2025-2026学年华中师范大学附属中学高三数学训练（2）【附答案】

/数学训练（2）单选题（每小题5分，共40分）1.已知复数，则A.1 B. C.2 D.4【正确答案】B.2.已知集合，则A. B. C. D.【正确答案】B.3.设公差不为0的等差数列的前项和为,若成等比数列,则A.16 B.8 C.4 D.2【正确答案】A,成等比数列,,或0(舍),.4.已知是两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B,不充分;,必要.5.已知变量的统计数据如下,若与的回归直线方程为,则2.83.35.06.77.22.64.05.15.4A.2.5 B.2.7 C.2.9 D.3.1【正确答案】C在上,.6.某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展活动，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为A.35 B.36 C.42 D.50【正确答案】D有3人，有2人，，有1人，.7.如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点,点的轨迹为曲线的一部分,则为A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【正确答案】D为定点,为到定直线的距离,点轨迹为抛物线.8.已知函数的定义域为,且为偶函数,为奇函数,,则A.1 B.0 C.-1 D.-2【正确答案】C方法一:为偶函数,则关于对称,为奇函数,则关于对称,周期为,.方法二:由为偶函数,得令,则即由为奇函数,得令,则即由在第二式中令,得故于是又,所以再由,取,得再由,取,得而故,于是并且以4为周期循环.因此每4项和为故又所以.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知数列的前项和为,若,则A. B. C. D.【正确答案】BD时,错.时,是以-1为首项,2为公比的等比数列,,B对.错.,D对.10.已知函数,则A.在区间上单调递增B.恰有两个零点C.不等式的解集为D.若，则的最小值为2【正确答案】ABD,故在上单调递增,对;且,又,故在上唯一零点为1,由偶函数得零点为对;由且在上单调增,再由定义域得,解集为,故错;若,则,且,故,由单调性得;设,则,当时取等号,故D对.11.已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（

）A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时，C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为【正确答案】ACD【分析】对于A，由题可知四面体是由两个直角三角形构成，结合外接球定义即可求解；对于B，易知当平面时，四面体体积最大，利用等体积法确定内切球半径，再求即可；对于CD，根据题意确定截面，结合异面直线距离公式求出截面面积的最值即可．【详解】对于A，，，，，则的中点为四面体的外接球球心，半径，表面积为，故A正确；对于B，，又，当平面时，四面体体积最大，平面，，，即和为全等的等边三角形，则，四面体的表面积，，则四面体内切球半径，易得平面，故四面体关于平面对称，则内切球球心在平面上，过分别作，则，平面，平面，同理可得平面，，即四边形为正方形，，故B错误；对于CD，根据题意内切球球心在平面上，且为的角平分线，设的中点为，又，故直线为直线，则为其中一个截面，又平面，平面，，，在上取一点，作截面，由对称性可知，截面关于对称，即当面积最小时，截面面积最小，以为原点建立空间直角坐标系，则，设异面直线的公共法向量为，距离为，，不妨取，则，，即点到距离的最小值为，此时，则截面面积最小值为，综上，过直线的平面截四面体所得的截面的面积最大值为，最小值为，故CD正确．三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知随机变量服从正态分布,若,则________.【正确答案】0.8.13.双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与在第一象限的交点为,若直线与的一条渐近线平行,则的离心率为_______.【正确答案】如图14.记内角的对边分别为,,则的最小值为________.【正确答案】,即即,而即.四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分)15.函数的部分图像如图所示.(1)当时，求的单调递增区间；(2)已知，且，求的值.(1)由图知，由,，令的单调区间为.(2)，,.16.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)求与平面所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得到平面，即可得证；（2）首先证明平面，再由计算可得.【详解】（1）四边形是矩形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，，，，平面，平面，平面，；（2）因为四边形ABCD是矩形，所以，，因为平面PAD，平面PAD，所以平面，所以点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，由（1）得平面，平面，，则，又平面，所以，所以三棱锥的体积为．（3）由（2）得,,,面，且,面,又面,。因为,,又因为，，则与平面所成角的正弦值为.17.已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数在区间上的最小值为1，求的值．【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）求出导函数，由，求得切线方程；（2），分与讨论可得函数的单调性；（3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数.【详解】（1）当时，∵，∴，，函数在点处的切线方程为，．（2）因为，函数的定义域为，,当时，，函数在上单调递减；当时，令，解得或（舍去）,当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（3）当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去；当时，若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意；若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意；若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；综上，函数在区间上的最小值为1，则.18.在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下：①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5；②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成；③若预测中出现词元，则审核后必生成.设表示过程结束时生成词元的总个数.(1)求，；(2)求的分布列；(3)求.【正确答案】(1)，(2)123……(3)【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可.（2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列.（3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可.【详解】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成，.表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成..（2）时，第个词元输出为，若前面个词元都预测为，其概率为，若前面个词元有一个预测为，其概率为，故，当时，若前面个词元都没有预测为，其概率为，若前面个词元有一个预测为，其概率为，故所以的分布列为：123……（3）由（1）得，由（2）得，，，，，所以所以19.已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．(1)求抛物线的方程；(2)记与的面积分别为．①当四点共圆时，求直线的方程；②求的取值范围．【正确答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据条件求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解；（2）①联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据条件有，从而可得，即可求解；②根据条件求出的取值范围