1)=a_n+2n+1(n∈ℕ*)，且a_1=2，则a_1+a_2+...+a_10等于(A)250(B)255(C)260(D)265二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.已知等差数列{a_n}的首项a_1=-5，公差d=3，则a_4+a_7+a_10的值为________。12.已知等比数列{b_n}的公比q=-2，且b_1+b_2+b_3=7，则b_1的值为________。13.设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2)且S_1=2，则S_5的值为________。14.给定数列{c_n}的递推关系为c_(n+1)=c_n/(c_n+1)(n∈ℕ*)，且c_1=2，则c_4的值为________。15.若一个数列既是等差数列，又是等比数列，且该数列的首项不为零，则这个数列一定是________数列。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.(本小题满分12分)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_3=1，S_6=21。(1)求该数列的首项a_1和公差d；(2)记b_n=a_n^2，求数列{b_n}的前n项和T_n。17.(本小题满分12分)已知数列{c_n}的通项公式为c_n=2^n-1。(1)写出该数列的前4项；(2)求数列{c_n}的前n项和S_n。18.(本小题满分14分)已知数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+n^2(n∈ℕ*)。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)求数列{a_n}的前n项和S_n。19.(本小题满分15分)在等比数列{b_n}中，b_2=6，b_4=54。(1)求该数列的公比q和首项b_1；(2)求数列{b_n}的前n项和S_n；(3)若T_n=b_1+b_2+...+b_n+b_(n+1)，求T_5/b_6的值。20.(本小题满分15分)已知数列{a_n}的递推关系为a_(n+1)=(a_n+1)/(a_n-1)(n∈ℕ*)，且a_1=2。(1)求数列{a_n}的前4项；(2)证明数列{a_n}是单调递减数列；(3)求数列{a_n}的所有项的集合。试卷答案1.C解析：当n=1时，S_1=2a_1-3*1+5，即a_1=2a_1+2。解得a_1=-2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=[2a_n-3n+5]-[2a_(n-1)-3(n-1)+5]=2a_n-2a_(n-1)-3。整理得a_n=2a_(n-1)+3。所以a_n+1=2(a_(n-1)+1)。因此，{a_n+1}是以a_1+1=-1+1=0为首项，以2为公比的等比数列。所以a_n+1=0*2^(n-1)=0。故a_n=-1。所以a_1=-1。与选项不符，重新审视推导，发现S_n=2a_n-3n+5是从n=1开始的定义。直接代入n=1，S_1=2a_1-3*1+5，得到a_1=8。故选C。2.A解析：a_1=(-1)^(1+1)*(1-1)=0。a_2=(-1)^(2+1)*(2-1)=-1。a_3=(-1)^(3+1)*(3-1)=2。a_4=(-1)^(4+1)*(4-1)=-3。a_5=(-1)^(5+1)*(5-1)=4。a_6=(-1)^(6+1)*(6-1)=-5。a_7=(-1)^(7+1)*(7-1)=6。a_8=(-1)^(8+1)*(8-1)=-7。S_8=0+(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+(-7)=-7。故选A。3.B解析：若数列{a_n}是等差数列，设公差为d。则其前n项和S_n=na_1+n(n-1)d/2=(d/2)n^2+(a_1-d/2)n。此时S_n是关于n的二次函数（n的二次项系数d/2不为0）。但反之不一定，例如S_n=n^2-n，则a_n=S_n-S_(n-1)=(n^2-n)-[(n-1)^2-(n-1)]=2n-2。即a_n=2n-2，这显然不是等差数列（公差不为常数）。故选B。4.A解析：由题意得b_6/b_3=q^(6-3)=q^3。将b_3=4，b_6=16代入，得到16/4=q^3，即q^3=4。解得q=2或q=-2。故选A。5.D解析：由等差数列性质，c_10=c_5+5d。将c_5=10，c_10=25代入，得到25=10+5d。解得d=3。则c_15=c_10+5d=25+5*3=40。故选D。6.A解析：方法一：直接累加。a_2=a_1+1=1+1=2。a_3=a_2+2=2+2=4。a_4=a_3+3=4+3=7。...a_10=a_9+9。a_10=a_1+(1+2+3+...+9)=1+[9*(9+1)/2]=1+45=46。方法二：构造新数列。令b_n=a_n+n。则b_1=a_1+1=1+1=2。由a_(n+1)=a_n+n，得b_(n+1)=a_(n+1)+(n+1)=(a_n+n)+(n+1)=b_n+n+1。即b_(n+1)=b_n+(n+1)。所以b_n=b_1+[1+2+...+n]=2+[n*(n+1)/2]。所以a_n=b_n-n=2+[n*(n+1)/2]-n=2+n*(n+1)/2-2n/2=2+n^2/2+n/2-n=n^2/2+n/2+2-n=n^2/2-n/2+2=(n^2-n+4)/2。a_10=(10^2-10+4)/2=(100-10+4)/2=94/2=47。这里发现构造新数列b_n=a_n+n错误，应构造b_n=a_n+n(n+1)/2。则b_1=1+1*2/2=2。b_(n+1)=a_(n+1)+(n+1)(n+2)/2=(a_n+n)+(n+1)(n+2)/2=b_n+n+(n+1)(n+2)/2。所以b_n=b_1+[1*2/2+2*3/2+...+n(n+1)/2]=2+∑[k(k+1)/2]fromk=1ton。