2026年高考数学终极冲刺：压轴12 数列中的创新与融合问题的4大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版）

压轴12数列中的创新与融合问题的4大核心题型新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.题型01数列与其他知识的交汇技法技法指导数列与三角相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.1.数列满足，，，.(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)求正整数，使得.2.（2025湖南长沙模拟）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．(1)用表示；(2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．题型02数列的新情境问题技法技法指导解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数列、等比数列等特殊的数列、转化为数列的通项、性质或求和问题.3．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取．(1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率；(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求．4．（2026·江苏南京·三模）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；(3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．题型03数列的新定义问题技法技法指导数列中的新定义问题，主要是指即时定义新概念、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于更透彻地理解新定义.但是，归根结底这些问题考查的还是数列的基本概念、性质和运算，根据条件适时转化是解决此类问题的基本思路与原则.5.（2025·安徽芜湖·期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立．（ⅰ）证明：数列为递增数列；（ⅱ）已知时，，证明：．6.（2025·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．(1)若数列为2，4，3，7，求的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．（i）探究与的关系；（ii）证明：．题型04数列的凹凸性技法技法指导数列的凹凸性是类比函数的凹凸性得到的，解决此类问题一般要从题目条件中挖掘出一个特殊的数列(例如等差数列、等比数列)，数列的凹凸性给出的不等关系就可以利用这个特殊数列的运算，结合不等式放缩加以证明.7.（2026·山东枣庄·模拟预测）若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数有三个零点，其中．证明：数列为“对数凹性”数列；(3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．证明：数列为“对数凹性”数列．8．（2026·浙江金华·三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．(1)证明：；(2)若，证明：；(3)若，，求的最大值．1．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记.(1)求函数的表达式；(2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和.2.（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令.(1)若数列，求数列；(2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；(3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式.3.（2025·浙江温州·模拟）设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有的数列为“好”数列．(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；(2)已知数列为“好”数列．①若，求数列的通项公式；②若，且对任意给定正整数，有成等比数列，求证：4.（2025·河南洛阳·模拟）已知函数．(1)当时，，求实数的取值范围．(2)若，设的正零点从小到大依次为．（ⅰ）证明：；（ⅱ）判断数列的单调性，并证明．附：当时，．5.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．(1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；(2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求．6．（2026·江苏盐城·月考）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中e为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”；(2)若关于x的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”；(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”证明：．7．（2026·北京海淀一模）已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列．(1)直接判断数列和是否为凸数列；(2)若是一个凸数列，证明：当，且时，有；(3)已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值．8．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；(2)已知二阶等差数列满足，，．①求数列的通项公式；②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．9．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．10.（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：第一组第二组第三组第四组第五组年龄人数30150906030(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的