2026年高考数学终极冲刺：专题01 直线和圆七大热点题型（抢分专练）（原卷版）

11/11专题01直线和圆七大热点题型题型考情分析考向预测1.求圆的方程2.点直线圆的距离问题3.直线和圆的圆与圆的位置关系4.弦长问题5.圆的切线/切线长的问题6.直线与圆的综合最值问题7.直线与圆的跨模块综合问题2025年天津卷：第12题求弦长问题2025年新高考I卷：第7题直线和圆；点和圆的位置关系2024年全国甲卷：第10题求最短弦长问题2024年天津卷：第12题圆与抛物线的综合2024年新高考II卷：第10题考察圆与抛物线的综合1.题型分值：固定1-2道选填题（5-10分），不单独出解答题，偶作为圆锥曲线大题工具铺垫2.难度分布：以基础、中档题为主，压轴题集中在综合最值与交汇问题，区分度适中3.核心重点：聚焦直线与圆的位置关系、距离与最值、弦长与切线，圆的方程为基础4.命题趋势：强化几何性质与数形结合，弱化复杂代数运算，含参动态问题、多选题型占比提升5.交汇方向：常与向量、不等式、圆锥曲线（渐近线）轻度交汇，不涉及复杂跨模块综合题型1·.求圆的方程知识点解析1掌握圆的标准方程与一般方程熟练运用配方法互化2明确圆心半径的几何意义掌握直径式方程推导逻辑3利用中垂线距离相等垂直关系确定圆心位置4掌握隐圆三类常见模型定点定长直角圆周角定比值轨迹解题方法1已知圆心和半径直接写出圆的标准方程2已知三点条件设圆的一般方程待定系数法求解3出现直径端点直接套用直径式公式简化运算4无显性圆条件时根据几何定义识别隐圆转化常规圆问题【例1】（2026·浙江嘉兴·二模）已知A(−2,0),B(1,0)，若直线x−y+c=0上存在点P满足PA=2PB，则实数c的最大值是【变式1-1】（2026·天津北辰·一模）若直线3x−4y+12=0与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________．【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆C经过点A2,5，且与直线4x−3y+6=0相切于点B3,6，则圆C的标准方程为题型2·点直线圆的距离问题知识点解析1熟记两点距离点到直线距离两平行线距离三大核心公式2理解圆心到定点圆心到定直线距离的几何含义3掌握圆上动点距离最值的几何转化原理解题方法1直接套用距离公式规范代入数值规避符号计算错误2圆上点到定点最值利用圆心与定点距离加减半径求解3圆上点到定直线最值利用圆心到直线距离加减半径求解4判定圆上满足距离条件的点个数对比圆心距与半径大小【例2】（2026·安徽淮北·二模）已知点A，B分别是直线3x+4y+5=0和圆x2+y2=1上的动点，P2,2，则【变式2-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知A4,0，B0,−6，动点P满足PA⋅PB=3，若直线l:3x+4y−19=0上的两个点M，N满足MNA．18 B．27 C．36 D．54【变式2-2】【多选题】（2026·福建漳州·模拟预测）已知点P在圆C:x2+y2−2x−3=0上，点A，B分别为直线l:3x−4y+12=0与x轴，A．圆C截y轴所得的弦长为2B．AP的最大值为7C．直线AP的斜率最大值为3D．△ABP的面积的最小值为5题型3直线和圆，圆与圆的位置关系知识点解析1核心判定依据为圆心到直线距离与半径的大小关系2明晰相离相交相切三种位置对应的数量关系3了解含参直线的动态特征多数动直线存在固定定点4设两圆圆心距为两圆半径分别为且5包含外离外切相交内切内含五种基础位置关系6掌握两圆公共弦的定义与直线方程求法理解两圆连心线几何性质7明确两圆公切线的分类内公切线与外公切线的条数规律解题方法1求出圆心坐标与半径计算圆心到直线的距离2比较与的大小快速判定三种位置关系3相切临界问题令建立方程求解参数4含参直线先找恒过定点由定点与圆的位置辅助分析5先求出两个圆的圆心坐标与半径准确计算圆心距6利用与的大小关系直接判定位置关系7求公共弦方程直接将两圆一般方程作差消去二次项即可8涉及公切线问题结合圆心距半径差或半径和利用直角三角形几何求解9两圆相交问题连心线垂直平分公共弦可辅助求解弦长与中点【例3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过点0，−2且与圆x2+y2−2x=0相切的两条直线的夹角为αA．