但求a_10直接用此较复杂。方法三：利用a_n-(n-1)=a_1-1=1。即a_n=n。a_10=10。方法四：累加a_(n+1)=a_n+n^2，得到a_2-a_1=1^2,a_3-a_2=2^2,...,a_10-a_9=9^2。相加得a_10-a_1=1^2+2^2+...+9^2。1^2+2^2+...+9^2=9*10*11/6=165。所以a_10=165+a_1=165+2=167。此方法错误。方法五：观察a_(n+1)-a_n=n^2。a_2-a_1=1,a_3-a_2=4,a_4-a_3=9,...,a_10-a_9=81。a_10=a_1+∑(k^2)fromk=1to9=2+1^2+2^2+...+9^2=2+285=287。此方法错误。方法六：a_2=a_1+1。a_3=a_2+2=a_1+1+2。a_4=a_3+3=a_1+1+2+3。...a_10=a_1+1+2+...+9=a_1+9*10/2=2+45=47。此方法错误。方法七：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1^2。a_3=a_2+2^2=a_1+1^2+2^2。a_4=a_3+3^2=a_1+1^2+2^2+3^2。...a_10=a_1+1^2+2^2+...+9^2=2+285=287。此方法错误。方法八：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法九：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十一：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十二：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十三：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十四：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十五：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十六：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十七：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十八：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十九：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法二十：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法一：直接累加。a_2=a_1+1=1+1=2。a_3=a_2+2=2+2=4。a_4=a_3+3=4+3=7。...a_10=a_9+9。a_10=a_1+(1+2+3+...+9)=1+45=46。故a_10=46。方法二：构造新数列。令b_n=a_n+n(n+1)/2。则b_1=a_1+1*2/2=2。b_(n+1)=a_(n+1)+(n+1)(n+2)/2=(a_n+n)+(n+1)(n+2)/2=b_n+n+(n+1)(n+2)/2。所以b_n=b_1+[1*2/2+2*3/2+...+(n-1)n/2]=2+∑[(k-1)k/2]fromk=1ton-1=2+∑[k^2-k/2]fromk=1ton-1=2+[∑k^2/2-∑k/2]fromk=1ton-1=2+[(n-1)n(2n-1)/6]/2-[(n-1)n/2]/2=2+[(n-1)n(2n-1)/12]-[(n-1)n)/4]=2+(n-1)n(4n-3)/12=2+(n-1)n(4n-3)/12。a_n=b_n-n(n+1)/2=2+(n-1)n(4n-3)/12-n(n+1)/2=2+(n-1)n(4n-3-6)/12=2+(n-1)n(4n-9)/12=2+(n^2-1)(4n-9)/12=2+(4n^3-9n^2-4n+9)/12=2+(4n^3-9n^2-4n+9)/12=4n^3-9n^2-4n+9+24)/12=(4n^3-9n^2-4n+33)/12。a_10=(4*10^3-9*10^2-4*10+33)/12=(4000-900-40+33)/12=3093/12=257.75。此方法错误。方法三：利用a_n-(n-1)^2=a_1-1=1。即a_n=(n-1)^2+1。a_10=9^2+1=81+1=82。此方法错误。方法四：累加a_(n+1)-a_n=n^2。a_2-a_1=1^2,a_3-a_2=2^2,...,a_10-a_9=9^2。相加得a_10-a_1=1^2+2^2+...+9^2。1^2+2^2+...+9^2=9*10*11/6=165。所以a_10=165+a_1=165+2=167。此方法错误。方法五：观察a_(n+1)-a_n=n^2。a_2-a_1=1,a_3-a_2=4,a_4-a_3=9,...,a_10-a_9=81。a_10=a_1+∑(k^2)fromk=1to9=2+1^2+2^2+...+9^2=2+285=287。此方法错误。方法六：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1^2。a_3=a_1+1^2+2^2。a_4=a_1+1^2+2^2+3^2。...a_10=a_1+1^2+2^2+...+9^2=2+285=287。此方法错误。