2025-2026学年湖南省岳阳市汨罗市第二中学高二下册3月月考数学试题【附答案】

/湖南汨罗市第二中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试卷一、单选题1．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（

）A． B．C． D．2．已知空间向量，，若，则（

）A．1 B． C． D．33．如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．4．在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（

）A． B． C． D．5．已知数列满足，设数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．6．设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件7．在正四面体中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．8．已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列导数计算正确的有（

）A． B．C． D．10．点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（

）A．圆心距 B．的最小值为2C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为411．已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题12．已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________．13．某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）.14．已知双曲线：的左焦点为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_______.四、解答题15．已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍．(1)判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由．(2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和．16．如图，椭圆的一个焦点为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；（ⅱ）求面积的最大值.17．已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．18．已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若函数有两个零点，记作，.（ⅰ）求参数的取值范围；（ⅱ）若，证明.19．已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且.(1)求数列与数列的通项公式；(2)求数列的前项和.答案1．B【详解】中，令，解得，令，，故.故选：B2．B【详解】因为，，且，所以，解得，故选：B.3．C【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱的棱长均为，可得，所以，可得，则，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：C.4．A【详解】，即，圆心坐标，半径，因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，即，则圆心到直线的距离，故，故选：A.5．D【详解】数列中，，当时，，则当时，，而满足上式，因此，，则，所以.故选：D6．A【详解】若成立，则，符合等差数列的定义，所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立.若数列是等差数列,设其公差为，则,..所以,所以.即必要性成立.所以甲是乙的充分必要条件.故选：A.7．D【详解】因为为正四面体，是的中心，所以，，所以.故选：D.8．B【详解】设，，将直线方程与椭圆方程联立，消去得，则，因为的中点为所以，解得，所以，，故选：B9．ACD【详解】对于A选项，由，故A选项正确；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项正确；对于D选项，由，故D选项正确.故选：ACD.10．ACD【详解】由题意可知：圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，对于选项ABC：圆心距，故A正确；的最小值为，故B错误；的最大值为，故C正确；对于选项D：因为，可知点M在圆内，当圆经过点M的弦与垂直时，弦长取最小值，最小值为，故D正确.故选：ACD.11．BCD【详解】因为，所以当时，，解得；当时，，两式相减可得，即，所以.故数列是以1为首项、2为公比的等比数列，故，所以A错误.由，得，所以，所以B正确.记，当时，，即，故.因为，故，故数列是以1为首项，为公比的等比数列.故，所以C、D正确．12．或．【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，又由，解得，所以或，所以数列的通项公式为或．故或．13．【详解】依题意，完成这件事共分两步完成，第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法，由分步乘法计数原理得一共种排法．故答案为.14．【详解】由题知，记右焦点为，过做如图所示，与圆相切，，，，，为中点，，故，且相似比为，即，，，，，在双曲线中，有，，，，为直角三角形，，即，化简可得，上式两边同时平方，将代入可得，则，即离心率.故15．(1)村庄在村庄的正西方向，理由见解析(2)千米【详解】（1）由题意可得，，，在中，由余弦定理可得，则，故，即村庄，之间的距离为干米，在中，由正弦定理可得，则，从而，故村庄在村庄的正西方向；（2）因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以.在中，由余弦定理可得，因为，所以，解得或（舍去），则，故，即农贸市场到村庄､的距离之和为千米.16．(1)(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)【详解】（1）因为椭圆一个焦点为，所以，点代入椭圆方程可得，又，解得，所以椭圆方程为.（2）(i)由题意得，，设，则，且①，则的方程分别为：，.设，则有②，③由②，③得，由①得，因为，所以点M恒在椭圆上.(ⅱ)设的方程为，代入，得，设，则有，，所以，令，则，因为，所以，故当，即，时，有最大值3，此时过点.所以，即的面积的最大值为.17．(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为是椭圆C的一个顶点，所以．当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．故椭圆C的标准方程为．（2）证明：设直线的方程为，，．由得，，，所以，，即点，所以直线的方程为．令，得．又，所以直线的方程为．令，得．延长交于，延长交于．由，得，则．同理由，得，则．因为，，显然，所以．18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【详解】（1）当时，，则，.又，在处的切线方程为.（2）（ⅰ）由题知，在上有两个根，，，即.令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，，所以问题转化为在上有两个根.易知，故，令，则.当时，，单调递增当时，，单调递减.又，时，，时，，且时，；时，，，解得，即参数的取值范围为.（ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得，要证，即证，即证，即证，令，即证在上恒成立.令，，令，，在上单调递增，，，则在上单调递增.，