初二年级上册压轴题数学检测试卷带答案

初二上学期压轴题数学检测试卷带答案

1.如图，已知C。是线段48的垂直平分线，垂足为D,C在。点上方，/B4C=30。，P是

直线C。上一动点，E是射线4：上除八点外的一点，PB=PE,连BE.

(1)如图1,若点P与点C重合，求N4BE的度数；

(2)如图2,若P在C点上方，求证：PD+；47=CE：

3.已知是等边三角形，的顶点。在边8c上

(1)如图1,若4。=。£,N4ED=60。,求NACE的度数;

(2)如图2,若点。为8c的中点，AE=AC,NEAC=90。，连CG求证：CE=2BF；

(3)如图3,若点D为8C的一动点，ZAED=90°,ZADE=30°f已知AABC的面积为

4&,当点。在8c上运动时，A48E•的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若变

化请说明理由.

3.如图1,在平面直角坐标系中，力。=AB.ZBAO=90\BO=Scm，动点。从原点。出发沿x

轴正方向以acM/s的速度运动，动点E也同时从原点0出发在)'轴上以反切/$的速度运动，

且。.6满足关系式〃+h2_4〃_%+5=0,连接ODOE,设运动的时间为/秒.

⑴求。力的值；

⑵当，为何值时，ABAD^OAE:

⑶如图2,在第一象限存在点P,使NAO尸=30。,NA尸。=15，求加沙.

y

图1图2

4.如图，在平面直角坐标系中，A(a,0),B(0,b),且|a+4|+——86+16=0.

(2)如图1,c为y轴负半轴上一点，连。，过点C作CDJ_C4使CD=C4连8。.求

证：NC8O=45。；

(3)如图2,若有一等腰RSBM/V,ZBMN=90°,连//V,取八/V中点P，连RM、PO.试

探究PM和P。的关系.

5.已知在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,AB=BC.

(1)如图1,若NBAD=90°,AD=2,求CD的长度;

(2)如图2,点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：ZPBQ=90°-^Z

ADC；

(3)如图3,若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足

PQ=AP+CQ,则(2)中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出N

PBQ与NADC的数量关系，并给出证明过程.

6.等腰取AABC中，NB4c=90。，AB=AC,点4、点8分别是y轴、x轴上两个动点，直角

（1）如图（1）,已知C点的横坐标为-1,直接写出点4的坐标；

⑵如图（2）,当等腰RtM8c运动到使点。恰为47中点时，连接OE.求证：ZADB=Z

CDE；

⑶如图（3）,若点A在x轴上，且A（-4,0）,点8在y轴的正半轴上运动时，分别以

。8、48为直角边在第一、二象限作等腰直角A8。。和等腰直角△ABC,连结C。交，轴于点

〃问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化请说明理山，若不变

化，请求出8P的长度.

7.如图，在"BC中，点。为直线8c上一动点，N£ME=90。，AD=AE.

图2图3

⑴如果N8AC=90°,AB=AC.

①如图1,当点。在线段8c上时，线段CE与8。的位置关系为,数量关系为

②如图2,当点。在线段8c的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；

⑵如图3,若△ABC是锐角三角形，NACB=45。,当点。在线段8c上运动时，证明：CE1

BD.

8.在RJA8C中，AC=BC,ZACB=90°,点、D是BC上一点、.

cC

D

(1)如图I,AD平分/6AC,求证A8=AC+C。；

(2)如图2,点E在线段AD上，且NCE£>=45。，ZBED=30°,求证8E=2AE；

⑶如图3,BMLAM,M是△ABC的中线4。延长线上一点，N在AO上，AN=BM,若DM

=2,则MN=_(直接写出结果).

【参考答案】

2.(1)ZABE=90°；(2)PD+AC=CE,见解析；(3)1

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：4BPE为等边

三角形，则NCBE=60°,故NABE=90°；

解析：(1)N48E=90。；(2)PD+^AC=CE,见解析；(3)1

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：A8PE为等边

三角形，则NCBE=60°,故N48E=90°；

(2)如图2,过P作PHL4E于H,连8C,作PG_LBC交8c的延长线于G,构造含30度

角的直角APCG、直角ZiCPH以及全等三角形(R5PG8gR3PH£),根据含30度的直角三

角形的性质和全等三角形为对应边相等证得结论；

(3)分三种情况讨论，根据(2)的解题思路得到PD=4AC+C£或PD=CE4aC,将数值代

入求解即可.

