北师大版六年级数学上册第七单元：《百分数的应用（二）》教案：借助问题解决帮助学生掌握求一个数比另一个数多百分之几落实百分数应用训练培养问题解决与表达素养

北师大版六年级数学上册第七单元：《百分数的应用（二）》教案：借助问题解决帮助学生掌握求一个数比另一个数多百分之几，落实百分数应用训练，培养问题解决与表达素养课题与学情背景信息本教案面向北师大版小学数学六年级上册第七单元，课题为《百分数的应用（二）》，课型为百分数基本应用题深化课。本课是在《百分数的应用（一）》学习了“求一个数是另一个数的百分之几”之后，专门针对“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”以及与之相关的“已知一个数，求比它多（或少）百分之几的数是多少”的问题，进行集中教学和强化训练。学生已经掌握了百分数与分数、小数的互化，也基本理解了“一个数÷另一个数×100%”的模型，并能用它解决简单的比较问题。然而，他们对“多（或少）百分之几”的含义理解，尤其是在此基础上进行“已知标准，求增加（或减少）一定百分比后的实际量”的逆向思维，仍存在模糊和困难。本节课的核心价值在于：1.深化对“一个数比另一个数多（少）百分之几”数量关系的理解，从“求比率”过渡到“求具体数值”。2.建立“标准量（单位‘1’）”、“增减的百分率和“实际量”三者之间的等量关系式，并能根据已知的两个量求第三个量。3.解决生活中的增长率、折扣、提价、降价等实际问题，强化百分数作为分析变化的有力工具的作用。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：关系深化：能准确理解“一个数比另一个数多（或少）百分之几”的含义，并能用不同的方式表达：A比B多n%→(A-B)÷B=n%→A=B×(1+n%)；A比B少n%→(B-A)÷B=n%→A=B×(1-n%)。正向计算：已知原数量（标准量）和增减的百分率，能正确计算增加或减少后的数量。逆向求解：已知增加（或减少）后的数量和增减的百分率，能求出原来的数量（标准量）。综合应用：能运用上述知识和技能解决较复杂的百分数实际问题（如连续变化、折扣加打折等）。过程与方法目标：运用“关键句解析法”厘清数量关系：引导学生抓住题目中的核心语句，如“比去年增产15%”，先确定“谁比谁”，再确定“谁”是“单位‘1’”（标准量），进而确定是“增加”还是“减少”，以及百分率是多少。运用“图表辅助法”直观呈现关系：对于理解有困难的学生，引导他们画简单的示意图或线段图。例如，画一条线段表示原价（标准量），再画一条稍长（或稍短）的线段表示现价，并标出“多20%”或“少20%”的部分。通过图直观理解，现价=原价+原价×20%=原价×(1+20%)。运用“模型建构法”总结统一公式：引导学生从具体的例子中总结出“变化后的量=标准量×(1±增减率)”这一核心模型。理解“1±增减率”表示“变化后的量是标准量的百分之几”。例如，增产15%，则实际产量是计划产量的（1+15%）=115%；打八折出售，则现价是原价的（1-20%）=80%？等等，需要辨析折扣是百分比的特殊表达（八折就是80%，是乘以80%）。运用“等量关系法”解决逆向问题：当已知“变化后的量”和“增减率”求“原来量”时，引导学生利用上面总结出的等式，直接列方程求解。例如，已知售价是原价的80%后是120元，设原价为x，则80%x=120。运用“转化对比法”辨析折扣含义：将“折扣”转化为百分数表示（如“八折”就是80%，“八五折”就是85%），并理解折扣表示“现价是原价的百分之几”，因此现价=原价×折扣。这与“降价20%”是等价的（现价=原价×(1-20%)=原价×80%），从而将新旧知识统一。运用“检验反思法”判断结果合理性：计算后，引导学生用代入法或估算检验结果，例如，增长后的量应大于原量（除非是负增长），折扣后的价格应低于原价。情感态度与价值观目标：在解决增长率、折扣、储蓄利率等生活实际问题的过程中，进一步感受数学的实用性和时代感；培养理性消费和科学理财的意识；在探索数量关系中，培养严谨、周密的逻辑思维能力和模型化思想。教学重难点及突破策略教学重点：理解“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”的数量关系，并能正确列式计算。