全国各省市高考数学（理科）真题与答案解析汇编(上册)

目录

1.新课标卷1..................................................................................................................2

2.新课标n卷........................................................io

3.大纲卷............................................................21

4.北京卷............................................................27

5.山东卷............................................................37

6.陕西卷............................................................41

7.湖北卷............................................................49

8.天津卷............................................................61

9.重庆卷............................................................71

2013年高考理科数学试题解析（课标I）

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第n卷

3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至3页，第II卷3

至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第[卷

一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的一项。

1、已知集合A={加2—2%>0},B={x|一小小}，则（）

A、AAB=0B、AUB=RC、BWAD、A=B

【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.

【解析】A=（-oo,0）U（2,+oo）,，AUB=&故选B.

2、若复数z满足（3-4i）z=|4+3i|,则z的虚部为（）

44

A、-4（B）一5（C）4（D）§

【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.

|4+3“_，42+32(3+4i)_34.4

【解析】由题知z=故z的虚部为一，故选D.

3-4z(3-4z)(3+4/)-55

3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，

事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生

视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样

【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.

【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽

样方法是按学段分层抽样，故选C.

4、已知双曲线C：W—[=1（。>0/>0）的离心率为正，则。的渐近线方程为

a2b22

A.y=+—xB,y=+—xC.y=±—xD.y=+x

432

【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.

【解析】由题知，即之=胃=色5，.•.与=,，.•.2=±J.,的渐近线

a24a~a~a~4a2

方程为y=±；x,故选C.

5、运行如下程序框图，如果输入的1,3],则输出s属于

丽处看?入个鲁至jb镯出必婿第

A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]

【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.

【解析】有题意知，当1,1)时，S=3/G[-3,3),当时,S=4/—/G[3,4],

...输出5属于[-3,4],故选4

6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一

个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水

深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为)

500兀「866兀3

A.、3-cm3B、-ycm'

1372兀2048兀

C、-cm3D、cm3

33

【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体枳公式，是容易

题.

【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体匕面截得圆的半径为4,球心到截面圆的

距离为R-2,则火2=(火―2)2+42,解得R=5,球的体积为4万；♦罟与。加♦,故选A.

7、设等差数列｛〃,｝的前〃项和为S,”S“T=-2,S“,=0,ST=3,则加=()

A、3B、4C、5D、6

【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易

【解析】有题意知鼠=吆/=。，—S-2,

%+1=鼠+「鼠=3，二公差"=%+「％=1，...3=品+|=-2+〃？，...加=5,故选C.

8、某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为

4.16+878.8+8万

C.16+16»。.8+16万

【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体

积公式，是中档题.

【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2

高为4,上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为

1,

—^x22x4+4x2x2=16+8%,故选Z.

2

9、设〃?为正整数，(X+用2m展开式的二项式系数的最大值为。，

(x+y产+1展开式的二项式系数的最大值为6,若13a=7b,

则加=()

A、5B、6C、7D、8

【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.

【解析】由题知b=c^,.-.13C™=7CC，即13：27=7X(2：*,

m\m\(m+1)!加！

解得加工6,故选B.

22

10、已知椭圆夕+，=1(心6>0)的右焦点为尸(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点。若

AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()

2222222

A、粉+攵=1B、旅+考=1C、君+t=1D、?81

【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题.

【解析】设4(国,凹),5(%2，%)，则石+工2=2,凹+%=-2,

2222

9+&=1②

»①/b2

(X|+X?)(王一毛)।(乂+%)(乂一乃)

①一②得0,

a2b2

b\xx)_b2又k2

-ZLZA-t+2^r=—.X9=C2=<72-b,

X「X2〃(凹+8)〃’"B3-12a22

22

v-v

解得〃=9,/=18,・・・椭圆方程为一+、=1,故选D.

189

x+2x,x_0,若则a的取值范围是

11、已知函数/(x)=<

ln(x+l),x>0

Z.(-oo,0]5.(-oo,l]C.[-2,l]D.[-2,0]

【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。

2[x<0

xln(-x2+xI,)x,<x0>0''.曲“/⑸、、"得,口’1x>0

【解析】,且

x-2x>axln(x+l)>ax

x<0

由《可得aNx-2,则a》-2,排除A,B,

x—lx>ax

当a=l时，易证ln(x+l)<x对x〉0恒成立，故a=l不适合，排除C,故选D.

