2026年高考数学终极冲刺：专题08 累加、累乘、构造、递推法求数列的通项公式（抢分专练4大热点题型）（原卷版）

4/4专题08累加、累乘、构造、递推法求数列的通项公式题型考情分析考向预测1．累加法 2025年天津卷：第6题考查了递推法求数列通项公式2024年全国甲卷（文）：第17题考查了2024年全国甲卷（理）：第18题考查了2023年北京卷：第8题考查了累加法求数列通项公式递推、构造法求数列通项公式，注意观察是否需要检验。2．累乘法3．构造法4．递推法题型1累加法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：大题注意检验n=1时满足条件.1．（25-26高三上·重庆南岸·期中）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算术·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第8层小球的个数为（

）A．28 B．36 C．45 D．552．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（

）A． B．C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（

）A． B．3 C．4 D．4．已知数列满足，若，则（

）A． B． C． D．5．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．6．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（

）A．3 B．6 C．2 D．4题型2累乘法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．1．已知数列满足，记的前项和为，则（）A． B． C． D．2．已知数列满足，且，则（

）A． B．0 C．1 D．23．若数列满足，，则______，数列的通项公式______．4．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（

）A． B． C． D．5．记为首项为1的数列的前项和，且，则（

）A． B． C． D．6．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（

）A． B． C． D．题型3构造法1、形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得（*）法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出2、形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用（*）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再转化用（*）便可求出．3、形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；4、还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．5、形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式1．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．2．已知数列中，，则（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足：，对，则（

）A． B．C． D．4．已知数列中，，且，则___________．5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________．6．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项______．7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求．8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式．题型4递推法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．1．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．2．已知数列的前项和为，若，则（

）A．8 B． C．16 D．3．已知是数列的前项和，且满足，.则（

）A． B． C． D．4．已知数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．5．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知数列的前项和满足：，且，那么（

）A．2 B．4 C．2026 D．20286．设是数列的前n项和，若，则＝（）A． B． C． D．7．记数列的前项和满足，则（

）A． B． C． D．8．若数列满足，则（

）A．32 B．10 C． D．9．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（

）A． B． C． D．10．已知正项数列，满足，，则（

）A．2 B． C．2024 D．1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．2．已知为数列的前项和，，，那么（

）A．-64 B．-32 C．-16 D．-83．已知Sn是数列{an}的前n项和，且则（

）A．是等比数列 B．数列是等比数列C． D．4．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列中，，则（

）A．5 B． C．4 D．5．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．6．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．7．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（）A． B．C． D．8．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．9．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．52010．已知数列满足，，且是公比为的等比数列，，则（

）A． B．C． D．11．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．12．（25-26高三上·河北保定·期中）已知为数列的前项和，，则（

）A． B． C． D．13．（23-24高三下·湖北·月考）已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（

）A． B．C．