北京航空航天大学大二公共课专业概率论与数理统计试卷及答案(四)

北京航空

2021学年概率论与数理统计第一学期期末

一、单项选择题〔每题3分，总分值18分〕

1.从这十个数码中任意取出4个排成一串数字码，

则所排成的数字码恰是四位奇数的概率为()。

,41141

(A)—;(B)—:(C)—；(D)—o

909910

2.离散型随机变量的分布函数为，

则P{X<4|Xwl}=()。

31

(A)-;(B：-；—；(D)一。

9992

3.设随机变量，则().

(A)3。6：(B)5。6：(C)I5rr6：(D)48cr6。

4.设随机变量，，则以下说法中正确的选项是()。

(B)氏(与+(马2]=2；

(A)(X],X?)必服从二维正态分布;

必(J2

©夕为%二°；⑻D(X+X2)=b；+b；。

5.设随机变量存在数学期望和方差，则对任意正数，

以下不等式恒成立的是(兀

r\yJ)X

(A)P[\X-EX\>£]>^.(B)P[\X-EX\<£]<\——-

8~£~

£|J|A

(C)P(|X|>^VDX}<4：(D)P{|X|>g}<f，U>0)o

£-£

6.设是来自正态总体的样本，当()时，

是的无偏估计量，其中，。

(A),⑻，〔C〕,(D)

二、填空题[每题3分，总分值18分〕

1.设每人的生日是一年中的任何一天的可能性相同，则某学院的400名学生

中至少有一人

的生日是元旦这一天的概率为e(一年以365天计).

2.袋中装有红球，个白球，从中作有放回的抽取，每次取一球，直到取得红

球为止.

则恰好〃次取得白球的概率为。.

3.设某型号的高射炮假设干个组成一个防空队,每一门高射炮发射一发炮弹而击中

飞机的概率是0.5。则至少需要门高射炮同时向目标射击(每炮只射一发)才能以99%

的概率击中来犯的一架敌机。1,

4.将只球(号)随机地放进只盒子(号)中去，一只盒子装一只球。假设将一只球

装入与球同号码的盒子中，称为一个配对,记为配对的个数，

则EX=o

5.某仪器上装有4只独立工作的同类元件。每只元件的寿命(以小时计一)

X〜N(5()()(),b2)，当工作的元件不少于2只叱该仪器能正常工作。

则该仪器能正常工作5000小时以上的概率为。

6.设随机变量的概率密度为，则。

三、〔总分值12分〕随机变量X的分布函数为尸(x)=4+〃arctanx,-8VXV+8,

(1)确定常数a/;(2)写出X的概率密度/(x)；(3)求P{-lvX<Ji}；

(4)求c,使得P{X>c}=，.

4

2xx~,八

—exp{f--},x>()

四、〔总分值12分〕设总体x的概率密度为C7C7(e>o),

0,x<0

为一组样本值().

是来自总体的样本。

求参数0的极大似然估计值9和极大似然估计最。

五、〔总分值8分〕某厂生产了一批内径为X的铜管，设铜管内径X〜N(〃,O2)。

现随机抽取16根铜管测其内径,测得样本均值7=20.46〃〃〃，样本均方差s=().92mm.

问在检验水平下，能否认为该批铜管的？

%95。5)=1.753495(16)=L746。)

六、〔总分值12分〕

设X'X2,…，X“，Xm是来自正态总体N(〃Q2)的样本,

S[=£t（XL^）2,

试求:求服从的分布；(2)求服从的分布;

(〃-咐服从的分布；(外求统计量y=X"-X"J—服从的分布.

写出2

bS〃VH+1

七、〔总分值8分〕〔此题学过1・9章和11-13章的学生做，仅

学过1至9章的学生不做〕

设随机过程，，其中是在上服从均匀分布的随机变量，

试求：（1）的概率密度；（2）求，，；

〔3〕问是否为广义平稳过程？

［七］、［总分值8分〕（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不

做）

设随机变量和相互独立，且都服从标准正态分布，，

试求：（1）的分布函数：（2）的概率密度。

八、（总分值12分〕〔此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9童的学生

不做〕

四个位置：1,2,3,4在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一

个位置，以概率-逆时针游动到相邻位置；以概率!顺时针游动到相邻位置；以X［〃)=)表示

33

时刻〃粒子处在位置j(j=1,2,3,4),

(1)求齐次马尔可夫链｛*(〃),〃=1,2,-一｝的状态空间；(2)求一步转移概率矩阵；

(3)求平稳分布(P］，P2，P3，〃4).

