2026年高考数学终极冲刺：压轴16 立体几何中的创新与融合问题的3大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版）

压轴16立体几何中的创新与融合问题的3大核心题型随着高考改革的不断推进，近期各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，在立体几何中以空间图形为背景的试题，其考查的知识内容和范围，涉及代数、几何、三角、向量、新定义等学科分支，对综合运用各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以重视.题型01立体几何与轨迹问题的融合技法技法指导1.动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.2.翻折有关的轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.1.在棱长为4的正方体中，棱上的点满足，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（

）A． B． C． D．42.（2025·江苏苏州三模）如图，在直角梯形中，，，，，为中点，现将沿折起，使得平面平面，连接，设为中点，动点在侧面和侧面上运动，且始终满足，则点形成的轨迹长度为.题型02立体几何与函数的融合技法技法指导立体几何中体积、距离、角的最值（范围）问题，常用的解题思路是：（1）直观判断：判断动点、动线、动面在变化中达到某一特定位置时，所求的量有相应最大（小）值；（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从而利用代数方法求解.3.（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为为上三等分点且靠近点，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面的距离与线段PF的长度相等．则当点运动时，的最小值是（

）A．12 B．13 C．14 D．174.如图，在长方体中，已知，，，若对角线上存在一点，使得，则的最大值是．

题型03立体几何中的创新问题技法技法指导用类比方法求解定义新性质创新问题的三个切入角度（1）从两个性质的相似性和差异性上理解新性质的准确性；（2）从两个性质的内涵、应用环境上的差异刻画新性质的“全貌”（本质）；（3）从类比方法获得启示，从而应用新性质解决问题.5.空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”．(1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标；(2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值．6.（2025·河南郑州·三模）在空间直角坐标系O-xyz中，已知向量，经过点，且以为法向量的平面α的方程为．(1)求原点到平面的距离；(2)根据平面直角坐标系中点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用有关知识证明；(3)已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．1.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（）A.3 B.4C.6 D.82．（2025·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（

）A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则（）A.AC1＝4 B.BC1＝4C.AB1＝6D.B1C＝64．（2025·江苏扬州二模）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（

）A． B．. C． D．5.如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为（）6．由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（）A． B．C． D．7.（多选）（2025·江苏南通·模拟）已知点P是正方体侧面（包含边界）上一点，下列说法正确的是（

）A．存在唯一一点P，使得B．存在唯一一点P，使得面C．存在唯一一点P，使得⊥D．存在唯一一点P，使得⊥面8．（多选）(2025·金华十校模拟)在矩形ABCD中,AB=2AD,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折到△A1DE,若M为线段A1C的中点,则在△ADE从起始到结束的翻折过程中()A.存在某位置,使得DE⊥A1CB.存在某位置,使得CE⊥A1DC.MB的长为定值D.MB与CD所成角的正切值的最小值为19.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1上一动点，Q是底面ABCD（含边界）内一动点，则D1P＋PQ的最小值为.10．（2025·浙江杭州·期末）如图在长方形ABCD中，，BC=1，E为线段DC上一动点，现将沿AE折起，使点D在平面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（

）

A． B． C． D．11.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于．12.（2025·吉林长春·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.13.设全体空间向量组成的集合为，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”；.(1)设，，若，求向量；(2)对于V中的任意单位向量，求的最大值.14.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理.如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ＝cosαcosβ＋sinαsinβcosθ.（1）当α，β∈（0，π2）时，证明以上三面角余弦定理（2）如图2，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°.①求∠A1AB的余弦值；②在直线CC1上是否