12、设△4&C”的三边长分别为心,儿,C”，△48,C的面积为S,,w=l,2,3,-

若b\+ci—247),an+\—an>bn+\~"~'<c"+1=「",一"’则()

A、｛S“｝为递减数列B、｛S“｝为递增数列

C、｛S2Ll｝为递增数列，图“｝为递减数列

D、描门｝为递减数列，偈〃｝为递增数列

【命题意图】

【解析】B

第n卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题，每个考生都必须作

答。第(22)题-第(24)题为选考题，考生根据要求作答。

—.填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13、已知两个单位向量a,6的夹角为60。，c=ta+(1-t)b,若"c=0,则片.

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.

,11

【解析】bc=b»[ta+(l-t)b]=ta»b+(\-t)b2=-t+\-t=\--t=0,解得，=2.

21

14、若数列｛”“｝的前〃项和为S“=+-,则数列｛。“｝的通项公式是a“=.

【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系,

是容易题.

21

【解析】当〃=1时，q=S[=—4+—,解得q=l,

212122

当〃22时，4=S“—S,i=§a“+]—§%_]+-)=-«„--4-1，即4=-2a,”i,

...｛%｝是首项为I,公比为一2的等比数列，.2严.

15＞设当年9时，函数/(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cosO=_____

【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式葭福"单三角函数的最值问题,

是难题.

【解析】，.•/(x)=sinx-2cosx=5/^((sinx-^^cosx)

令COSQ=^^,sin夕=_20,贝iJ/(x)=V^(sinxcos夕+sin9cosx)=V^sin(x+Q),

jrjr

当X+Q=2人%+,,左€z,即x=2%%+,一如左wz时，/(x)取最大值，此时

八.71,„71x2A/S

，=2k兀+--(p,k&z,..cos0=cos(2左左+^一0)=sin0=———.

16、若函数/(x)=(l-x2)(》2+办+与的图像关于直线x=-2对称，则/(x)的最大值是

【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.

【解析】山/(x)图像关于直线x=-2对称，贝ij

0=/(-I)=/(-3)=[1-(-3)2][(-3)2-3a+b],

0=/(I)=/(-5)=[1-(-5)2][(-5)2-5a+b],解得a=8,6=15,

/(X)=(1-X2)(X2+8X+15),

f\x)=-2,x{x~+8x+15)+(1-x")(2x+8)=—4(x3+6x~+lx—2)

=-4(x+2)(x+2+V5)(x+2-V5)

当xc(-8,_2-石)u(—2,-2+底时,f'(x)>0,

当％6(—2—石，-2)1)(—2+6,+8)忖，f'(x)<0,

.../(x)在(-8,-2-石)单调递增，在,-2-出,一2)单调递减，在(-2,-2+V5)

单调递增，在(—2+V5,+8)单调递减，故当x=-2-和x=-2+时取极大值，

/(-2-75)=/(-2+75)=16.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分12分)

如图，在aABC中，ZABC=90°,AB=V§,BC=1,

P为△ABC内一点，ZBPC=90°

⑴若PB=1,求PA；

(2)若NAPB=150。，求tan/PBA

【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解

三角形及两角和与差公式，是容易题.

【解析】（I）由已知得，ZPBC=60°,.,.ZPBA=30°,在4PBA中，由余弦定理得

P^2=3+--2XV3X-!-COS30O=-

4242

(II)设/PBA=a,由已知得，PB=sina,在4PBA中，由正弦定理得，

V3sina

,化简得，Jicosa=4sina,

sin1500sin(30°-a)

tana=~,tanZ.PBA=—.

44

18、(本小题满分12分)

如图，三棱柱ABC-A|B|G中，CA=CB,AB=AA”

ZBAA,=60°.

(I)证明ABlAjC;

（II）若平面ABC_L平面AA|B|B,AB=CB=2,求直线A（与平面BBiQC所成角的正弦

值。

【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直

的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能

力、逻辑推论证能力，是容易题.

