2025-2026学年河南湘豫联盟高三下册4月联考数学试题【附答案】

/4月高三数学注意事项:1．本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将试卷和答题卡一并收回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=y∣yA.⌀B.{C.{0,2.已知复数z=3+4i5A.0B.6C.85D.23.已知椭圆C:x2a2+y2b2A.14B.24C.14.如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系xOy中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点B的坐标为−1,3，另一个前尖端点C、尾突点A均在格点上,则OB−OCA.−35C.−5135.设等差数列an的前n项和为Sn,则“m=4”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数fx=Asinωx+φA≠0,ωA.π8B.π4C.37.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//A.30B.45°C.60°D.90°8.设fx是定义在0,+∞上的不恒为0的函数,且满足:①∀x,y∈(0,+∞),fxyA.f1=C.fx在1,+∞上是减函数D.fx二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试(单位:秒),作业时长分别服从正态分布X∼NA.E2XC.PX≤10.记数列an的前n项和为Sn,且a1=1,A.aB.数列bn−C.aD.Sn的最大值为11.已知圆C1:x2+y2=4,双曲线C2:xy=4,经过原点O的直线与C1交于点P,与C2OR,记R的轨迹为曲线C,如图所示,则A.曲线C的方程为xB.C与C2C.OR的最大值为2D.点R到x轴的最大距离为10三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知正数a,b,c均不等于1，且logba=213.tanα+1tanα−2314.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E1为B1C1的中点,从除E1外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)某地区教育主管部门为调查当地中小学教师的年龄结构，从当地所有中小学教师中随机抽取100名.整理数据得到下表:年龄(岁)学段[20.30)[30.40)[−[50.60]小学122053初中1210S5高中8872(1)试估计该地区教师年龄的第80百分位数；(2)已知小学、初中、高中教师中骨干教师分别占各学段的25%、20%、16%。若从这100名教师中,任意抽取一位,求这位教师为骨干教师的概率.16.(本小题满分15分)在△ABC中,内角A,B,C(1)证明:c−b(2)设D为BC的中点，且AD=6，求△17.(本小题满分15分)如图，在网锥SO中.A，B，C，D为底面圆周上的四个点，且四边形ABCD为正方形，P为母线SC的中点,在线段PD上取一点M，过M和SA作一平面与线段OD交于点N.(1)证明:SA//MN(2)设SO=2.AB=22，若平面SM:N与平面DMN18.(本小题满分17分)已知抛物线E:x2=2pyp>0的焦点为F,准线为l,E上的点T到l(1)求E的标准方程.(2)设G，H是x轴上在坐标原点O异侧的两点，G1，H1分别为线段OG，OH的中点.过点G,H且与y轴平行的两直线分别与E(i)证明:直线AG1,BH1(ii)若直线AG1,BH1交于点P,过点F且垂直于OB分别交于点M,N点F在△OAB的内部,证明:直线OP平分线段19.(本小题满分17分)已知函数fx(1)若∀x∈(0,1].(2)若函数Fx=fx+ax5有两个零点x1(i)求a的取值范围;(ii)证明:x154月高三数学答案题号1234567891011答案BACAABCDBCDABDAC一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B由题得A={y∣y>0}2.Aω=z+3.C由题意,得C的离心率为e=124.A由题图,知A0,−2,C3,0,又B−1,5.A设an的公差为d,由S3=2a1+am,得3a1+3d=3a1+m−1d,即m−4d=0.若m=46.B由T=π,得ω=2ππ=2,π8−−3π8=π2=12T,则−3π8,π8恰好是fx在一个周期内的单调递减区间,所以x=π8时,fx取得最小值.当A>7.C如图,将直四棱柱ABCD−A1B1C1D1补成正六棱柱ADCBEF−A1D1C1B1E1F1，连接BE1,C1E1，显然BE1//A18.D令x=1,y=1,得f1f1=2f1×1,则f1=0或f1=2.若f1=0,则对∀x∈0,+∞,fx=12fx1f1=12fxf1=0,这与“fx是定义在0,+∞上的不恒为0的函数”矛盾,所以f1=2, A正确.