12 B．32 C．55【变式3-1】（2026·浙江温州·二模）已知圆O1:x+12+y2=1与圆O2:x−2【变式3-2】（2026·广东广州·二模）已知圆C:x2+y2−4y+3=0，若直线l:kx−y+3k=0上至少存在一点P，使得圆C上恰有两个点与点题型4弦长问题知识点解析1垂径定理核心内容圆心与弦中点连线垂直平分弦2掌握弦长公式的推导与应用3明确圆内最长弦为直径过定点最短弦垂直连心线4弦中点问题可结合垂直斜率关系与点差法求解解题方法1常规弦长计算先求圆心到直线距离代入弦长公式运算2弦中点问题利用圆心与中点连线和弦垂直的斜率关系列式3过定点弦长最值直接利用圆内弦长几何规律直接判断4范围类问题结合图形临界位置限制参数取值【例4】（2026·广东惠州·二模）直线x−y+4=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y−3)2=r2(r>0)交于C【变式4-1】（2026·四川眉山·二模）已知圆C:x2+y2=4，过点P23,0的直线l与圆C交于A，B两点，且【变式4-2】（2026·四川成都·二模）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与对称轴的交点为C(−2,0)，直线2x−y−8=0与抛物线交于A，B两点，则△ABC的外接圆在x轴上截得的弦长为（A．343 B．12 C．383 题型5圆的切线/切线长的问题知识点解析1切线核心性质切线垂直于过切点的半径2区分圆上一点圆外一点作切线的不同解题模型3熟记切线长公式切点弦直线方程常用二级结论解题方法1过圆上一点作切线借助半径垂直切线求斜率快速写方程2过圆外一点作切线设直线方程利用求解勿忘斜率不存在3切线长计算采用几何勾股定理模型简化代数运算4切点弦相关题目直接套用结论快速写出对应直线方程【例5】（2026·广东广州·二模）已知点P在圆(x−2)2+y2=1上，点O0,0,AA．3+22 B．3−22【变式5-1】（2026·广东汕头·模拟预测）M(−3,2)为平面直角坐标系xOy中一点，直线的方程为l:ax+y+a=0(a∈R)，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线x+y−4=0上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则∠APB正弦值的最大值为（A．25 B．215 C．321【变式5-2】【多选题】（2026·重庆·一模）已知O为坐标原点，点Pa,b在直线l：kx−y−4=0k∈R上，PA，PB是圆x2+y2=2A．直线l恒过定点0,4B．当△PAB为正三角形时，OPC．当PA⊥PB时，k的取值范围为−D．当PO⋅PA=14时，题型6直线与圆的综合最值问题知识点解析1以数形结合为核心思想利用圆的几何性质简化最值运算2常与平面向量不等式圆锥曲线渐近线进行知识交汇3圆的参数方程可通过三角换元简化坐标类代数式最值解题方法1几何最值类题目优先作图分析用圆心距半径转化条件2代数最值问题选用圆参数方程换元或几何边界法求解3多模块交汇题型拆分条件单独处理直线与圆基础部分4动态范围压轴题锁定相切临界交点等特殊位置分析【例6】（2026·湖北·二模）已知圆C:x−22+y−22=8，直线l:x+y=10，过直线l上一动点P作圆C的两条切线，切点记作A，A．233 B．433 C．【变式6-1】（25-26高三·全国·二轮复习）已知直线l1：mx+y−m−3=0与l2：x−my+m−3=0相交于点M，直线AB的方程为x+y+2=0，则点A．2 B．42 C．22 【变式6-2】（2026·云南·模拟预测）已知直线l:ax−by+2a+b=0与圆C:x2+y2−2y−7=0相交于A、A．2 B．22 C．4 D．题型7直线与圆的跨模块综合问题知识点解析1核心是直线与圆作为基础载体与其他模块深度融合2高频跨模块类型直线圆+平面向量直线圆+圆锥曲线直线圆+三角函数直线圆+不等式3掌握各模块与直线圆的衔接点向量侧重数量积运算圆锥曲线侧重渐近线与圆位置三角侧重参数换元4核心思想为转化与化归将跨模块问题拆解为直线圆基础问题+对应模块常规问题解题方法1拆分题干条件分离直线圆相关条件与跨模块条件优先解决直线圆基础问题2直线圆+向量转化向量数量积为坐标运算结合圆的范围求解最值或参数3直线圆+圆锥曲线聚焦渐近线准线与圆的位置关系利用距离公式位置判定突破4直线圆+三角/不等式借助圆的参数方程换元转化为三角最值或不等式范围问题5全程贯穿数形结合避免复杂代数联立优先利用几何性质简化运算【例7】【多选题】（2026·河北沧州·一模）已知动圆C:x−x02+A．