2025-2026学年东北三省四市高三下册数学4月一模试题【附答案】

/2026年哈尔滨市高考第一次模拟考试数学注意事项:1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量a=−1,2,b=x,−A.-4B.-1C.1D.42.已知全集U=R，集合A=xA.−1,0B.{−13.若以直线2x±3y=0A.y24−x294.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S5=A.13B.15C.17D.195.某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有A.8种B.12种C.16种D.20种6.已知tanα=2,A.31010B.1010C.7.“ax+16的展开式中x2的系数为60”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的图象满足以下特征:图象经过点0,3,并且在y轴右侧的第一个零点为πA.−π18,π6B.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知复数z=2A.z的虚部是iB.z在复平面对应的点位于第二象限C.z=110.已知函数fx=A.曲线fx在x=0B.函数fx的值域是C.若点P是曲线y=fx上的动点，则点P到直线y=D.若过点A0,a至少可以作曲线y=11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为边CDA.当P在线段BC1上运动时,四面体DB.当P在正方体表面上运动时,若AP⊥B1E,则PC.当P在线段AE上运动时,直线D1P与AD成角最小值为D.当P在线段A1C上运动时,四面体P−ABC三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.在△ABC中,已知A=2B,13.已知函数fx=x2ln14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2.P为椭圆C上一点，PF1=3PF2.圆I与线段四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如表所示.零件数x/个60708090100加工时间y95104108116122经计算得t=(1)建立加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程；(2)关于加工零件的个数与加工时间，由(1)间你能得出什么结论？参考公式:经验回归方程y=bb16.(15分)在数列an中,已知a(1)求证数列1an(2)设bn=log21an−1，cn=1bnbn+1，记数列cn的前17.(15分)如图，三棱柱ABC−A1B1(1)证明:AB⊥A(2)若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为3，求平面18.(17分)已知抛物线E:x2=2pyp>0，焦点为F，A为抛物线上一动点.当A(1)求E的方程；(2)设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为M，直线AF交E于另一点B,证明:B、O、M三点共线;(3)若点C,D在E上，且线段CD的中点在直线y=x上，点P1219.(17分)在生态系统中,某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量y=fx(单位:千只)与时间x(单位:月),满足函数fx=e定义:若函数gx在a,+∞1.震荡性:g′x在a2.衰减性:任意给定正实数m,存在实数n,使得当x>n时,则称gx(1)求fx在0,(2)根据定义判断函数fx在0,+∞上是否为震荡衰减函数.(3)设hx=fx+f答案及评分标准12345678ADBCCABC91011BDBCDACD12.4513.14.2详解:8.定位“五点”:零点π9,0是“五点法”中的第三个点ωx+φ=π，最低点5π18求ω:第三个点到第五个点的距离为π4,即5求φ:第三个点满足3×π故fx=2sin3x+23π。函数fxfx=2时,3x+2π3fx=−1时,3x+2π3=−5π6+2kπ⇒x11.对于A,VD1−APE=VP−D1AE，由于P∈BC1，且对于B，线段B1E在平面ADD1A1内射影为A1D，连AD1，则AD1⊥A1D，且AD1⊥DE。又DE⋂AD=D，故AD1⊥平面DEB1A1,则AD1⊥B1E.B1E在平面ABCD内射影为BZ.取BC中点M，连AM，则对于C,过P作PH⊥CD于H,连D1H,易记PH⊥平面CDD1C1,则PH⊥D1H,则D1P与AD成角为∠D1PH，tan∠D1PH=D1HPH，随着P从点A运动到E，D对于D,由外接球定义,球心在底面ABC射影为O,过O作平面ABC的垂线,从而则球心在该直线上.又由于平面PAC⊥平面ABC,从而球心为△PAC外心,记为S,球半径为△APC外接圆半径,由正弦定理2R=ACsin∠APC=214.解法一:设F1F2=2c,因为由圆I与线段PF1的延长线和线段PF2的延长线分别相切于点A和点B,与线段F1F2因为PF1=3PF2又因为PA所以32a+2λc=12a+21−因为函数fλ=121−2λ即椭圆C离心率的取值范围是23解法二:切线长定理、向量条件由椭圆定义求焦半径根据椭圆定义PF1+PF2=2应用切线长定理设圆I与PF1延长线切于A,与PF2延长线切于B,与F1根据切线长定理:F设F1从P点出发的切线长:PA从P点出发的切线长:PB由PA=PB3又M在线段F1F2上,故联立方程:n解得:m即F1由F1M=λF代入F1M=2整理得:2c因此离心率e=ca已知λ∈18 1代入e=12−解法三:旁切圆性质公式确定旁切圆切点位置圆I是ΔPF1F2对于三角形的旁切圆,其与一边的切点到对应顶点的距离公式为:F代入P结合向量条件由F1M=λF联立a+2c2因此离心率e=ca已知λ∈18,16，则4λ−15.解:(1)x=60i=1b=ia=y所以加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程为y=0.66(2)由回归直线方程可知，斜率b>0，说明加工零件个数x与加工时间y呈正线性相关，零件零件数每增加一个,加工时间平均增加16.解:(1)1an+1故1an所以1an−1是以1a1(2)由(1)可知1ancn=Sn=由Sn单调递增,1n+1>02λ−1≥Snmax故17.解:(1)证明:因为三棱柱ABC−A所以底面△ABC为等边三角形,侧面A1ABB1取AB中点为O,连接CO、则CO⊥AB又因为CO⊂平面A1OC,A所以AB⊥平面A1因为A1C⊂平面所以AB⊥A(2)设A1到平面ABC的距离为h三棱柱ABC−A1B1C1的体积因为A1所以A1O⊥平面以O为坐标原点,OB,OC,OA1方向分别为x轴,y建立空间直角坐标系,则A−所以CA1设平面A1CC1则−取z1=1,则设平面A1CB1则−取y2=1,则所以cosn1所以平面A1CC1与平面A1C18.解:(1)抛物线E:x2=2py的焦点为由抛物线定义AF=14+p因此,抛物线E的方程为x2=(2)设过焦点F0,14的直线方程为y=kx+14设Ax1,y1,因为Mx1,−14又x22所以kOM即kOM=kOB,所以B、O、M(3)解法1设CD的中点为t,t,Cx3结合y3=x3​2,y4弦长CD=2t1−t直线CD的方程为2tx点P12,1到直线的距离面积S=t法1:令u=t1−t求导得S′u=−6u2+1.令Su在0,66上单调递增,在6此时Smax=法2:S&=当且仅当t=3±3解法2:设直线CD的方程为y=kx+b由中点在y=x上,得b弦长CD=点P到直线的距离d=k面积S=k2−kk2−2求导得S′t=−3t2+24,令S解(1)f令f′x=0,因e−x=1ex>0恒成立,故sinx+π4=0,解得x=3π4,x=7π4.3分当x∈0,3π4答:在这些极值点处,波动量的增长速率为0.6分(2)由第1问知，f′因sinx+π4是周期为2π的周期函数.当x>交替;又e−x=1ex>0,−2又因为fx=e−xcosx≤e−x,令则当x>n时,fx≤e−x<综上,fx满足震荡性和衰减性,是震荡衰