2026年高考数学终极冲刺：专题02 抽象函数的性质：定义域、值域、求值、单调性、奇偶与对称性、周期性、解析式（抢分专练7大热点题型）（原卷版）

4/4专题02抽象函数的性质：定义域、值域、求值、单调性、奇偶与对称性、周期性、解析式题型考情分析考向预测1．抽象函数的定义域、值域2026年上海卷：第16题考查了抽象函数的值域2025年北京卷：第7题考查了抽象函数的值域2024年新高考卷Ⅰ：第8题考查了抽象函数的求值2023年新高考卷Ⅰ：第11题考查了抽象函数的奇偶性与求值考查抽象函数的奇偶性与以及周期性结合求值2．抽象函数的求值3．抽象函数的单调性（定义法）4．抽象函数的奇偶性5．抽象函数的对称性6．抽象函数的周期性7．抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）题型1抽象函数的定义域、值域抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.1．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．5．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和6．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（

）A．2 B．3 C．6 D．9题型2抽象函数的求值一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解；1．（24-25高三上·江西·月考）已知函数的定义域为，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（

）A．34 B．35 C．36 D．373．（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（）A．3 B．4 C．5 D．64．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足：，都有，且，则（

）A． B．0 C．1 D．25．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（

）A． B． C． D．6．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（

）A． B． C． D．题型3抽象函数的单调性（定义法）1、令式子中出现的变换判定单调性；2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题①在上是奇函数，且单调递增若解不等式，则有；在上是奇函数，且单调递减若解不等式，则有；②在上是偶函数，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；在上是偶函数，且在单调递减若解不等式，则有（变号加绝对值）；③关于对称，且单调递增若解不等式，则有；关于对称，且单调递减若解不等式，则有；④关于对称，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；关于对称，且在单调递减若解不等式，则有（不变号加绝对值）；1．（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有．(1)求证：，且当时，有；(2)判断在上的单调性．2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足条件：①对定义域上任意，都有；②当时，．(1)求证：；(2)求证：在上单调递增．3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上，且，当时，．(1)求证：当时，；(2)求证：在上单调递减．4．（2026·湖北孝感·一模）已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时，；③对，均有，且．(1)用表示；(2)判断的单调性，并证明你的结论；(3)已知数列满足，求数列的前n项和．5．已知函数在上满足，且当时，；当时，．(1)求的值；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若，求不等式的解集．题型4抽象函数的奇偶性令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（

）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数2．已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（

）A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数3．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（

）A．一定是奇函数 B．一定是偶函数C．一定是奇函数 D．一定是偶函数5．函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（）A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数题型5抽象函数的对称性1、对称轴：或者关于对称；2、对称中心：或者关于对称；3、如果同时关于对称，又关于对称，则的周期1．已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．2．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（）A． B．是奇函数C． D．的图象关于点对称3．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，，若方程在区间上恰有四个不同的实数根，则（）A．2 B．4 C．8 D．64．（多选题）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有，则（）A．是奇函数 B．是偶函数C．关于直线对称 D．关于点对称5．（多选题）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（

）A． B．的最小值为C． D．的图象关于点对称题型6抽象函数的周期性1、换为确定周期性.2、；；；（为常数）；1．（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，，，则（

）A． B．0 C． D．3．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数满足，，则（

）A．3 B． C．5 D．4．函数满足对任意的，均有，且，则（

）A．4048 B．4046 C．2024 D．20235．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则（

）A． B．2 C． D．20266．已知定义在上的函数，满足，且，则（

）A．1 B．10 C．11 D．1024题型7抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）1、常见的抽象函数模型【反比例函数模型】反比例函数：，则，【一次函数模型】模型1：若，则；模型2：若，则为奇函数；模型3：若则；模型4：若则；【指数函数模型】模型1：若，则；模型2：若，则；模型3：若，则；模型4：若，则；【对数函数模型】模型1：若，则模型2：若，则模型3：若，则模型4：若，则模型5：若，则【幂函数模型】模型1：若，则模型2：若，则代入则可化简为幂函数；【正弦函数模型】对于正弦函数

，与其对应的抽象函数为注：

此抽象函数对应于正弦平方差公式：【余弦函数模型】对于余弦型函数

，涉及2种余弦的和差化积公式1、公式一：其抽象函数模型是：2、公式二：其抽象函数模型是：3、若，则【正切函数模型】模型：若，则2、其他技巧（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；（2）借助函数的单调性，脱掉“”；（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数满足，则以下结论错误的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·河南·月考）下列函数中，满足的为（

）A． B． C． D．3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（

）A．0 B．1 C．2024 D．20254．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（

）A．25 B．125 C．625 D．156255．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（

）A． B．方程有解C． D．1．（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．-22．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和4．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知定义域为的函数满足，则（

）A．102 B．101 C．100 D．995．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（

）A． B．-1 C． D．06．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，且，，则（

）A．2024 B． C． D．07．（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（

）A．0 B．2 C．4 D．68．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（

）A．9 B．12 C．16 D．189．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义在的增函数满足：，且.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．1110．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（

）A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．11．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（

）A． B．0 C． D．112．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为，若，则（

）A．－2 B．－4 C．2 D．413．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数14．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（

）A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数15．已知定义在上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（

）A．B．C．函数为减函数D．函数的图象关于点对称16．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（

）A． B．方程有解C．是偶函数 D．是偶函数17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．是增函数18．（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（）A． B．C． D．19．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C．函数是奇函数 D．函数是偶函数20．（2025·浙江温州·三模）已知函数的定义域为，，，且，则（

）A．B．C．D．21．（24-25高三上·福建厦门·月考）定义域为的函数，对任意x，，，且不恒为0，下列说法中正确的是（

）A． B．为偶函数C． D．若，则22．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件23．已知定义在R上的函数，不恒为，且满足，，，则下列说法不正确的是（

）A． B．为奇函数C．点是函数图象的对称中心 D．为周期函数且周期为224．（多选题）（23-24高三上·山东·月考）已知是定义在上的不恒