直线与平面垂直（一）高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人：日期：8.6.2直线与平面垂直（一）学习目标学习目标核心素养1.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.数学抽象2.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题.直观想象复习回顾

空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？

（1）直线在平面内（2）直线与平面平行（3）直线与平面相交，其中包括直线与平面垂直如图5.31,在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1.(1)作P1关于原点的对称点P2,以。P2为终边的角β与角α有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？(2)如果作P1关于x轴（或S轴）的对称点P3（或P4),那么又可以得到什么结论？新课引入思考：观察下面的图片中的旗杆与地面有什么关系？垂直思考：教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系？垂直那么，如何判定直线与平面的位置关系？探索新知旗杆AB所在直线与地面任意一条过点B的直线垂直旗杆AB所在直线与地面任意一条不过点B的直线垂直旗杆AB所在直线与地面任意一条直线垂直探究：如图，在阳光下观赛直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子所在直线是否保持垂直?探索新知直线与平面垂直的定义αPl直线l的垂面平面α的垂线垂足探索新知符号表示：直线与平面垂直的定义图形表示：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示.llβ探索新知问题：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？提示：不一定垂直，有可能平行或者相交．问题：

在平面中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.那么,在空间:(1)过一点有几条直线与已知平面垂直?(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?提示：答案均是有且只有一条

重要结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.探索新知问题：点到平面的距离是如何定义的？如何用图形表示点到平面的距离呢？过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.αPl探索新知思考：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？直线与平面内所有的直线都垂直直线与平面内任一直线垂直探索新知思考：如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？探索新知探究：如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).(1)折痕与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么?探索新知探索新知容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直的充要条件是折痕AD是边BC上的高.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD,DC都垂直.事实上，由基本事实的推论2，平面α可以看成是由BD，DC两条相交直线所唯一确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直.ABDC

两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？探索新知直线与平面垂直的判定定理

定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.符号语言：图形语言：αPlmn线线垂直线面垂直探索新知例1

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.重要推论：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。探索新知变式：如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCDCABDOP线线垂直线面垂直证明：∵PA=PC,点O是AC的中点∴PO⊥AC又∵PB=PD,点O是BD的中点∴PO⊥BD又∵AC∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD

探索新知直线与平面所成的角αlPAθ斜线斜足射影(直线)注：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．探索新知一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角.一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角.问题：

根据直线与平面所成的角的定义，探求直线与平面所成的角的范围？直线与平面所成的角的范围