【详解】(1)解：如图1,•・•点P与点C重合，CD是线段的垂直平分线，

图1

.\PA=PB,

•••N%8=NP84=30°,

・•・NBPE=NPAB+NPBA=6G\

•：PB=PE,

•••△8PE为等边三角形,

jNC8E=60°,

:.NA8E=90°；

(2)如图2,过P作PH_L4E于从连8C,作PG_L8C交8c的延长线于G,

・.・8垂吏平分48,

：.CA=CB,

9：ZBAC=3Q°t

:.NACO=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=ZBCD=6Q0,

.,.ZGPC=ZHPC=30°,

,11

:.PG=PH,C6=CH=-CP,CD=-AC,

22

在RtLPGB和RtAPHE中,

\PG=PH

\PB=PE'

:・R3PGB学RSPHE(HL).

：.BG=EH,CB+CG=CE-CH,

：.CB+-CP=CE--CP,艮［JC8+CP=CE,

22

又•：CB=AC,

：,CP=PD-CD=PD--AC

2t

：.PD+-AC=CE；

2

(3)①当P在C点上方时，由(2)得：PD=CE-^AC,

当4C=6,CE=2时，PD=2-3=-l,不符合题意；

②当P在线段CD上时，

如图3,过P作PH_L4£于H,连8C,作PG_L8c交8c于G,

E

图3

此时RQPG8经RtZkPHE(HL),

；・BG=EH,即CB-CG=CE+CH,

：.CB--CP=CE+-CP,即CP=C8-CE,

22

又・.・CB=AC,

:.PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：,PD=CE--AC.

2

当AC=6,C£=2时,PD=2-3=-l,不符合题意;

如图4,

当4c=6,CE=20'j,PD=3・2=1.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直

角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨

论.

3.（1）60°；（2）见解析；（3）不变，

【分析】（1）由题意，先证△ADE是等边三角形，再证4BAD合4CAE,得

ZACE=ZB=60°；

（2）由题意，先求出NBEO30。，然后求出NCF

解析：（1）60。；（2）见解析；（3）不变，26

【分析】（1）由题意，先证是等边三角形，再证得N4CE=N

8=60°；

（2）由题意，先求出N8EC=30。，然后求出NCFE=90。，利用直角三角形中30度角所对直

角边等于斜边的一半，即可得证；

（3）延长人£至F,使连。尸、CF,先证明44。尸是等边三角形，然后证明AEGEg

△EHA，结合HG是定值，即可得到答案.

【详解】解：（1）根据题意，

•；AD=DE,ZAED=60°,

是等边三角形，

:.AD=AE,ZDAE=60°,

VAB=AC,N8AC=60°,

JABAC-ADAC=ZDAE-NDAC,

即NB4D=NC4£,

:.△BAg&CAE,

:.Z/4C£=ZB=60°；

(2)连CF,如图：

图2

*：AB=AC=AE,

:.ZAEB=ZABE,

VZBAC=60°,ZEAC=90°,

/.Z64E=150°,

NA眸NA8E=15°；

•••△4CE是等腰直角三角形，

:.N4EC=45°,

AZ8£C=30°,NEBC=45°,

*：AD垂直平分BC,点、F在AD上,

：.CF=BF,

，/FCB=NE8c=45°,

:.ZCFf=90°,

在直角ACEF中，ZCFE=90°,ZC£F=30°,

：,CE=2CF=2BF；

(3)延长*至F,使EF=N£,连。F、CF,如图:

VZAED=90\EF=AE,

・・・D£是中线,也是高，

•••△ADF是等腰三角形，

,:ZADE=30°,

:.ZDAE=60°,

•••△ADF是等边三角形；

由(1)同理可求N4CF=N4BC=60。，

:.ZACF=ZBAC=6Q0,

：,CF//AB,

过E作EG_LCF于G,延长GE交84的延长线于点片，

易证AEGF也△£/■//，

；・EH=EG=；HG,

•・・HG是两平行线之间的距离，是定值，

:.S^ABE=JS^ABC=-x4x/3=2A/3；

22

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的

性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握

所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

57.已知，4(0,Q),B[b,0),点为x轴正半轴上一个动点，AC=CD,48=90。.

(1)已知。，b满足等式Ia+b|+川+4匕=—4.