【解析】（I）取AB中点E,连结CE,A.B,&E,

'：AB=AA],NB4Al=60°,/.NBAA]是正三角形，

AA^E±AB,VCA=CB,ACE1AB,「

CEnA[E=E,413_1_面CEA},

.,.AB±4C；……6分

（II）山（I）知EC±AB,EA]±AB,

又：面ABB4,血ABCA面ABB/=AB,

EC_L面ABB[4,EC±EA},

r.EA,EC,两两相互垂直，以E为坐标原点,

EA的方向为x轴正方向，EA|为单位长度，建立

如图所示空间直角坐标系O-型,

有题设知A(l,0,0),4(0,也,0),C(0,0,y/3),B(-1,0,0),则BC=(1,0,

5,西=您=(-1,0,g),而=(0,一后G),……9分

设〃=（x,y,z）是平面。8用£的法向量，

n•BC=0x+VJz=0

则4即1L可取〃二（,1,-1）,

n•BB[=0x+V3y=0

tfA}CV10

问祠丁

直线AC与平面BBCiC所成角的正弦值为叵.

12分

19、（本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件

产品中优质品的件数记为n。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质

品，则这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，

则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是

否为优质品相互独立

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)12知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品

作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望。

【命题意图】

【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中

全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品

是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)U(CD),且AB与CD

互斥，

.,.P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C4(-)2xix(l)4+(-)4x-=—.-6分

2222264

(II)X的可能取值为400,500,800,并且

P(X=400尸y(万)4=记,P(X=500)=—,P(X=800)=C：(5)3,

；.X的分布列为

4058

00000

]1111

161(4

10分

1111

EX=400X—+500X—+800X-=506.2512分

16164

(20)(本小题满分12分)

已知圆A1:(x+l)2+V=1,圆N:(x—l)2+V=9,动圆P与M外切并且与圆N内切，

圆心尸的轨迹为曲线C.

(I)求C的方程；

(II)/是与圆P,圆〃都相切的一条直线，/与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长

时,求|AB|.

【命题意图】

【解析】由已知得圆〃的圆心为M(-1,0),半径4=1,圆N的圆心为N(1,0),半径々=3.

设动圆尸的圆心为P(x,歹)，半径为R.

(I)•圆)与圆M外切且与圆N内切，.,.|PM|+|PN|=(R+7i)+G—R)F+弓=4,

由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为G的椭圆(左

22

顶点除外)，其方程为\+q=l(xH-2).

(H)对于曲线C上任意一点尸(x,y),由于|PM|-PN|=2R-2W2,，RW2,

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2.

当圆P的半径最长时.，其方程为(x—2>+_/=4,

当/的倾斜角为90°时，贝V与丁轴重合，可得|AB|=2jL

当/的倾斜角不为90°时，由(WR知/不平行x轴，设/与x轴的交点为Q,则^

可求得Q(-4,0),.•.设/：y=k(x+4),由/于圆M相切得/,I=i,解得人=±交.

V17F4

6622

当人=注时，将+&代入土+匕=l(xw—2)并整理得7X2+8X-8=0,解得

4-443

1

X]2=4±6五,:.|AB|=yjl+k|x]-x21.

当左=一冬时，山图形的对称性可知[ABF?,

综上,|AB|=更或|AB|=26.

7

(21)(本小题满分共12分)

已知函数/(x)=\+ax+6,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=/(x)和曲线y=g(x)都过

点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2

(I)求a,b,c,d的值

(II)若x2一2时,/(x)Wkg(x),求1的取值范围。

【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、

函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.