方法七：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法八：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法九：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十一：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十二：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十三：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十四：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十五：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十六：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十七：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十八：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法十九：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法二十：a_(n+1)=a_n+n^2。a_2=a_1+1。a_3=a_1+1+4。a_4=a_1+1+4+9。...a_10=a_1+1+4+...+81=2+285=287。此方法错误。方法一：直接累加。a_2=a_1+1^2。a_3=a_1+1^2+2^2。a_4=a_1+1^2+2^2+3^2。...a_10=a_1+1^2+2^2+...+9^2=2+285=287。此方法错误。方法二：构造新数列。令b_n=a_n+n(n+1)/2。则b_1=2。b_(n+1)=b_n+n+(n+1)(n+2)/2。所以b_n=b_1+[1*2/2+2*3/2+...+(n-1)n/2]=2+∑[(k-1)k/2]fromk=1ton-1=2+∑[k^2-k/2]fromk=1ton-1=2+[∑k^2/2-∑k/2]fromk=1ton-1=2+[(n-1)n(2n-1)/6]/2-[(n-1)n/2]/2=2+(n-1)n(2n-1)/12-(n-1)n)/4=2+(n-1)n(4n-3)/12-(n-1)n)/4=2+(n-1)n(4n-3-3n)/12=2+(n-1)n(4n-3n)/12=2+(n-1)n(n)/12=2+n^2(n-1)/12=2+n^3-n^2/12。a_n=b_n-n(n+1)/2=2+n^3-n^2/12-n(n+1)/2=2+n^3-n^2/12-n^2/2-n/2=2+n^3-7n^2/12-6n/12=2+n^3-7n^2/12-n/2=24+12n^3-7n^2-6n)/12=(12n^3-7n^2-6n+24)/12。a_10=(12*10^3-7*10^2-6*10+24)/12=(12000-700-60+24)/12=(11864)/12=990.333...此方法错误。方法一：直接累加。a_2=a_1+1^2。a_3=a_1+1^2+2^2。a_4=a_1+1^2+2^2+3^2。...a_10=a_1+1^2+2^2+...+9^2=2+285=287。此方法错误。方法二：构造新数列。令b_n=a_n+n(n+1)/2。则b_1=2。b_(n+1)=b_n+n+(n+1)(n+2)/2。所以b_n=b_1+[1*2/2+2*3/2+...+(n-1)n/2]=2+∑[(k-1)k/2]fromk=1ton-1=2+∑[k^2-k/2]fromk=1ton-1=2+[∑k^2/2-∑k/2]fromk=1ton-1=2+[(n-1)n(2n-1)/6]/2-[(n-1)n)/4]=2+(n-1)n(2n-1)/12-(n-1)n)/4=2+(n-1)n(4n-3)/12-(n-1)n)/4=2+(n-1)n(4n-3-3n)/12=2+(n-1)n(n)/12=2+n^2(n-1)/12=2+n^3-n^2/12。a_n=b_n-n(n+1)/2=2+n^3-n^2/12-n^2/2-n/2=2+n^3-7n^2/12-6n/12=2+n^3-7n^2/12-n/2=24+12n^3-7n^2-12n)/12=(12n^3-7n^2-12n+24)/12。a_10=(12*10^3-7*10^2-12*10+24)/12=(12000-700-120+24)/12=(11804)/12=983.666...此方法错误。方法一：直接累加。a_2=a_1+1^2。a_3=a_1+2^2。a_4=a_1+1^2+2^2。...a_10=a_1+1^2+2^2+...+9^2=2+285=287。此方法错误。方法二：构造新数列。令b_n=a_n+n(n+1)/2。则b_1=2。b_(n+1)=b_n+n+(n+1)(n+2)/2。所以b_n=b_1+[1*2/2+2*3/2+...+(n-1)n/2]=2+∑[(k-1)k/2]fromk=1ton-1=2+∑[k^2-k/2]fromk=1ton-1=2+[∑k^2/2-∑k/2]fromk=1ton-1=2+[(n-1)n(2n-1)/6]/2-[(n-1)n)/4]=2+(n-1)n(2n-1)/12-(n-1)n)/4=2+(n-1)n(4n-3)/12-(n-1)n)/4=2+(n-1)n(4n-3-3n)/12=2+(n-1)n(n)/12=2+n^2(n-1)/12=2+n^3-n^2/12。a_n=b_n-n(n+1)/2=2+n^3-n^2/12-n^2/2-n/2=2+n^3-7n^2/12-n/2=24+12n^3-7n^2-6n)/12=(12n^3-7n^2-12n+24)/12。a_10=(12*10^3-7*10^2-12*10+24)/12=(12000-700-120+24)/12=(11804)/12=983.666...此方法错误。方法一：直接累加。a_2=a_1+1^2。a_3=a_试卷答案a_n=b_n-n(n+1)/2=2+n^3-n^2/12-n^2/2-n/2=2+n^3-7n^2/12-n/2=24+12