2026年高考数学终极冲刺：专项03 空间向量与立体几何6大题型（大题专练）（全国适用）（原卷版）

1/2专项03空间向量与立体几何内容导航【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分根据近五年全国卷考情，空间位置关系、空间角或空间距离以及空间向量是必考主干，分值约15-27分．命题趋势：解答题：稳定考查空间位置关系的证明、空间向量法求解空间角或空间距离（常为第16至18题），核心是利用空间向量解决空间角与空间距离问题以及空间位置关系的证明等综合问题．2026年预测：解答题极可能仍为立体几何常规题，考查两平面夹角（二面角）或线面角的可能性较大．备考核心：熟记空间角与空间距离公式，解答题注意强化空间向量法及空间位置有关系的几何证明的综合训练，提升运算的准确率，小题注意几何法的灵活应用．题型01空间几何中的线面角析典例·建模型1．（2026·四川成都·二模）如图，在三棱柱中，，.(1)证明：直线平面ABC．(2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，．(1)证明：平面ABCD；(2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°．（ⅰ）求的长度；（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围．研考点·通技法1．垂线法求线面角（也称直接法）：先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）．2．公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解．公式为：sinθ=ℎl，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，3．向量法求线面角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则．破类题·提能力1．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知圆锥的顶点为，底面圆的半径为2，体积为．(1)求圆锥的表面积；(2)如图，设、是底面圆的半径且是等腰直角三角形，为线段的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．2．（25-26高三上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是分别以为斜边的等腰直角三角形，是棱上的动点.(1)证明：；(2)若与平面所成角的大小为，求的值.题型02空间几何中两平面的夹角析典例·建模型1．（2026·山东菏泽·一模）如图，在直三棱柱中，M、P分别为，的中点，点Q在上，且.(1)求证：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.研考点·通技法向量法求两平面夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则，注意两平面夹角的范围是到.破类题·提能力1．（2026·河北承德·一模）已知三棱锥P-ABC中，，，D为AC中点，M为BD中点，平面平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．(1)证明：；(2)若，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．2．（2026·四川宜宾·一模）在四棱锥中，四边形为矩形，为锐角三角形，，，，为棱的中点，平面与平面的交线为，直线与相交于点．(1)求线段长度的最小值；(2)若异面直线与所成角为．（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；（ⅱ）求三棱锥的外接球的表面积．题型03空间几何中的二面角析典例·建模型1．（25-26高三上·安徽六安·期末）如图，直四棱柱底面为菱形，，，，点为棱上靠近的三等分点，点在上且，过点M、N、C的平面与直线交于点.(1)求证：；(2)若，求三棱锥的外接球的表面积；(3)若二面角的余弦值为，求的值.研考点·通技法1．几何法求二面角（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．（4）射影面积法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便．2．向量法求二面角：若分别为平面的法向量，为平面所成二面角的平面角，则．.二面角的范围是0到180.破类题·提能力1．（2026·辽宁辽阳·一模）在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点．(1)证明：平面平面；(2)若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值．2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在等腰梯形中，，，是的中点.现将沿翻折，点翻折到点的位置，使得二面角的大小为.(1)求证：；(2)若点为的重心，求平面与平面所成二面角的正弦值.题型04空间距离问题析典例·建模型1．（25-26高三上·山东淄博·期末）如图所示，四边形为平行四边形，四边形为直角梯形，，，平面平面ABEF.(1)若为DF的中点，证明：平面ACP；(2)若，直线AC与平面DEF所成角的正弦值为，求点到EF的距离.2．（25-26高三下·浙江杭州·月考）如图，已知在四棱锥中，．(1)证明：；(2)若直线与平面所成角为，其中的中点是的中点是，求点到平面的距离．研考点·通技法1．几何法求距离（1）求点线距一般要作出这个“距离”，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.（2）求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个“距离”，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.2．向量法求距离(1)点线距：如图，先求出直线l的单位法向量n0，再求向量PA在法向量n0方向上的投影向量的长度｜PA·n0｜即可.(2)点面距：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝｜PA2.点到平面的距离点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量PA，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝｜PA·n0｜.破类题·提能力1．（24-25高三上·天津·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)求到直线的距离；2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.(1)证明：平面PBC；(2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离.题型05空间几何中的折叠问题析典例·建模型1．（25-26高三上·广西河池·期末）如图，等腰梯形中，，，，，，现将沿折起得四棱锥，在四棱锥中，点，分别在，上，且.(1)求证：平面；(2)若二面角为，求直线与平面所成角的余弦值.研考点·通技法1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2.折叠问题分析求解原则：（1）折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；（2）折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变3将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究.破类题·提能力1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且．(1)设平面与平面的交线为，证明：；(2)证明：平面；(3)求二面角的余弦值．2．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直角梯形中，，，，为中点，将沿折起，使到处．(1)求证：平面；(2)若平面平面，，，，且二面角的正弦值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求四棱锥外接球的表面积．题型06空间几何中的动点问题析典例·建模型1．（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，分别为棱上的点.(1)若∥，∥，证明:∥；(2)若分别为棱的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.研考点·通技法在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法.1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若a//b⟹2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标.3.依据：平面向量基本定理,若a,b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在x，y∈破类题·提能力1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边形中，满足，，，．(1)求证：平面平面；(2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，．(1)证明：；(2)若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（建议用时：80分钟）刷模拟1．（25-26高三上·广东深圳·月考）如图，在三棱锥中，平面PAB，平面平面ABC，点D，E分别为棱AB，AC的中点，.(1)证明：平面ABC；(2)点关于平面PDE的对称点为，求直线MB与平面PCD所成角的正弦值.2．（25-26高三下·山东·月考）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．(1)证明：；(2)若点是中点，求点到平面的距离．3．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．(1)证明：；(2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．4．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上．

(1)若，求证：点是棱的中点；(2)若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值．5．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点．(1)求证：平面；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，、、为圆台下底面圆周上三点，为直径且为上底面圆周上一点，、分别为线段、的中点，且满足：，平面平面.(1)求证：平面；(2)若，满足要求的点有且只有一个，设三棱锥外接球半径为，圆台的高为.（i）求；（ii为上底面圆周上一动点，当平面与平面夹角为时，求点到平面的距离.7．（25-26高三上·宁夏·月考）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为O.(1)求证：平面BCD；(2)若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.8．（2026·广东汕头·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，．设E为CP的中点．(1)求平面PAB与平面ABE夹角的正切值；(2)设F为线段PB上一点（含端点），求CF与平面ABE所成角的正弦值的范围；(3)直接写出四棱锥的外接球表面积与体积（无需证明）．9．（25-26高三上·山东青岛·期中）用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线.

(1)说明：曲线为椭圆；(2)建立适当坐标系，求曲线的方程；(3)当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小.10．（25-26高三下·重庆·月考）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）；(2)若平面三角形ABC为直角三角形，，设，则：（i）求证：；（ii）延长与球O交于点D，若直线，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面与平面的夹角为，若，求平面截球O的面积的最大值．刷真题1．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．(1)证明：平面平面；(2)设，且点，，，均在球的球面上．（i）证明：点在平面内；（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．(1)证明：平面；(2)求面与面所成的二面角的正弦值．3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四