①求A点和B点的坐标；

②如图1，连8。交y轴于点H,求点H的坐标；

(2)如图2,已知a+b=O,OOOB,作点8关于y轴的对称点E,连。2点F为DE的中

点，连OF和CF,请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论.

(1)①4(0,2),B(-2,0)；②〃(0,-2)；(2)CFLOF,CF=OF,证明见解析.

【分析】(1)①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答

案；

②过C作y轴垂线交8A的延长线于£,然后证明△CEAgaCBD,得到。8=。从即可得到

答案；

(2)由题意，先证明△OFGgAEFO,然后证明△DCGgZ\4：。，得到ZiOCG是等腰直角三角

形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立.

【详解】解：(1)•・・|。+4+〃+4〃=-4,

/.\a+t\+b2+4b+4=0,

.・.|a+〃|+S+2)2=0,

.*.«+/?=(),Z?+2=0,

b=-2f

a—2,

：,A(0,2),B(-2,0)；

②过C作x轴垂线交BA的延长线于E,

*：OA=OB=2,ZAOB=9Q\

••.△AOB是等腰直角三角形，

:.NA8O=45°,

VEC±ec,

•••△8CE是等腰直角三角形，

；・BC=EC,ZBCE=9Q°=ZACDf

：.NACE=NDCB,

*：AC=DCt

:.△CEAdCBD,

ZCDD=Zf=45°,

：・OH=OB=2,

:.H(0,-2)；

(2)补全图形，如图：

•・•点8、E关于v轴对称,

：,OB=OE,

a+b=O»BPa——b

：.OA=OB=OE

延长OF至G使FG=OF,连DG,CG,

•：OF=FG,ZOFE=ZDFG,EF=DF

：,DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

，NCOG=NOC。；

'：ZACO+ZCAO=ZACO+ZDCO=9Q°,

：.ZDCO=ZCAO；

:.ZCDG=ZDCO=ZCAO；

*：CD=AC,OA=DG

：./\DCG^LACO

：,OC=GC,ZDCG=ZACO

/.ZOC6=90°,

:.NCOF=45°,

•••△OCG是等腰直角三角形，

由三线合一定理得CF_LOF

VZOCF=ZCOF=45°,

:・CF=OF；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性

质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题.

58.已知点A在X轴正半轴上，以OA为边作等边404?,A(x,0),其中X是方程

3I22…

------------7=-------的解.

23x-l6.r-2

(1)求点4的坐标；

(2)如图1,点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边ACD,连。8并延长

交V轴于点E求N8EO的度数：

(3)如图2,点F为x轴正半轴上一动点，点F在点4的右边，连接FB,以FB为边在第

一象限内作等边；FBG,连G4并延长交y轴于点H,当点F运动时，。〃-人”的值是否发

生变化？若不变，求其值；若变化，求出具变化的范围.

(1)4(3,0)；(2)120°：(3)尸的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解为x=3,即可求解；

(2)由"SZS'可证△C4O也△048,可得ND84=NCO4=90°,由四边形内角和定理可求

解；

(3)由"S4S"可证△ABG妾AOBF可得OF=AG,N84G=N8OF=60°,可求NOAH=60°,可

得47=6,即可求解.

312，

【详解】解：(1)〈X是方程;-h、=二•的解.

23x-\6x-2

解得：x=3,

检验当x=3时，6x-2w0,3x-lw0,

:.x=3是原方程的解，

工点A(3Q);

(2);△ACD,AAB。是等边三角形，

：.AO=AB,AD=AC,^BAO=ZCAD=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=48,AD=AC,

•・•△CAg△勿8(5A5)

：.ZDBA=ZCOA=90°,

:.ZABE=9Q\

*/NAOE+ZABE+/0A8+NBEO=360°,

，N8EO=120°；

(3)GH-AF的值是定值,

理由如下：•••△ABC,Z^FG是等边三角形，

：,BO=AB=AO=3,FB=BG,ZBOA=ZABO=ZFBG=60°,

：.ZOBF=ZABG,且08=48,BF=BG,

/\AB6^/\0BF(SAS),

：,OF=AG,N84G=N8CF=60°,

・MG=OF=OW+AF=3+AF,

ZOAH=18Q0-ZOAB-ZBAG,

；・NOAH=60°,且N4OH=90°,04=3,

.\AH=6,

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=6+3+AF-AF=9.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的

性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.

59.等边A48c中，点〃、K分别在边3C、AC上，旦AK=C〃，连接A”、歌交于点

F.

