2026年高考数学终极冲刺：压轴18 圆锥曲线中的定点与定值问题的3大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版及解析）

压轴18圆锥曲线中的定点与定值问题的3大核心题型定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现.题型01定点问题技法技法指导定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.1.（2022全国乙（理）卷T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．2.（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点，且与直线相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点．题型02定直线问题技法技法指导解决定线问题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有：(1)待定系数法，设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数确定动点的坐标，确定直线.(2)设点法，设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确定直线.3.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.4.（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4．(1)求椭圆的方程；(2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．题型03定值问题技法技法指导求解定值问题的三步骤5.（2024·河南新乡模拟）分别是椭圆的左、右顶点，，离心率为．(1)求椭圆的标准方程．(2)过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两个不同的点．设直线，交于点，证明：点到轴的距离为定值．6.（2025·吉林·三模）已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点.(1)求椭圆的标准方程；(2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.题型04存在性问题存在性问题的求解策略存在性问题的求解策略（1）假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在；（2）用待定系数法设出；（3）列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.提醒反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点．(1)求的方程．(2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值．(3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．8.（2026·宁夏银川·一模）已知抛物线：上的点与焦点的距离为2，点到轴的距离也为2.(1)求的方程；(2)过点且斜率为3的直线与交于，两点，过点且斜率为的直线与交于，两点，求四边形的面积；(3)过点且倾斜角为的直线与交于，两点.点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出及的值；若不存在，请说明理由.1.（2025·江西·二模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6．(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．2.（2025·河北秦皇岛·三模）已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．3．（山西省部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月模拟）在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.(1)求C的方程；(2)证明：；(3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.4．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N.(1)求C的方程；(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.5．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，且离心率为2．(1)求的方程；(2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．6．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线．(1)求的方程．(2)若的面积为24，求点的坐标．(3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．7.（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．(1)求C的方程；(2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．8．（2025·广东广州·一模）已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为．(1)求抛物线E的方程；(2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点．9．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项.(1)求双曲线的标准方程.(2)已知直线与双曲线相切.①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值；②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值.10.（2026·广西南宁·一模）已知抛物线（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，．(1)求C的标准方程．(2)已知点，O为坐标原点，直线l交C于两点，且P，Q在x轴的两侧．（i）求的最小值；（ii）若，证明：l过定点．11．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)直线与相交于，两点．（i）是坐标原点，若的面积为，求的值；（ii）设的左焦点为，则是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．12.（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高三下学期第二次调研）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．(1)求点Q的轨迹E的方程；(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H．①若，求的值；②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.14．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点.(1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点；(2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

压轴18圆锥曲线中的定点与定值问题的3大核心题型参考答案压轴题型精讲题型01定点问题1.【解题指导】（1）巧设椭圆方程→定点代入求参→E的方程（2）设出直线方程→与椭圆C的方程联立→分情况讨论斜率是否存在→直线的方程→消参确定直线HN过定点【解】（1）设椭圆E的方程为，【技巧】当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.（2），所以，①【第1步】直线斜率不存在时，证明直线HN过定点若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②【第2步】设直线斜率，求直线方程，与椭圆方程联立若过点的直线斜率存在，设.联立得，【第3步】求可得，，且【第4步】求的坐标，直线的方程联立可得可求得此时，【第5步】化简，消参确定直线HN过定点将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点【解后反思】动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).2.【解】（1）由题意可知，点到点和到的距离相等，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故动圆圆心的轨迹C的方程为；（2）由题意可知，直线的倾斜角均不为和，故直线，的斜率存在且不为，因为，所以，即，即，若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则重合，均不符合题意；故设，，联立，得，则，则，得，则直线恒过点.题型02定直线问题3.【解题指导】（1）由焦点和离心率→列方程求参→双曲线方程；（2）设出直线方程→与双曲线方程联立→直线与的方程→消去→→交点的横坐标为定值→点在定直线上.【解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，【第一步】设参，因直线过x轴上（T,0)点，方程可巧设为显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，【第二步】用参，利用韦达定理，设而不求表示出判别式，两根之积与和则，且【提醒】忽视，此为得分点