若圆C经过原点O，则实数x0B．若圆C被直线y=1eC．存在x0>1，使得圆D．圆C上的点到直线y=x+3的距离的最小值为2【变式7-1】【多选题】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）抛物线E：y2=2pxp>0的焦点为F，以Dp,0为圆心，DF为半径得到圆D，圆D上有一点p,1.过点F的直线与E交于P，Q两点，与圆D另交于点A．p=2 B．当PF=2FQ时，C．当PF=2FQ时，MF=【变式7-2】．（2026·北京昌平·一模）已知圆x2+y2=5与抛物线C:y2=2pxp>0的准线的一个交点为A（A在x轴上方），点A关于y轴的对称点B在抛物线C上，则p=_____；若直线x−y+m=0一、单选题1．（2026·河北邢台·一模）已知集合A=(x,y)tx−y=1，B=(x,y)(x−1)2+(y−1)A．1 B．±1 C．34 D．2．（2026·河北·模拟预测）已知圆x2+(y+2)2=9上到直线l:2x+(m−1)y−2−2m=0A．−∞,3C．−∞,8−3．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线l:y=kx+2与圆C:x−32+y+12=12相交于A、B不同两点，劣弧AB所对的圆心角为∠ACBA．−3,+∞C．−33,+4．（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形ABC的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切，若点P是圆B上的动点，则AC⋅AP的最大值是（A．23 B．2+3 C．4 5．（2026·陕西渭南·二模）已知P是圆C:x2+y2−6y=0上一动点，若直线l:3x−4y−13=0上存在两点A，B，使得A．2 B．4 C．95 D．6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知圆C：x−m2+y2=m2（m≠0）与直线l：y=kx+1相交于M，NA．mk=1 B．mk=−1 C．m=k D．m=−k7．（2026·江苏·模拟预测）已知动点P在圆O:x2+y2=1上，点A−2,0A．−1,0 B．255,−55 8．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形MON，O为直角顶点，MN=22，OA=1，OB=2，OB⋅AB=1，若A，B到直线MN的距离分别为d1和A．22+5 B．2+5 二、多选题9．（2026·河北·一模）已知直线l:mx−y+2m+1=0，圆C:x2+A．直线l与圆C相交B．直线l被圆C截得弦长的最大值与最小值的和为4+2C．若圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线l有两条D．若P(−5,0),Q(−2,0)，M是圆C上任意一点，则|MP|=2|MQ|10．（2026·云南曲靖·一模）已知点A0,−1，B2,−1，P是圆C:x2+y2A．1 B．2 C．3 D．411．（2026·河南开封·二模）已知点P是圆O:x2+y2=4上一动点，点A．点P到直线MN的距离的最大值为12B．满足PM⊥PN的点P有2个C．过点N作圆O的两条切线，切点分别为A, B，则直线ABD．2PM+12．（2026·江西南昌·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A−2,0，B2,0，动圆C：x−12+y−r2=r2r>0，过点A，B分别作斜率为k1，k2kA．PB>1 B．k1<3 C．三、填空题13．（2026·湖南常德·二模）已知曲线y=ex在x=0处的切线l与圆C：x−12+14．（2026·天津南开·一模）过点A−2,0及圆M：x−22+y2=16与抛物线15．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已