(1)如图1，求NAFB的度数：

图1

BF

(2)连接CF,若N6fC=9()。，求——的值；

AF

(3)如图2,若点G为47边的中点，连接FG,且Ab=2尸G,则的大小是

图2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由AA8C是等边三角形，可得出A8=AC=8C,

ABAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C〃，可证A43Kg△C4，(SAS),得出

ZCAH=ZABK,由/3阳=乙$长+/加?=/64/7+/84/可求出/5"/,最后由外角

定义求出/AF8.

(2)在所上取点O,^BD=AF,由&尸8=120。可证N4/，C=150。，冉利用

AB=AC,ZABD=^CAF,或>=A尸可证明A48Z泾AC4/(SAS),进而求出

44DB=NCFA=15O°,再用补角的性质得知NAH>=120。，在V4/7)中利用外角的性质可

求出/皿)=44。8-乙4律=30。，进而证出VA")为等腰三角形，最后可证出

HF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延长至E,使AA庄为等边三角形，延长尸G交CE于7,可得出

^ABF^^ACE(SAS),进而得出NA£C=N41・8=I2O。，利用角的和差得出

4FET=泣=4AFE,则证出八F//EC,进而证出AAFG当△C76(A4S),再利用

AF=2FG,从尸="＞证出为等边三角形，进而记出NAR7=120。.

【详解】(1)•・•AABC是等边三角形，

AAB=AC=BC,ZBAC=ZAI3C=ZACI3=60°,

在AABK和A。”中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

SABK^ACAH(SAS),

JZCAH=ZABK,

J./RFH=ZABK4NBAF=NGA"-l-NRAF=60°,

JZAFB=180°-NBFH=18()°-60。=120°.

(2)在所上取点£),使8D=Ab.

由(1)知ZAAB=120。，

又NBFC=90。,

：.ZAFC=150°.

在AAB£)和ACA尸中，

AB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

・•・AABD^ACAF(SAS),

ZAD2?=ZCE4=15O°,

Z/™=30°,

•・,ZAFD=120°,

:.ZLFAD=ZADB-ZAFD=30°,

/.ZFDA=ZFAD.

AF=DF,

VBD=AF,

：.BD=DF=AF,

/.BF=BD+DF=2AF,

；・BF:AF=2.

(3)ZBFG=120°.

提示：目测即得答案.详细理由如下：

由(1)知NAF3=120。.延长至£,使44所为等边三角形.

延长尸G交CE于r.

•・•ZBAF+ZFAC=ZFAC+Z.CAE=60°,

・•・ZBAF=NCAE,

在△84F和VC4E中，

AF=AE

ZBAF=乙CAE,

AB=AC

JA/W尸@AACE(%S),

，ZAEC=ZAFB=\2(T.

：.々£7=60。=44庄，

AF//EC.

:・/FAG=NTCG,ZAFE=ZTEF=6O0

在,AFG和C7G中，

ZAG=4TCG

<AG=CG,

ZFGA=NTGC

・•.^AFG^CTG(AAS),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

ZAFE=Z7EF=60°

・・・AEFT为等边三角形,

・•・NEFF=60。

・•・ZBFG=1800-ZEFT=120°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.

60、在平面直角坐标系中，4。，0),8(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C

与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点.

(1)当2a2+4ab+4b2+2Q+1=0时，求4,8的坐标；

(2)当Q+b=0时，

①如图1,若。与P关于y轴对称，P£_LD8并交。8延长线于E,交28的延长线于F,求

证：P8=PF；

②如图2,把射线8P绕点8顺时针旋转45o,交x轴于点Q,当CP=4Q时，求N4PB的

(1)A(-1,()),8(0《)；(2)①见解析；②N4P8=225

【分析】(1)利用非负数的性质求解即可；

(2)①想办法证明NPBF=NF,可得结论；②如图2中，过点。作QF_LQ8交P8于F,

过点F作FH_Lx轴于H,可得等腰直角"QF,证明也△QB。(AAS)，再证明FQ=FP

即可解决问题.

【详解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+2b)2+(a+1)2=C,

'：(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

・・・a=-1,b=y,

：.A(-1,0),8(0,y).