教学难点：准确理解“单位‘1’（标准量）”在不同情境中的变化，特别是在逆向问题（已知结果和增减率求原量）中，正确设立方程或算式。解决涉及两次连续变化的百分数问题（如先涨价10%，再降价10%），理解其与一次性变化的不同。突破策略：“抓住‘关键比’，锁定‘单位1’”：教给学生判断“比”字句的方法：在“A比B多（或少）n%”的句子中，“比”字后面的量B就是单位“1”（标准量）。要求学生解题时，先用线把这句话划出来。“线段图是法宝，关系一目了然”：对于“已知原量求新量”的问题：画一条线段表示原量（标为“1”或100%），再画另一条线段表示新量，新量比原量长（或多）出一小段，这一小段就是“原量的n%”。这样，学生就直观地看到：新量=原量+原量×n%=原量×(1+n%)。“少百分之几”同理。“正向到逆向，等式来搭桥”：在熟练掌握“新量=原量×(1±增减率)”后，将其作为一个最基本的关系式写在黑板上。然后提出逆向问题：如果知道新量和增减率，怎么求原量？方法一（方程思想）：设原量为x。根据关系式直接列出方程：新量=x×(1±增减率)，然后解方程。方法二（算术方法）：由新量=原量×(1±增减率)，可得原量=新量÷(1±增减率)。引导学生理解，算术方法是方程的变形，关键是搞清除数(1±增减率)的意义。“逐次计算，分清‘1’”：对于“先涨后降”等连续变化问题，引导学生像看电影一样，一帧一帧地分析。例如，“一件商品先涨价10%，再降价10%，现价是多少？”第一步：设原价为100元（或单位“1”）。第一次变化：涨价10%→价格变为100×(1+10%)=110元。第二步：在110元的基础上再降价10%。此时，“再降价10%”的标准量已经变成了110元，而不是最初的100元。所以降价后价格=110×(1-10%)=99元。引导学生分析：为什么现价比原价低？因为涨价和降价的标准量不同。强调：对于连续变化问题，关键是每一步都要明确这一步的“单位‘1’是谁”。并最终计算总的变化率：(现价-原价)/原价×100%=-1%。“典型混淆，对比剖析”：将容易混淆的问题成组呈现：例1：去年产量100吨，今年比去年增产20%，今年产量多少？（120吨）例2：今年产量120吨，比去年增产20%，去年产量多少？（100吨）引导学生对比两题的已知和未知，理解“谁”是单位“1”，以及如何利用关系式。“折扣转化，统一模型”：明确：“打八折”就是“按原价的80%出售”，即现价=原价×80%。因此，解决折扣问题就是已知原价和折扣（百分率），求现价；或者已知现价和折扣，求原价。这可以完美地纳入“新量=原量×百分比”的模型中，这个百分比就是折扣。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：情境引入页：以“农民伯伯计划产量”、“商品折扣”、“银行利率”等生活问题引出课题。核心关系探究页：正向问题：某村去年原计划造林12公顷，实际造林比原计划增加了20%。实际造林多少公顷？动态展示线段图和分析过程，推导出：实际=计划×(1+20%)。逆向问题：某村实际造林14.4公顷，比原计划增加了20%。原计划造林多少公顷？动态展示线段图，引导学生理解：原计划×(1+20%)=14.4，由此列出方程或算术式。折扣问题转化页：将“八折”、“九折”、“八五折”等直接转化为对应的百分数（80%，90%，85%），并演示现价=原价×折扣率。连续变化分析页：以“先涨后降”为例，分步动画演示计算过程，并对比一次性变化，揭示差别。易错辨析页：并列展示正向和逆向问题的对比，强化单位“1”的判断。综合练习页。板书或卡片：核心公式：“变化后的量=标准量×(1±增减率)”。学生准备：练习本、尺子。教学过程一、情境导入师：同学们，上节课我们学会了用百分数来描述两个数量之间的比较关系，比如“男生人数是女生的百分之几”、“甲比乙多百分之几”。今天，我们要把这种比较关系“往前推进一步”，让它变得更“能干”。师：想象一下，你是一个村长，村里去年收获了100吨粮食，今年你们辛勤劳动，粮食增产了20%。那么，今年到底收获了多少吨粮食呢？这个问题和上节课学的“求百分率”有什么不同？生1：上节课是算一个百分比，现在是要算一个具体的产量。师：说得很精准！