【解析】(I)由已知得/(O)=2,g(0)=2/(0)=4,g'(0)=4,

而/'(x)=2x+6,g'(x)=e*(ex+d+c),<7=4,b=2,c=2,d=2；...4分

(II)由(I)知，f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+l),

设函数尸(%)=限(9)-/(%)=2和*(%+1)—%2—4%—2(x>-2),

F'(x)=2Ae»(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1),

有题设可得/(0)20，即左21,

令F(x)=0得，X]=_lnA,X2=—2,

⑴若则一2<X|W0,.,.当xe(-2,xj时，F(x)<0,当XG(%,+8)时,

F(x)>0,即尸(x)在(—2,%)单调递减,在(西,+0。)单调递增，故尸(x)在x=x取最小

2=

值F(xJ，而JF"(X|)=2%|+2—X|-4x(—2一再(再+2)20,

.•.当X2一2时，尸(x)20,即/(x)W馆(x)恒成立，

(2)若左=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(ex-e2),

...当x)一2时，尸(x)20,...尸(x)在(-2,+8)单调递增，而/(-2)=0,

.•.当x2一2时，尸(x)20,即/(x)<Ag(x)恒成立，

(3)若k〉/,则尸(―2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0,

.♦.当x2一2时，/(x)<%g(x)不可能恒成立，

综上所述，左的取值范围为Ue?].

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果

多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框

涂黑。

(22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，

直线AB为圆的切线，切点为B,点C在圆上，NABC的角平

分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D。D乙_

(I)证明：DB=DC；7\一孕

E

C

(II)设圆的半径为1,BC=Vl，延长CE交AB于点F,求4BCF外接圆的半径。

【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.

【解析】(I)连结DE,交BC与点G

由弦切角定理得，ZABF=ZBCE,VZABE=ZCBE,AZCBE=ZBCE,BE=CE,

XVDB1BE,，DE是直径，NDCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.

(II)由(I)知，ZCDE=ZBDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线，.*.BG=—

2

设DE中点为0,连结BO,则/BOG=60°,ZABE=ZBCE=ZCBE=30°,

•,.CF1BF,，RtZ\BCF的外接圆半径等于且.

2

(23)(本小题10分)选修4一4：坐标系与参数方程已知曲

线Ci的参数方程为4(7为参数)，以坐标原点为极

y=5+5sin/

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程

为/?=2sin6。

(I)把C]的参数方程化为极坐标方程；

(H)求C]与C2交点的极坐标(P20,0W0<2n)o

【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方

程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.

x=4+5cos/,,

【解析】将＜,消去参数/,化为普通方程(x—4)2+(y—5)2=25,

y=5+5sm/

,,=pcus®,,),

即£：x2+/-8x-10y+16=0,将《"代入f+j?—8%—10^+16=0得,

y=2sin，

F—8pcos^-10psin^+16=0，

；•Ct的极坐标方程为22一8夕cos6—10夕sin6+16=0；

(II)。2的普通方程为一+V—2y=0,

[x2+y2—8x-10y+16=0fx=1fx=0

由《，，，解得《或《，'G与G的交点的极坐标分别为

[x2+y2-2y=0口=13=2

(&亭，(2,1).

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数/(X)=I2x-1I+I2%4-67|,g(x)=x+3.

(I)当4=2时，求不等式/(x)Vg(x)的解集；

(II)设。>-1,且当；)时，/(x)Wg(x)，求。的取值范围.

【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.

【解析】当。=-2时，不等式/(x)<g(x)化为|2x-l|+|2x-2|—x—3<0,

1

-5xX<-

y2

设函数y=|2x-11+12x-21-x-3,y=,—x—2,-<X<1

2

3x-6,X>1

其图像如图所示，从图像可知，当且仅当XG(0,2)时，歹vo,・••原不等式解集是

{x|0<x<2}.

(II)当—］，；)时，/(x)=l+a,不等式/(x)Wg(x)化为l+aWx+3,1I!

xNa—2对；)都成立，故—叁Na—2,即必；

的取值范围为(-1,-］.

3

2013年全国新课标2卷理数试题答案及解析

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合乂={x|(x-l)2<4,x6R},N={-1,0,1,2,3),则MflN=(

)

(A){0,1,2}(B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3}(D){0,1,

2,3}

答案：A

［解析］该题主要考查集合交集运算与不等式的解法，由

M={x|(x-l)2<4,xe/?}={x|-l<x<3)所以由交集的定义可知McN={0,1,2}

(2)设复数z满足(1-i)z=2i,则2=

()

(A)-1+i(B)-1-i(C)1+i(D)1-i

答案：A

［解析］本题主要考查复数的基本运算，由题目中的表达式可得

2z2/(1+01.

z=---=——-———=-1+Z

1-Z(1-0(1+/)

(3)等比数列｛an｝的前n项和为S”，已知S3=%+10q，%=9,贝ija1

()