:a+b=0,

，a=-b,

：,OA=OB,

又：N4O8=90。，

：,ZBAO=ZABO=45°,

•・・。与P关于y轴对称,

:・BD=BP,

；・NBDP=/BPD,

设N80P=N8P0=a,

贝ljNP8F=ZBAP+^BPA=45Q+a,

•；PELDB,

，N8EF=90°,

：.ZF=90°-ZEBF,

又NEBF=/ABD=NBAO_N8OP=450・a,

/.ZF=450+a,

:・NPBF=/F,

：.PB=PF.

②解：如图2中，过点Q作QF_LQ8交P8「F,过点F作FH_Lx轴于H.可得等腰直角

'：ZBOQ=NBQF=ZFHQ=90°,

/.ZBQO+ZFQH=90%NFQH+NQFH=90。,

工/BQO=/QFH,

•；QB=QF,

：・AFQH学AQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

:.HO=AQ=PC,

:,PH=OC=OB=QH,

:・FQ=FP,

又N8FQ=45°,

NAP8=22.5°.

【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三

角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题.

61.如图，已知C。是线段的垂直平分线，垂足为D,C在。点上方，N84C=30。，P是

直线CD上一动点，E是射线AC上除4点外的一点，PB=PE,连8E.

(1)如图1，若点P与点C重合，求NA8E的度数；

(2)如图2,若P在C点上方，求证：PD+^AC=CE,

(3)若AC=6,CE=2,则PD的值为(直接写出结果).

(1)Z4BE=90°；(2)PD+^AC=CEt见解析；(3)1

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：ABPE为等边

三角形，则NCB£=60°,故N48E=90°；

(2)如图2,过P作PHL4E于H,连8C,作PG_LBC交8c的延长线于G,构造含30度

角的直角APCG、直角ZiCPH以及全等三角形(RZGBgRSPHE)，根据含30度的直角三

角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；

(3)分三种情况讨论，根据(2)的解题思路得至1」。。=4八。+。£或。。=。£-：4。，将数值代

22

入求解即可.

【详解】(1)解：如图1,•・•点P与点C重合，CD是线段48的垂直平分线，

图1

：.PA=PB,

：.ZPAB=^PBA=3Q\

:.NBPE=NPAB+NPBA=6G0,

•:PB=PE,

•••△8PE为等边三角形，

:.NC8E=60°,

:.Z48E=90°；

(2)如图2,过P作PH14E于小连8C,作PG_L8c交8c的延长线于G,

<8垂直平分八8,

：,CA=CB,

•••/8AC=30°,

，4CD=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=Z88=60°,

/.ZGPC=ZHPC=30%

11

：・PG=PH,C6=CH=-CP,CD=-AC,

在R3PGB和中，

PG=PH

PB=PE'

：・R3PGB且R3PHE(HL).

:・BG=EH,BPCB+CG=CE-CH,

：.CB+-CP=CE--CP,BPCB+CP=CE,

22

又・.・C8=4C,

.\CP=PD-CD=PD--AC,

：.PD+-AC=CE；

2

(3)①当。在。点上方时，由(2)得：PD=CE-^AC,

当AC=6,CE=2时，PD=2-3=-l,不符合题意：

②当P在线段CD上时，

如图3,过P作PH_L4£于从连8C,作PG_L8C交8c于G,

此时RSPG8gRJPHE(HL),

：.BG=EH,HPCB-CG=CE+CH,

Cfi--CP=C£+-CP,即CP=CB-CE,

又."8=4(7,

，PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：.PD=CE--AC.

2

当4c=6,C£=2时，PD=2-3=-l,不符合题意;

③当P在。点下方时，如图4,

同理，PD=-AC-CE,

2

当心6,C£=2时,PD=3-2=1.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直

角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨

论.

62.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0“），点8的坐标（尻0）且a,b满足

a2-]2a+36+\a-b\=0.

（1）求A、8两点的坐标；

（2）如图（1）,点C为x轴负半轴一动点，OC<OB,8OJ.4C于。，交y轴于点E,

求证：OO平分NCOS.

（3）如图（2）,点F为4B的中点，点G为x正半轴点3右侧的一动点，过点F作尺7的

垂线”，交y轴的负半轴于点H,那么当点G的位置不断变化时，的值是

否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果.

（1）40,6）,8（6,0）；（2）证明见解析；（3）不变化，SAFH-SFBG=9.

【分析】（1）由非负性可求。，b的值，即可求4、8两点的坐标；

（2）过点。作OM_L8O于M,ON_LAC于N,根据全等三角形的判定和性质解答即可；

（3）由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF,得出OF=BF.ZfiFO=

ZGFH,进而得出NOFH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三

角形面积公式解答即可.

