2026年高考数学终极冲刺：专项01 三角函数、三角恒等变换与解三角形9大题型（大题专练）（全国适用）（原卷版）

1/2专项01三角函数、三角恒等变换与解三角形内容导航【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分根据近五年全国卷考情，三角函数、三角恒等变换与解三角形是必考主干，分值约13-22分．命题趋势：解答题：稳定考查解三角形（常为第15题或16题），核心是利用正余弦定理和面积公式解决边、角、面积等综合问题．2026年预测：解答题极可能仍为解三角形常规题．备考核心：熟记定理与公式，解答题强化“边角互化”综合训练，小题提升图象分析与快速变形能力．题型01三角恒等变形与三角函数图象问题析典例·建模型1．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示.(1)当时，求的单调递增区间；(2)已知，且，求的值.研考点·通技法此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多.1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)（2）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，2、再通过辅助角公式“化一”，化为3、辅助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.破类题·提能力1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数，直线与函数两个相邻交点之间的距离为；(1)求在上的单调递增区间；(2)设函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，在区间上若恒成立，求的取值范围．条件①：的最大值为；条件②：在区间上单调递增；条件③：为偶函数．2．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；(3)若，有三个极值点，求实数的范围.题型02三角形中边长及周长问题析典例·建模型1．（2026·四川绵阳·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求；(2)若，且的周长为8，求．2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.(1)求；(2)若，求锐角周长的取值范围.研考点·通技法利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来.对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题破类题·提能力1．（25-26高三上·天津·期末）在中，角所对的边分别为．已知．(1)求角的大小；(2)若，求的值；(3)若，求的值．2．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，.(1)求c及C；(2)求周长的最大值.3．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积；(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．题型03三角形中面积问题析典例·建模型1．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且.(1)若，求的大小；(2)当取得最小值时，求的面积.2．（25-26高三下·贵州贵阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．(1)求角A的大小；(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．研考点·通技法利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思路是：选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题破类题·提能力1．（2026·贵州贵阳·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．(1)求A的大小；(2)若，，试判断的形状，并求的面积．2．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．(1)求角B的大小；(2)若b＝4时，求△ABC面积的最大值．3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.(1)求证：；(2)求的取值范围；(3)若，求三角形面积的取值范围．题型04解三角形中三线问题析典例·建模型1．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，，求AB边上中线的长.2．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长.研考点·通技法三线问题指的是角平分线，中线，高线.对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.对于中线问题一般采用向量思想去解决.高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.破类题·提能力1．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且．(1)证明：；(2)若，且边上的中线的长度为，求的值.2．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求；(2)若，求BC边上的高的最大值．3．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角的大小；(2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度；(3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.题型05三角形中图形类边长及范围问题析典例·建模型1．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且.(1)求角；(2)已知，求的取值范围.2．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为.(1)求；(2)若，，求的最小值.研考点·通技法范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类是无限制三角形的对应的范围问题，一类是第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题破类题·提能力1．（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.(1)若，，求；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且．(1)求角的大小(2)求的取值范围．题型06三角形中证明类问题析典例·建模型1．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)B的角平分线BD交AC于D，（i）证明：；（ii）若，求的最大值．研考点·通技法解三角形证明题求解策略:1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口.2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢.3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算.4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果.5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理.破类题·提能力1．（2026·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的最大值.题型07解三角形中内切圆、外接圆问题析典例·建模型1．（2026·浙江·模拟预测）在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且.(1)求的值；(2)若的外接圆半径为，求的面积.2．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求C；(2)若，求的内切圆的半径.研考点·通技法解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即对于外接球半径问题一般采用正弦定理解决.破类题·提能力1．（25-26高三上·河北沧州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，.(1)求的外接圆半径；(2)若，，求中边上的高的值.2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知角、、的对边分别为、、，且.(1)求角大小；(2)求证：；(3)设为的内心，求的最小值.题型08解三角形中图形类问题析典例·建模型1．（25-26高三上·重庆·月考）如图为平面四边形中的角平分线，的面积为(1)求边BC的长度；(2)若的外接圆直径求△ACD的周长.2．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．

(1)若，求的值；(2)证明：当时，位于外接圆的内部．研考点·通技法利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解题的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后变成关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变成或者是对应面范围问题.破类题·提能力1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，．(1)求的面积；(2)若，且，求的长．2．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，.(1)若，，求的面积；(2)求的取值范围.题型09解三角形的实际应用析典例·建模型1．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.

(1)求处与小岛之间的距离；(2)求两座小岛之间的距离.2．（25-26高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为.(1)求出山高（结果保留一位小数）；(2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，.研考点·通技法解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景：1.测量距离先确定可测边与夹角，构造解三角形模型。两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦定理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位.2.测量高度区分底部可通达与不可通达。底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部不可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差.3.测量角度已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角的象限与方向标注，保证结果符合实际场景.破类题·提能力1．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，.(1)求的值；(2)若测量后发现，求两地的距离.2．（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米.(1)求重兴塔高；(2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值.（建议用时：60分钟）刷模拟1．（25-26高三下·重庆·月考）已知函数的最小正周期为．(1)若，，求的值；(2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域．2．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且．(1)求；(2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围．3．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为．(1)求；(2)若为锐角三角形，，求的值．4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，．(1)证明：；(2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值．5．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点．(1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长；(2)若，且，求的最大值和最小值．6．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，．(1)求的值；(2)求角的最大值．7．（2026·广东·一模）设的内角所对的边分别为，且，记.(1)若成等差数列，求的最小值；(2)若成等比数列，求的取值范围.8．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足．(1)证明：；(