上节课我们关注的是“关系”本身（多百分之几？），这节课我们要利用这个“关系”去计算具体的结果（是多少吨）。再比如，过年了，商场里到处贴着“八折大优惠”的标签。如果一件衣服原价300元，打八折后到底卖多少钱？反过来，如果你花240元买到了一件打了八折的衣服，你知道它的原价是多少吗？师：这些问题在我们的生活中无处不在。今天，我们就一起来学习如何利用百分数关系，解决这些“求具体数量”的问题，也就是《百分数的应用（二）》。二、探究新知活动一：探究“已知标准量，求比它多百分之几的数”师：我们先来解决村长的问题。（课件出示例题）：“某村去年原计划造林12公顷，实际造林面积比原计划增加了20%。实际造林多少公顷？”师：请大家仔细读题，找一找：题目中是谁和谁比？谁是单位“1”（也就是我们比较的标准）？生2：“实际造林面积比原计划增加了20%”。这里“比”字后面是“原计划”，所以原计划造林面积是单位“1”。师：太对了！单位“1”就是原计划的12公顷。增加了20%，是什么意思？生3：就是说实际造林比12公顷多，多出来的部分是12公顷的20%。师：理解得非常到位！那我们怎么计算实际造林面积呢？可以分几步想。生4：先算增加的部分：12×20%=2.4（公顷）。再算实际面积：12+2.4=14.4（公顷）。师：这是分步计算，非常清晰。我们还可以把它合并成一个综合算式。（教师板书：12+12×20%=12×(1+20%)=12×120%=14.4公顷。）师：请大家观察这个综合算式12×(1+20%)，这里的“1”代表什么？“20%”代表什么？生5：“1”代表单位“1”，也就是原计划的数量。“20%”代表增长的百分率。师：那么“1+20%=120%”代表什么呢？生6：代表“实际造林面积是原计划面积的120%”。师：太棒了！所以，我们得到了一种很重要的思考方式：求“比一个数多百分之几的数是多少”，就是用这个数（标准量）乘以（1+这个百分率）。这里的“(1+百分率)”表示变化后数量占标准量的百分比。（教师板书关键模型：变化后的量=标准量×(1+增长率)）活动二：探究“已知标准量，求比它少百分之几的数”师：如果是“减少”呢？（课件出示变式）：“某手机原价2500元，五一期间促销，降价10%销售。促销价是多少元？”师：请找出单位“1”。谁比谁降价10%？生7：促销价比原价降价10%。“比”字后面是“原价”，单位“1”是原价2500元。师：降价10%就是比2500元少，少的部分是2500元的10%。怎么列式？生8：先算降了多少：2500×10%=250（元）。再算促销价：2500-250=2250（元）。师：综合算式呢？生9：2500×(1-10%)=2500×90%=2250（元）。师：很好。所以，求“比一个数少百分之几的数是多少”，就是用这个数（标准量）乘以（1-这个百分率）。（教师在模型后补充：(1-减少率)）活动三：探究逆向问题——“已知结果，求标准量”师：现在，我们把问题反过来。（课件出示）：“某村实际造林14.4公顷，比原计划增加了20%。原计划造林多少公顷？”师：这个问题和刚才第一个问题有什么相同和不同？生10：相同的是，都有“比原计划增加了20%”。不同的是，刚才知道“原计划”（标准量）求“实际”（结果），现在是知道“实际”（结果）求“原计划”（标准量）。师：分析得非常透彻！那么，我们能利用刚才发现的模型来解决吗？在模型“实际=原计划×(1+20%)”中，现在“实际”是已知的14.4公顷，“原计划”是未知的。我们可以怎么做？生11：可以设原计划造林x公顷。然后列方程：x×(1+20%)=14.4，解方程。师：好主意！这就是用方程解决。能直接算术计算吗？由x×(1+20%)=14.4，我们可以得到x=14.4÷(1+20%)。谁来说说这个算式的意思？生12：用实际的数量除以它占原计划的百分比，就得到原计划的数量。师：非常正确！请大家计算一下。（学生计算：14.4÷1.2=12公顷。）看，结果和第一题的原计划是一样的。所以，解决这类已知“变化后的量”和“增减率”求“原量”的问题，可以用除法：原量=变化后的量÷(1±增减率)。这里的“1±增减率”就是“变化后的量是原量的百分之几”。活动四：联系生活，解决折扣问题师：我们再来看一个生活中极其常见的问题——折扣。“一件衣服打八折出售”，这句话怎么用百分数理解？