【详解】解：（1）・・・。2—12a+36+|a—4=0

工（a—6）~+|a—4=0,

a-6=0

即a=/>=6.

a-b=0

・・・A(0,6),8(6,0).

(2)如图，过点。作OM_LA。于M,ON1AC于M

根据题意可知N4CO+NC4090。.

•・•BD1AC,

工ZBCD+ZCBE=90°,

工NCAO=4CBE.

A(0,6),4(6,0),

，0A=0B=6.

NCAO=NEBO

在△AOC和△BOE中，OA=OB

/AOC=ZBOE=90°

:.AOC^BOECASA).

：.OE=OC,AC=RE,SAOC=SBOE

.」AC・ON=LBE・OM,

22

：.OM=ON,

:•点、。•定在NCDB的角平分线I.,

即0。平分NCD8.

(3)如图，连接OF,

・・・JO"是等腰直角三角形且点F为48的中点,

：.OFLAB,OF=FB,OF平分NA08.

，4OFB=4）FH+格=90。.

又♦・•FG1FH,

/.ZHFG=4BFG+/HFB=90°,

，/OFH=/BFG.

•・•NFOB=L/AOB=45。,

2

JZFOH=ZLFOB+ZHOB=45°+90°=135°.

又/FBG=1800-ZABO=180°-45°=135°,

ZFOH=/FBG.

ZOFH=Z.BFG

在和AEBG中」OF=BF,

NFOH=NFBG

AFOH=£,FBG（ASA）.

•q=c

••uFOHuFBG，

X

**,SAFH-SFBG=SAFH~SFOH=SFOA=—SAOB=—^—OA»OB=-6X6=9.

故不发生变化，且5"〃-SF8G=9.

【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的

性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

63.如图1,在平面直角坐标系中，AO=AB,Z640=90°,8O=8cm,动点。从原点。出

发沿x轴正方向以acm/s的速度运动，动点E也同时从原点0出发在y轴上以bcm/s的速

度运动，且a,。满足关系式M+b?-4Q-2。+5=0,连接OD,OE,设运动的时间为t秒.

（1）求。，b的值；

（2）当t为何值时，△MD且△04E：

【分析】（1）将出+62-4。-28+5=0用配方法得出（0-2）2+（b-1）2=0,利用非负数

的性质，即可得出结论；

（2）先由运动得出8。=8-2t|,再由全等三角形的性质的出货BQ=OE,建立方程求解

即可得出结论.

(3)先判断出△OWPgABAQ(SAS),得出OP=8Q,N48Q=N4OP=30。，N4QB=N

4Po=15。，再求出NO4P=135。，进而判断出△04QgZ\8AQ(SAS),得出NOQ4=N8Q4

=15°,OQ=BQ,再判断出aOPa是等边三角形，得出/OQP=60。，进而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=75°,即可得出结论.

【详解】解：(1)・・・。2+炉-4a-2b+5=0,

:.(a-2)2+(b-1)2=0,

/.a-2=0,b-1=0,

：・a=2,b=l；

(2)由(1)知，a=2,b=l,

由运动知，0D=2tfOE=t,

VOB=8,

：,DB=\8-2t\

/XBAD^LOAE,

*：DB=OE,

/.18-2t|=t,

解得，t=§(如图1)或t=8(如图2)；

(3)如图3,

过点A作AQ_L4P,使AQ=4P,连接OQ，BQ,PQ,

则NAPQ=45°,ZPAQ=90°,

V^OAB=90°,

:・NPAQ=NOAB,

：.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP.

即：ZOAP=ZBAQ,

t：OA=AB,AD=AD,

.,.△O4P^A84Q(SAS).

：.OP=BQ,ZABQ=ZAOP=3Q°,ZAQB=ZAPO=1S°.

在A40P中，N4OP=30°,ZAPO=15°,

:.ZOAP=13Q°-NAOP-ZAPO=135°,

：.ZOAQ=360°-ZOAP-N%Q=135°-90°=135°=NOAP,

'：OA=AB,AD=AD,

：./\OAQ^/\BAQ(SAS),

：.ZOQA=ZBQA=15°,OQ=BQ,

•・・0P=8Q,

・・・OQ=OP,

VZ4PQ=45°,N4PO=15°,

:.NOPQ=ZAPO+ZAPQ=60°,

•••△OPQ是等边三角形，

，NOQP=60。，

；・NBQP=NOQP-NOQ八-N8Q4=60°-15°-15°=30°,

：8Q=PQ,

，NP8Q=g(1800-ZBQP)=75°,

:.NA8P=N48Q+NP8Q=30°+75°=105°.