［八］、〔总分值12分)〔此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11T3章学生不做〕

设X1,X2,…,X”:…是相互独立的随机变量序列，且其分布律为

乙乙乙

1n

记匕=一、＞,，(〃=1，2「)。

试求：⑴；(2)；

(3)证明：对任给，成立。

A.B卷答案及评分细则(2010-01-19)

A卷：一、单项选择题〔每题3分，总分值18分)

1.C；2.A；3.C；4.B；5.D；6.A。

二、填空题〔每题3分，总分值18分〕

1.解设至少有一人的生日是元旦这一天，则没有一人的生日是元旦这一天，，于是

2.解设恰好次取得白球，第次取得白球，第次取得红球,

,,，根据题意知，且相互独立，从.

3.7n;4、；5、；6、

三、〔总分值12分〕

7T

解(1)由分布函数的性质,0=limF(x)=lim\a+/?arctanx)=a+b(——),

xfF2

T[

1=limF(x)=lim(a+/?arctan.r)=a+/?(—),

于是〃==,................................................3分

271

(2)/(x)=Fr(x)=-——!—,-oo<x<+oo;........................6分

711+x-

(3)P{-1<X<V3)-F(V3)-F(-l)=(—+—arctanV3)—arctan^l))

27T271

(4)由尸{X>c}=1-P{XWc}=1-F(c)=1—d+'arctanc),得

271

1-—arclane)=一，即—arclane=—,

27i47i4

故c=\..............................................12分

四、〔总分值12分〕

解似然函数

〃“家xp{-引2力24*{-%

},...............4分

InL=Inn2%-〃In8—Z工；，

/=i。i=\

得解，，..........................................8分

所以参数。的极大似然估计值为O=-Yx；；.........................10分

〃i=l

参数0的极大似然估计量为J12分

〃2I

五、〔总分值8分〕

解检验假设7/()://=20,....................................................................2分

检验统计量7=土』=£3〜«15),.....................4分

s/s/

/4n\/n

当a=O.O5：查，分布表得t°(〃-1)=%975(15)=2.13,..................6分

-r-//2046-2()

由样本值算出H=20.47,s=0.92篙/"=2.00,

然％

因为|“=2.00<2.13=/

1-

2

故接受假设“0:/=20,可以认为该批铜管的〃=20..............8分

六、〔总分值12分〕

解(1)因为，又服从正态分布，

故无〜NO-/)；.......................................................3分

n

(2),服从正态分布；

,;..............6分

(〃—1)S；2/八

(3)------；--〜％一(〃-1)：..........................................................................................9分

b

14)与相互独立，又

故由分布的定义知，

即.................................12分

七、〔总分值8分〕解〔1〕由题设条件，知的概率密度为…

2分

I—f

(2)y⑴的均值函数⑺=E[Y(t)]=E[e-,x]=j：e-Lxf(x)dx=£e^dx==一；

y«)的自相关函数为(4由)=讥丫(*3(/2)]=£[口"'

=re-{,^xf(x)dx=['e-{t^xdx=J""""；

JrJ()+t2

,........................................6分

(3)由(2)知不是广义平稳过程。.....................................8分

八、〔总分值12分I此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅

学过1至9章的学生不做〕

解.(1)依题意，状态空间5={1,2,3,4),............................................4分

(21、

0-0-

33

i0-0

(2)转移概率矩阵2=(/).=33,.............................8分

0-0-

33

-0-0

(33)

(3)平稳分布满足方程组，，

解之得〃|=〃2==〃4二:•

故平稳分布为........................12分

[七]、[总分值8分〕〔此题仅学过1至9章学生做，学过

1-9章和1L13章学生不做〕

解根据题设条件知，x和y的概率密度分别为

\--|-2_

e22

fxM=~i=»-ao<x<+oo,fY(y)=-=e,-oo<y<+oo,

N27r

由x和丫相互独立，得（x,y）的概率密度为

1「2

2

f(x,y)=fx(x)•fY(y)=—e,-8Vx,yv+oo;......................................2分

2乃

22

Fz(z)=P{Z<z}=P{X+Y<z},

22

当z<0时，Fz(z)=P{Z<z}=P[X+Y<z}=P{0}=O；

当z=0时，弓(0)=P]X」+X<0)=P{X=0,K=0}=0;

22

当z>0时，Fz(z)=P[Z<z]=P[X^-Y<z}

\\f^y)d