生13：八折就是原价的80%。师：对！折扣表示的是“现价是原价的百分之几”。所以，已知原价求打折后的价钱，就是：现价=原价×折扣（百分数）。反过来，已知折后价和折扣，求原价，就是：原价=现价÷折扣。这和我们刚才总结的模型是完全一致的。三、巩固练习师：通过刚才的探究，我们建立了解决问题的模型。现在，让我们用这些模型来闯关！第一关：基础计算（正向与逆向）列式计算。(1)50米增加它的30%后是多少米？(50×(1+30%)=65米)(2)一个数的80%是24，这个数是多少？（24÷80%=30）(3)某工厂上月用水80吨，本月比上月节约了15%。本月用水多少吨？(80×(1-15%)=68吨)第二关：折扣问题（模型应用）2.一件上衣原价480元，“五一”期间商场搞促销，打八五折出售。这件上衣现价多少元？(480×85%=408元)3.一台豆浆机搞促销活动，打九折后售价是270元。这台豆浆机原价是多少元？(270÷90%=300元)第三关：找准单位“1”（对比辨析）4.判断题，对的打“√”，错的打“×”。(1)4吨比5吨少20%，5吨比4吨多25%。（√）(因为(5-4)÷5=20%，(5-4)÷4=25%)(2)一袋大米，吃了40%，还剩60%千克。（×）（百分数不能带单位）(3)一件商品先提价10%，再降价10%，价格不变。（×）5.选择题。（1）某校今年植树棵树比去年增加了10%，今年植树棵树是去年的（C）。A.10%B.90%C.110%（2）一种商品现价是40元，比原价降低了20%，原价是（B）元。A.40×(1-20%)B.40÷(1-20%)C.40÷20%第四关：综合应用（实际问题）6.王叔叔的果园去年产苹果20吨，今年比去年增产了两成。“两成”就是20%。今年产苹果多少吨？(20×(1+20%)=24吨)7.一种电脑软件，进行第二次升级后，每套售价提高了10%，第三次升级后又提高了10%。现在每套售价是121元。这种软件在第一次升级前的原价是多少元？（分析：连续变化。设第一次升级前原价为x元。第一次升级后：x×(1+10%)；第二次升级（在第一次升级后的基础上）再提价10%：x×(1+10%)×(1+10%)=x×1.21=121，所以x=121÷1.21=100元。）第五关：挑战思维（连续变化与对比）8.一种商品，先涨价10%，再在涨价后的基础上降价10%。现价和原价比，是贵了还是便宜了？变化幅度是百分之几？（设原价100元。第一次后：110元。第二次降价(110的10%)：11元，现价99元。比原价便宜了1元，变化幅度(99-100)/100=-1%，即降价1%。）9.某书店将一种图书按进价提高35%后标价，又以八折优惠卖出，结果每本仍获利4元。这种图书的进价是多少元？（设进价为x元。标价：x×(1+35%)=1.35x。售价（八折）：1.35x×80%=1.08x。利润：1.08x-x=0.08x=4元，解得x=50元。此为较难的利润问题，供学有余力者思考。）四、课堂小结师：同学们，今天我们深化了百分数的应用，重点学习了如何利用“多（或少）百分之几”的关系来求具体的数量。师：我们总结出了一个核心的模型：变化后的量=标准量×(1±增减率)。这里的“1”代表（标准量本身），“增减率”就是多出或减少的百分比。“(1±增减率)”表示变化后的量是标准量的（百分之几）。师：利用这个模型，我们可以解决两类问题：第一类（正向）：已知（标准量）和（增减率），求变化后的量。用（乘法）。第二类（逆向）：已知（变化后的量）和（增减率），求标准量。用（除法），即标准量=变化后的量÷(1±增减率)。师：我们还把生活中常见的“折扣”问题纳入了这个模型：“打几折”就是乘以（百分之几十）。师：对于连续变化的题目，一定要记住：每一步的（单位‘1’）都可能发生变化，要像剥洋葱一样，一层一层算清楚。师：希望大家能用好这个模型，去解决生活中更多关于增长、折扣、利率的实际问题。五、作业布置必做作业：完成练习册《百分数的应用（二）》一课的练习题。从家庭生活中（如购物小票、水电费通知单）找到一个涉及“比…多（少）百分之几”或“折扣”的实际例子，并运用今天所学知识，进行一次简单的计算或分析。选做作业（挑战自我）：“家庭储蓄分析师”：了解一种常见的定期存款年限和年利率（如一年期利率2%）。