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了配方法、非奂数的性质、三角形内角和定理、

等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质，构造出全等三角形是解题的关键.

64.如图1,在平面直角坐标系中，点人(0刀-2),以。,0),“"6,询.且〃满足

/_2必+2从_1劭+64=0,连接A8,AC,AC交x轴于£)点.

(1)求。点的坐标：

(2)求证：Za4C+ZABO=45°；

(3)如图2,点E在线段AB上，作EG_L)，轴于G点，交AC于尸点，若£G=AO,求

(1)C(2,-8)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【分析】(1)由非负性可求a,b的值，即可求解：

(2)由“SAS"可证△ABPgZ\BCQ,可得AB=BC,NBAP=/CBQ,可证aABC是等腰直角三角

形，可得NBAC=45。，可得结论；

(3)由"AAS”可证△ATO^^EAG,可得AT=AE,OT=AG,由"SAS"可证ATAD也Z\EAD,可得

TD=ED,ZTDA=ZEDA,由平行线的性质可得NEFD=NEDF,可得EF=ED,即可得结论.

【详解】解:(1)Va2-2ab+2b2-16b+64=0,

:.(a-b)2+(b-8)2=0,

♦•a=b=89

，b・6=2,

，点C(2,-8)；

(2)Va=b=8,

・••点A(0,6),点B(8,0),点C(2,-8),

AAO=6,OB=8,

如图1，过点B作PQ_Lx轴，过点A作AP_LPQ,交PQ于点P,过点C作CQ_LPQ,交PQ

于点Q,

・•・四边形AOBP是矩形，

AAO=BP=6,AP=OB=8,

•・•点B(8,0),点C(2-8),

ACQ=6,BQ=8,

.•・AP=BQ,CQ=BP,

又NAPB二NBCQ

.,.△ABP^ABCQ(SAS),

AAB=BC.ZBAP=ZCBQ.

VZBAP+ZABP=90°,

AZABP+ZCBQ=90%

:.ZABC=90°,

.••△ABC是等腰直角三角形，

・・.NBAC=45°,

ZOAD+ZADO=ZOAD+ZBAC+ZABO=90°,

/.ZOAC+ZABO=45°；

(3)如图2,过点A作ATJ_AB,交x轴丁T,连接ED,

图2

，ZTAE=90°=ZAGE,

:、ZATO+ZTAO=900=ZTAO+ZGAE=ZGAE+ZAEG,

.\ZATO=ZGAE,ZTAO=ZAEG,

又：EG=AO,

/.△ATO^AEAG(AAS),

AAT=AE,OT=AG,

VZBAC=45°,

/.ZTAD=ZEAD=45°,

XVAD=AD,

.,.△TAD^AEAD(SAS),

ATD=ED,ZTDA=ZEDA,

VEG±AG,

・・・EG〃OB,

AZEFD=ZTDA,

AZEFD=ZEDF,

AEF-ED,

:.EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD,

AEF=AG+OD.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全

等三角形是本题的关键.

65.(1)模型：如图1,在［ABC中，A。平分N3AC,DE±AB,DFA.AC,求证：

S»ADB•S△人DC=A5：AC.

(2)模型应用：如图2,4。平分NE4C交8c的延长线于点D,求证：

AB:AC=BD:CD.

(3)类比应用：如图3,人8平分ND4E,AE=AD,ZD+ZE=180°,求证：

BE:CD=AB:AC.

A

图1

（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）由题意得DE=DF,5&仙=；68・阻S.0c=,即可得出心加