(A)-(B)--(C)-(D)—

3399

答案：c

［解析］本题主要考查等比数列的基本公式的运用，由题中$3=%+10%得出

q+。2+。3=。2+1°《，从而就有

«3=9<7,=>=-=9,又由%=q/=9=%=，

%9

4、已知机，〃为异面直线，〃，平面a,〃，平面£。直线/满足加，lln,l<za,

/<Z£,则()

(A)a//夕且///a(B)a_L/7且/J_/7

(C)a与£相交，且交线垂直于/(D)a与£相交，且交线平行于/

答案：D

［解析］本题主要考查空间线面关系的判定，若&〃£,由题中条件可知力〃〃，与题中机,〃

为异面直线矛盾，故A错；若/，/?则有"/〃，与题设条件/，〃矛盾，故B错；由于

mVa,nV/3,则加，〃都垂直于a,万的交线，而加和〃是两条异面直线，可将m平移至

与n相交，此时确定一个平面/,则a,£的交线垂直于平面/,同理也有故/平行

于a,£的交线，D正确C错。

(5)已知(l+ax)(l+x)5的展开式中一的系数为5,贝必=

(A)-4(B)-3(C)-2(D)-1

答案：D

［解析］本题考查二项式展开式中各项系数的确定，因为Q+x)5的展开式中的通项可表示为

T,*i=CR,从而有(l+x)s中/与x的系数分别为C；=10和C；=5,所以原式

(1+<7x)(1+x)5=(1+x)5+ax(l+x)s中x2系数为10+5a=5na=-l.

(6)执行右面的程序框图，如果输入的N=10,那么输出的s=

执行右面的程序框图，如果输入的N=10,那么输出的S=()

111

(A)1+-----1-------F•••d-------

2310

1

(B)i+LL-

2!3!10!

(C)i14-l

+23++11

(D)i+LL-

2!3!11!

答案：B

［解析］该题考查程序的输出结果，重点是了解算法中循环结构的功能，

T1

7=7的计算结果是不，S=S+T是求和的算法语句，结合以上两点，

kk\

当N=10时，攵=11时结束循环，所以应该选B。

(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),

(1,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得

到正视图可以为

答案：A

［解析］该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图如

从右到左投影到xoz平面的正投影为A。

(8)设a=log；,h=log：,c=log,4则

(A)c>b>a

(B)b>c>a

(C)a>c>b

(D)a>b>c

答案：D

［解析］本题考查对数比较大小的问题，将题中的条件进行变形可知

a=log；=log；+log；=1+log；,

b=log：=log；+log；=1+log；,c=log^4=log,+log,=1+log；,

又因为log；〉log；>log；,所以有a〉b>c。

x>l

<x+yW3

(9)已知a>0,x,y满足约束条件【歹200-3),若2=2*+丫的最小值为1,贝ija=

(A)：(B)l

42

(C)l(D)2

答案：B

［解析］本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数。，由于直线y=a(x-3)过

定点(3,0)且a〉0,所以可行域如图所示。当直线2x+y=z过x=l与y=a(x-3)的交点(1,-2a)

时z取得最小值1,所以有2-2a=1,

1

(A)玉°e&W(Xo)=O

(B)函数y=f冈的图像是中心对称图形

(C)若/是/(x)的极小值点，则〃x)在区间(-8,而)单调递减

(D)若X。是/(x)的极值点，则/'(%)=0

答案：C

［解析】本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图:

由函数g(x)=》3经过平移得到，而g(x)关于原点对称，故/(x)是关于中心对称的图形，

B的说法正确；由极值点的定义，D说法正确；由三次函数图像可知，若X。是/*)的极小

值点，则/(x)在区间(-8,%)不单调，故C说法错，选C。

(11)设抛物线/=2px(p〉0)的焦点为F,点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的

园过点(0,3),则C的方程为

(A)/=4x或/=8x(B)j?=2x或/=8x

(C)/=4x或/=i6x(D)/=2x或/=i6x

答案：C

［解析］本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点M(x,y)，圆心B(a,b)如图,

£，从而可以得到B的横坐标。=(，所以

22

575

可以设圆B的方程为(x—5)2+(歹-6)2=7-,将点(0,2)代入得

§)2+(2—6)2=?=6=2,从而可以得到点M的坐标为(5-多4),代入

『=2/得102-/=16,解得「=2或P=8,故答案选C(注：由于图片不清楚，有人

写出该题的题设应该是/=3px(p>0),无论是哪种不会影响方法的正确性)