如果你有1000元存入一年，到期后可以取出多少钱？（本息和=本金×(1+利率×1)）如果存两年呢？（假设利率不变，复利计算可简单介绍）。“商场促销策略研究员”：观察或设想一种商品的两种促销方式：A.直接降价20%。B.先涨价20%，再降价30%。你觉得哪种方式对消费者更有利？请通过计算来证明你的观点。作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：能深刻理解并熟练运用“标准量×(1±增减率)”模型正向和逆向解决问题；能正确处理连续变化的百分数问题；能将折扣、利率等实际问题熟练转化为模型并求解；并能进行创造性的分析和比较。良好（3星）：能正确运用模型解决基本的正向和逆向问题，理解单位“1”和基本关系。达标（2星）：能在帮助下解决正向问题，但对逆向问题和复杂情境（如连续变化）的理解和应用有困难。需努力（1星）：无法建立模型，无法区分标准量和比较量，计算方向错误；需要重新进行模型构建的步骤演示和讲解。预设性教学反思本节课是百分数应用从“描述关系”向“计算具体数值”迈出的关键一步，是将抽象的百分率与具体的数量变化紧密结合的核心课时。其教学设计成功的关键在于引导学生从具体的、分步的解决过程（先求变化量，再加或减），抽象并概括出高度凝练的数学模型（标准量×(1±增减率)），并以此模型为武器，去攻克正向、逆向乃至连续变化等一系列问题。教学流程与价值预设：“分步到综合，实现算法优化”：教学从最直观的“先求增加（减少）的量，再与标准量相加（减）”分步算法开始，这是学生最自然的思维路径，保证了所有学生都能入手解决问题。但教学不止步于此，而是引导学生观察分步算式，通过提取公因数等方法，将其合并为“标准量×(1±增减率)”的综合算式。这个过程，不仅仅是计算上的简化，更是思维上的升华。学生能够理解到，“1±增减率”这个整体代表的是“新量占原量的百分比”，这是一个重要的概念性突破。“正向到逆向，构建完整认知”：在熟练掌握正向问题后，立即提出结构相同但已知与未知互换的逆向问题。这是思维上的重要转折。教学没有直接给出“除以(1±增减率)”的公式，而是引导学生利用已经建立的等式关系（标准量×(1±增减率)=新量），通过设未知数x，自然地引向方程“x×(1±20%)=14.4”。解方程的过程，让学生自己“发现”了除法算式“14.4÷(1+20%)”。这种通过方程导出算术解法的过程，不仅解决了问题，更让学生理解了正逆运算之间的关系，培养了代数思维的萌芽。“线段图辅助，化解理解障碍”：对于理解“一个数的120%”或“比一个数少10%”这些抽象表述有困难的学生，线段图是极好的认知脚手架。画出表示标准量的线段，再画出表示新量的线段（更长或更短），并标注出多出（或少掉）的部分，能够将抽象的数量关系可视化、直观化，帮助学生理解为什么是乘以“1+百分率”或“1-百分率”。“折扣语言转化，实现知识同化”：将生活中的“折扣”语言（如八折、八五折）迅速、准确地转化为百分数（80%、85%），并明确指出“折扣即百分比”，从而将折扣问题无缝嵌入到已建立的“标准量×百分比=新量”的模型中。这种转化，消除了新情境带来的陌生感，让学生体会到数学模型的通用性和强大的解释力。“连续变化分析，考验思维严谨性”：“先涨后降”类问题是本课预设的高阶思维挑战点。教学通过具体数值（如设原价100元）分步计算，并在每一步都追问“现在的单位‘1’是谁？”，引导学生清晰地认识到，第二次变化的基准（单位‘1’）是第一次变化后的价格，而非最初的原价。通过最终结果与一次性变化的对比，学生能深刻理解“涨跌幅度相同但结果不同”的原因，从而在解决类似问题时，养成细致分析每一步“标准量”的严谨习惯。难点预测与微调设想：学生在将“增加（减少）百分之几”转化为“(1±百分率)”时，可能会出现符号错误（将“减少”误为加）。需要反复强化记忆：“多百分之几”就是“（1+百分率）”，“少百分之几”就是“（1-百分率）”。对于逆向问题，学生容易混淆到底是用乘法还是除法。可以教给他们一个简单的检验方法：如果标准量是未知的（求原价、原计划等），而结果（新量）是已知的，通常用除法（新量÷对应的百分比）。课堂节奏需把握好，确保有充分时间探讨连续变化问题，这是区分学生理解深度的重要标志。迭