直线的方程为，直线的方程为，【技巧】直线的方程可用类比的方法获得【第三步】消参，利用两条直线交于P点，将两根之和与两根之积代入化简，转化为含有的代数式，确定定点。联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.4.【解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆的方程为；（2）在定直线上，理由如下：设点与直线联立消去整理得，由，且，所以，易知，，则，，两式作商得，解得，故在定直线上.题型03定值问题5.【解题指导】（1）由弦长和离心率→列方程求参→椭圆方程；（2）设出直线方程→与椭圆方程联立→直线，方程→两直线交点的横坐标→结合韦达定理化简得定值【解】（1）由题可知，解得所以椭圆的标准方程为．（2）【第1步】设直线的方程与椭圆方程联立，根据判别式求的范围设直线的方程为，联立的方程，消去得．其中，即，【第2步】由韦达定理写出两根之和与积，并消参k设，，则，，，又，，【第3步】求直线，的方程，并联立求直线的方程为，直线的方程为，联立得，．【第4步】结合韦达定理化简得定值又，，即点到轴的距离为定值1．6.【解】（1）由椭圆满足，且右焦点，可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：由题意知：椭圆的左、右焦点为，设，且，再设，其中，则，可得，整理得，同理可得，则，所以存在为定值，定值为.题型04存在性问题7.【解】（1）已知离心率，故，结合得,所以双曲线方程可写为，代入点得：，解得，所以，双曲线的方程为.（2）由（1）得右焦点，分两种情况讨论：若直线斜率不存在，则，由得，不妨设，则：，所以；若直线斜率存在，设为，则，由，得，此时且.设，由韦达定理：，则：.综上，，即为定值.（3）假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合，设中点为，则。设，则，两式相减得，即，整理得方程为。又在双曲线上，代入得，即，故方程为.若，联立与双曲线，消去得，即，判别式：若，则，，代入双曲线得，无实根.因此不存在满足条件的三点.8.【解】（1）该抛物线的准线方程为，焦点坐标为，因为点到轴的距离为2，所以设点的坐标为，代入抛物线中，得，因为点与焦点的距离为2，所以，即抛物线的方程为.（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得，，设，则有，所以.直线的方程为，与抛物线方程联立，得，，设，则有，显然，点到直线的距离为，同理点到直线的距离为，因此四边形的面积为.（3）直线的方程为，与抛物线方程联立，得，，设，则有，所以，要想为定值，只需，当时，，当时，此时不是常数，所以存在常数，使得为常数，此时，.1.【解】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以，所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以，故抛物线的标准方程为：；（2）设直线的方程为，联立，消得，，方程的判别式，即，设，则，设关于轴的对称点为，则直线的方程为，根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上，令得：．直线过定点．2.【解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为，可得，解得，，所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为．（2）由（1）知，，．显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设，，由，消去，得，显然，，则，，，直线的斜率，直线的斜率，所以，为定值3.【解】（1）因为C的短轴长为2，离心率为，所以，解得，所以C的方程为：.（2）设直线l方程为：，设，，联立直线l与椭圆C的方程，消去x得，，因为，所以，，（*）因为，所以，即.（3）直线和的斜率比值为定值，理由如下：法1：因为，由（*）知，，代入上式得，.所以直线和的斜率比值为定值3.法2

因为，因为，所以，所以，由（2）知，两式相除得，.4.【解】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，则，，又因为的面积，即，，所以椭圆C的方程为.（2）由（1）可知：，，则直线的斜率，且线段的中点为，假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，联立方程，消去y可得，则，解得，可得，，即，则，可得线段的中点为，直线的斜率，此时，可知直线与直线不垂直，这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意.5.【解】（1）由题意，可得，解得.所以的方程为.（2）由（1）知，的右焦点为，设的方程为，与方程联立，得.因为与有两个交点，所以且，解得．设，则，则有因，则，所以，因，代入可得，，即为定值.6.【解】（1）由题可知，，则．又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点），故的方程为；（2）设．因为的面积为24，所以，得．由，得．因为是的重心，所以或或或；（3）由题可知的斜率存在，可设的方程为．由，得，则，得，则，．直线的方程为，直线的方程为，则．由，，得，则，得，故点在定直线上.7.【解】（1）将代入中得，，则，因为，所以，又，得，故C的方程为；（2）若直线斜率不为，则设直线，，，联立，得，则，得，，因为，则，则直线的方程为，令，得，则直线HB过定点；若直线斜率为，则直线HB为轴，过点；故直线HB过定点.8.【解】（1）当时，，，所以由题意可知，所以，所以抛物线的方程为（2）因为过点作两条相互垂直的直线与抛物线有2个交点，则直线的斜率一定存在且不为0，设其方程为，联立，得，且有，，根据题意，由于过的两条直线垂直，则，且有，即，即即，化简整理得到，所以，将其代入，整理得，若对任意等式都成立，则有，即，故直线恒过定点.9.【解】（1）因为的虚轴长为，所以.

因为PF垂直于轴，所以，因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以，因为，所以，则，故，

所以双曲线的标准方程为．（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为，因为，所以直线与直线PF的交点，直线与直线的交点，

由，得，

则，即.

①因为，且，

所以，所以，为定值.

②由得，同理可得，

所以.

因为原点到直线的距离，所以.

因为，所以，即的面积为定值.

10.【解】（1）依题意，抛物线（p>0）的焦点为，准线方程为，则准线与x轴的交点为，则，解得（舍去），故抛物线C的标准方程为.（2）（i）由题意，，因是抛物线上一点，则，故当时，取得最小值24，则此时的最小值为.（ii）依题意，直线的斜率不能为0，故可设直线的方程为，代入，消去，可得，则，由韦达定理，，因P，Q在x轴的两侧，则，即，则，即，因，则，此时直线的方程为，故直线必过定点.11.【解】（1）设焦距为，则，所以，即，其渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，即，所以，所以的方程为；（2）（i）设，联立，化简得，，则，所以，解得