=

lDcAB：AC；

(2)在AB上取点E,使得AE=AC,根据题意可证△ACDgAAED,从而可求出丝=丝

ABAE

矍=黑，即可求解；

(3)延长BE至M,使EM=DC,连接AM,根据题意可证△ADCgZ\AEM,故而得出AE为

AMAC

NBAM的角平分线，即笠=黑=怒，即可得出答案；

BEEMDC

【详解】解：(1)TAD平分NBAC,DE1AB,DE1AC,

ADE-DF,

,•*Sw)B=；・A8・£>E,=；・AC・D”,

•,^XADB:*^AADC=AB：AC；

(2)如图，在AB上取点E,使得AE=AC,连接DE

又•・,AD平分NCAE,

/.ZCAD=ZDAE,

SAACD和AAED中，

AC=AE

<ZCAD=ZDAE,

AD=AD

.,.△ACD^AAED(SAS),

/.CD=DEjaZADC=ZADE,

.BDDE

**~AB~~AE'

.BDCD

/.AB：AC=BD：CD：

(3)如图延长BE至M,使EM=DC,连接AM,

•:ZD+ZAEB=180°,

XVZAEB+ZAEM=180°,

/.ZD=ZAEM,

在4ADC与△AEM中，

AD=AE

ZD=ZAEM,

DC=EM

.,.△ADC^AAEM(SAS),

AZDAC=ZEAM=ZBAE,AC=AM,

，AE为NBAM的角平分线，

,,ABAMAC

故—=----=——,

BEEMDC

/.BE：CD=AB：AC；

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应

用，正确掌握知识点是解题的关键：

66.如图，RJA8C中，N8AC=90。，AB=AC.

图1图2

(1)如图1,AD±AE,BE1.AE,求证：

(2)如图2,ZAFD=NCEB,AF=CE,请直接用几何语言写出的、D4的位置关系

(3)证明(2)中的结论.

(1)见解析；(2)BEIDA；(3)见解析

【分析】(1)根据垂直的定义可得NADC=NE=90。，根据余角的性质可得NACD=NBAE,

然后根据AAS即可证得结论；

(2)由于要得出BE、D4的位置关系，结合图形可猜想：BEIDA；

(3)如图，作CP_LAC于点C,延长FD交CP于点P,先证明△BAEg^FCP,可得N3=N

P,AB=CP,然后证明△ASg/XPCD,可得/4=/P,进一步即可推出/4+/2=90。，问题得

证.

【详解】解：(1)证明：：A£>_LAE,BE±AE,

.\ZADC=ZE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

VZfiAC=90°,

.,.ZDAC+ZBAE=90°,

AZACD=ZBAE,

在ADAC和AEBA中，

VZADC=ZE,ZACD=ZBAE,AC=AB,

(AAS)；

(2)结合图形可得：BELDA-

故答案为：BE1.DAx

(3)证明：如图，作CP_LAC「点C,延长FD交CPF点P,

VAF=CE,

/.AE=CF,

•・•ZAFD=4CEB,

r.zi=Z2,

VZBAE=ZFCP=90°,

/.△BAE^AFCP,

AZ3=ZP,AB=CP,

VZBAC=90°,AB=AC,

.,.ZABC=ZACB=45°,

VZPCP=90°,AB=CP,

/.ZFCD=45°,AC=PC,

.\ZACB=ZPCD,

VCD=CD,

/.△ACD^APCD,

AZ4=ZP,

VZ3=ZP,

AZ3=Z4,

VZ3+Z2=90°,

・••Z4+Z2=90°,

.\ZAGE=90o,即HE_L£)A.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助

线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

67.如图，在平面直角坐标系中，点4(。，0),8(0,b),且a,b满足(3x")1.

(1)直接写出a=,b=；

(2)连接A8,P为必(小内一点，OPLBP.

①如图1,过点。作OC1OP,且OP=OC,连接CP并延长，交A3于。.求证：

AD=BD；

②如图2,在尸。的延长线上取点M,连接3M.若/MBO=ZABP,点、P伽,-n),试求

点M的坐标.

(1)3,-3：(2)①见解析；②”的坐标为(-5,

JJ

【分析】(1)先利用幕的乘方和积的乘方化简，再利用单项式的性质求解即可；

(2)①连接4C,过点8作8N_L8P,交CP的延长线卜点N,利用S4S证明△OPB94

OCA,再证明A8NP为等腰直角三角形，利用加5证明aACDg△8ND,即可证明4。=。8；

②作出如图所示的辅助线，证明ABMP为等腰直角三角形，利用/W5证明△P8F0Z\MPE,

求得E(2n,n),M(3n-3rn),证明点M,£关于y轴对称,得到3c-3+2a=0,即可求解.

【详解】(1)V(3xa/*5)2=9x6/,

:.9x2ay2b+'°=9x6y4,

2ci=6,2/?+10=4,

解得：。=3,b=—3,

故答案为:3»-3；

(2)①连接4C,

；NCOP=NAO8=90°,

:.ZCOP-