(12)已知点A(-1,0);B(1,0);C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将AABC分割为面

积相等的两部分，则b的取值范围是

V21J21

(A)(0,1)

「

答案：B

［解析］设直线y=ax+b与直线BC:x+y=l的交点为口出加),与x轴的交

点为E(-2,o),由题意可知，要平均分割三角形，则b>0,所以E点只能处于

a

x轴

负半轴，当E在A点与原点之间时，如图可得4DEB的面积为,，联立

2

直线y=ax+b与线BC:x+y=l得，y=,

D\+a

+=；整理得

22a1+Q2

a=--—>0,得b<—o

l—2b2

当E与A(—1,0)点重合时，直线y=ax+b想平分AABC的面积，必须过B、C的中点

(|,1),如下图此时可确定直线y=ax+b的方程为y=+此时

此时若直线y=ax+b想平分AABC的面积，则0<a<l,0</)<1,且三角形CDF面积

1\-h

为—,联立直线y=ax+b与线BC:x+y=1得”=——，联立直线y=ax+b与线BC:x+y=1

21+a

\-b

得XF---,所以有

\-a

ii21

SACOF=不(1-6)(~+XF)=J(1-6)-■;^-=—=>/=1-2(1->0,解

22\-a2

得

,V2,V2

1-------<b<1+——

22

J51

综上所述1——<,故答案选B

22

二、填空题

(13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则左•而=.

答案：2

［解析］如图建立平面直角坐标系

—>—>—>—>

从而有AE=(1,2),BD=(-2,2),所以8D=-2+4=2

(14)从n个正整数1,2,…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的

2

概率为“，则n=.

答案：8

［解析］本题考查古典概率的计算，由题可知所有基本事件总数为C：=叫，选出来的

21

正整数要求和为5,则只能是1+4=5和2+3=5两种情况，所以有二二7T，解得〃=8。

C；14

兀1

(15)设。为第二象限角，gtan(^+-)=-,贝ijsin6+cose=.

42

答案：一乎

［解析］本题考查同角三角函数基本关系与三角形恒等变换的问题，由

tan(^+—)=---------=—得tan^=——,又因为。为第二象限角，利用

41—tan。23

tan8="山幺sin?O+cos26=1可求得sin6=^^,cose=-^^

cos。1010

所以有sin夕+cosB=一

(16)等差数列｛4｝的前n项和为Sn,已知A。=0,515=25,则nS〃的最小值为.

49

答案：一丁

2

［解析］本题考查等差数列与导数的综合问题，由

13

¥0=0,55=25得24+94=0,3/+214=5,联立后就可以解得d=§吗=—万，则

772—10A?/—10/n

sn=---令/5)=〃S〃=---,求导后可得:(3〃—20),因为〃>0,

666

故当〃〈日时/(〃)单调递减，当〃〉手时，/(〃)单调递增，所以当〃=m时取得最小

49

值，又因为n为整数，所以当n=6或n=7时取最小，〃6)=—24,/(1)=--,故最小

49

值为----

2

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB。

(I)求B;

(ID若b=2,求AABC面积的最大值。

解析：本题考查正、余弦定理的应用，解题过程如下：

⑴因为a=bcosC+csinB

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB

sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB

因为sinOO,所以有

cosB=sinB

从而有

B=45°

⑵由余弦定理可知：

2

h=/+一2accos45°

>2ac-y[2ac

所以有

67C<2(2+V2),当且仅当a=c取等号

11

5=-acsin5<--2(2+V2)-^-=V2+l

故面AABC面积的最大值为V2+E

如图，直三棱柱Z8C—4AG中，D,E分别是Z8,

5

点，AA.=AC=CB=—AB.

2

(I)证明：8G〃平面40。；

(II)求二面角。一4。-E的正弦值。

证明：(1)连接AC1交A1C于点F,则F平分AC1

又因为D为AB的中点，所以有

FD//BC1

FDu面A1CD