对∀x∈0,+∞,fx=12fxxfx=12fx2≥0,若∃x0二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BCD由题意,得EX=42,则E2X=2EX=2×42=84,A错误;而DY=16,则D2Y= 4DY=4×16=64, B10.ABDa1=1,a2=9.当n=2时,3a2=a3+2a1+10,解得a3=15,A正确.由3an=an+1+2an−1+10,得an+2=3an+1−2an−10.结合bn=an+1−an,得an+2−an+1−10=2an+1−an−10,即bn+111.AC设Rx,y,Px1,y1,Qx2,y2.另设OP=λOR,则x1,y1=λx,y,即x1=λx,y1=λy,代入x12+y12=4,解得λ2=4x2+y2.设OQ=μOR,则x2,y2=μx,y,即x2=μx,y2=μy,代入x2y2=4,解得μ2=4xy.由O,P,Q,R四点共线且2OP3=OQ2⋅OR,得2λOR3=μOR2⋅OR,即4λ6=μ4,所以4×4x2+y23=16x2y2,化简得x2+y23=16x2y2xy>0,此为曲线C三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.6方法一:2×3=logba×logcb=lnalnb⋅lnblnc=lna13.-20tanα+1tanα−23=14.170(2分)217(3分)从除E1外的11条棱的中点及8个顶点中随机选取2个点与E1构成三角形,而B1,E1,C1三点在一条棱上,不能构成三角形,所以能构成C192−1=170个三角形.其中,除了E1外,其他的点按照离E1的距离远近可分为4个平行平面,如图，分别记为平面α,β,γ,δ(δ过AD且与其他平面平行).①对于平面α,γ，每个平面上有4个棱的中点,任取2个点都能与E1构成以E1为顶角顶点的等腰三角形,共有2C42=12个.②对于平面β,有4个正方体的顶点,任取2个点都能与E1构成以E1为顶角顶点的等腰三角形，有C42=6个，再加上A1D1，四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)0.8×100=80.因为[20,30)中的人数为所以32+所以教师年龄的第80百分位数应在区间[40,50)区间[20,40)区间[20,50)中的人数的频率为所以估计该地区教师年龄的第80百分位数约为40+10(2)设事件A=“抽取的教师为骨干教师”，B1=“抽取的教师来自小学”，B2=“抽取的教师来自初中”，而小学、初中、高中教师数分别为40,35,25,所占比例分别为40100所以PB1又PA∣所以P=2516.(1)由已知及正弦定理,得sinBcos即sinB因为sinB所以sinA=由正弦定理及a=4，得2c−2b(2)方法一:由(1)，得AB=因为∠ADB+∠ADC=180由余弦定理,得AD2将BD=CD=2,AC=b化简，得b2解得b=−4(舍去)或b=2.所以由余弦定理,得cosC=a2+b所以△ABC的面积S=方法二:因为点D是BC的中点,所以可延长AD至点P,构造平行四边形ABPC,8分则由平行四边形的性质,得BC2即42+262=所以c−b2=c由余弦定理,得cosA=b2+c所以△ABC的面积S=17.(1)如图,连接OA,因为四边形ABCD为正方形,O为底面圆的圆心,所以OA=从而O是对角线AC与BD的交点.1分连接PO,则PO是△SAC的中位线,所以PO//又PO⊂平面POD,SA⊄平面POD,所以SA//4分又SA⊂平面SMNA,平面POD∩平面所以SA//MN(2)以O为原点，OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z则A2,设N0,t,0设平面SMNA的法向量为m=x,y,z,则取x=t，可得平面SMNA的一个法向量为m设平面DMN的法向量为n=a,b,c,则取a=1，可得平面DMN的一个法向量为n=1所以cos⟨m,结合t<0,解得t=−1,即18．(1)根据抛物线的定义,得TF=4设T的纵坐标为a,则a+p2=4,即a=代入x2=2py,得±3p2=2p所以E的标准方程为x2=(2)(i)证明:设Ax1,y1由G1为线段OG的中点,得G所以直线AG1的方程为即y=2由Ax1,y1在E联立方程y=2y1x所以Δ=−所以直线AG1与E相切于点A设Bx2,y2,则直线BH1的方程为y=2y2x2故直线AG1,BH1均与(ii)因为直线MN的方程为y=1,直线OA的方程为y=y1同理Nx2y2,所以线段MN的中点的坐标为2x1设直线OP与MN交于点Q,由y=2y1x1x−y从而y=2y1x1所以直线OP的方程为x=2x1+x2x1所以Q为线段MN的中点,故直线OP平分线段MN.17分19.(1)方法一:由题意，得对∀∈(0,1],lnx+kx≥12x恒成立，即k再令函数φx=x−1所以φx在(0,1]上单调递减,从而φ所以gx在(0,1]故k的取值范围为12,+∞方法二:由fx+kx≥12x所以“k≥12”是“fx当k≥12时,设函数gx=lnx+1所以gx在(0,1]上单调递减,从而g所以fx+综上所述，k的取值范围为12,+∞(2)(i)Fx=lnx+ax5的定义域为当a≤0时,F′x>0,所以F所以Fx最多有一个零点,不符合题意.6