2025-2026学年江苏丹阳高级中学高一下册3月阶段检测数学（重点班）试题【附答案】

/2025-2026学年度第二学期3月阶段检测高一数学(重点班)考试时间120分钟一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.cos20∘A.1B.−22C.2.已知sinθ=34A.−18B.18C.3.设a,b为非零向量,则“a=b”是“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a与b的夹角为π6，且a=12，b=A.914B.912C.915.已知向量a=0,1,b=1,A.2B.-1C.1D.-26.在△ABC中,AD=2DC,P是线段BD上的一点,若AP=A.49B.23C.37.当x=θ时,函数fx=sinx+cosxA.π3B.−π3C.8.如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120∘，E，F分别是AB，AC边上的点,且AE=xAB,AF=yAC,且A.72B.33926C.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知0<β<α<π4A.sinαcosC.sin2α10.已知非零向量a,b,A.若ab⋅c=0,则b⊥cB.C.若a⋅c=b⋅c,则a=bD.向量11.正方形ABCD的边长为2,E在BC上,且BE=13BC,如图,点P是以ABA.λ最大值为10B.μ最大值为1C.AP+12ADD.AP⋅AE最大值是三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若非零向量a,b满足2b2=a⋅b，则13.已知3sinx−cosx=14.已知△ABC中，点G，O分别是知△ABC的重心和外心，且AG⋅AO=5，AG四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.在△ABC中,角A,B,C(1)a=7(2)a,b是方程x2−13x+40=0(3)cosA=23,b16.已知a=(1)求a；(2)若a//b，求b(3)若5a−2b⊥a+b，求17.(1)已知sin2α=35,cosβ=−72(2)化简:cos1018.已知m=−1,2(1)求函数fx的解析式及周期T(2)若fπ12+α2=−233(3)角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角,若19.正等角中心(positiveisogonalcentre)亦称费马点,是三角形的巧合点之一.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120∘时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知(1)若cosB,cosCB≠C是关于t的方程①求A；②若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求(2)若cos2C+2sinA+BsinA−B=1,设点P1.Ccos20故选:C2.A由二倍角的余弦公式可得cos2故选:A.3.B若a=b,则a,b模长相等,但它们的方向可以不同,故a=b不一定成立,故若a=b,则故“a=b”是“a故选:B.4.B因为向量a与b的夹角为π6,且a=a则a−所以a−故选:B.5.A若a⊥b−λa,则a向量a=0,1,b=1,故选:A6.A由AD=由已知AP=13AB+根据平面向量三点共线定理得13+3t2故选:A7.Cf=当x+π3=π2+2kπ,所以θ的值可能为C选项.故选:C.8.B解:在△ABC中,AB=2,AC=3,∠A=120∘,则AB∴AM∴MN∴两边平方得:MN=∵∴MN又∵x∴当x=526时,MN2最小值为2752,即MN故选:B.9.BC∵tanα=5tanβ∴sinα∴sinα∴cosαsin∴sinαcos∴sin=4sinsinα+故选:BC10.ABD对于A,因为a为非零向量,若ab⋅c=0,则b⋅c=0对于B,若a+则a+b⋅a−b=a2−对于C,若a⋅c=b⋅得到acosa,c=bcosb对于D,a所以a⋅bc−故选:ABD.11.ABD以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则A−设Pcosθ,sinθ,由AP=λAD+μ则cosθ+1=2对于A,λ=3sinθ−cosθ−16−φ≤θ−φ≤π−φ对于B,−1≤cosθ≤1,0≤cosθ+12≤对于C,AP则AP+而θ+π4∈π4,5π4,当θ对于D,AP⋅AE=2cosθ+2+23sinθ=2103sinθ+β+2,其中锐角12.2a在b方向上的投影向量为a⋅13.17根据题意得3sin由已知得2sinx−π6故sin214.2如图,延长AG交BC于点D,过点O作OE⊥AC于点E,作OF⊥AB因点G,O分别是知△ABC的重心和外心,则则AG=23AD===即得AB2又由AG=2和AG=13整理得AB2+AC2+因BC=则BC=即边BC的长为26.故答案为:215.1(2)c(3)3(1)由小边对小角知C最小,且cosC=a2+b2−c(2)由题设a+b所以c2则c=(3)由题设a2=b2+c所以3c2−8c−16.1(2)b=4,2(3)π(1)a=(2)因为a//b，设b则b=2λ2+因此b=4,2(3)由(1)知，a=因为5a−则5a所以a⋅b=5又0≤a,b≤故a与b的夹角为π317.(1)−(1)因为sin2α=35,cosβ=−7210则sin2因为−π4<α<又因为0<sin所以0<2α<π所以−π<2α−(2)原式=cos18.(1)f(2)3(3)3(1)fx=cos2x(2)由fπ12+α2=−23∵5sinα(3)由fB=1可得2sin2B又0<B<π，则π6<2B+由余弦定理知:b∴3∴a+c≤23当且仅当此时△ABC又b=3所以△ABC的周长的最大值为19.(1)60∘(2)2+(1)①由题意得:∴cosB,cosC是关于t方程∴cos∴cosB+cosC22=34∴cosB∴cosB因为C均为锐角,所以π6<2π3−∴B②由①知，A=60∘，则△ABC的三个角都小于120∘，由费马点定义知:∠APB=∠BPC=∠APC12xy⋅32所以PA⋅