安徽省合肥市六校联考2025-2026学年高二数学上学期期末考试含解析

安徽合肥市第五中学等六校2025-2026学年高二上学期期末考试

数学试题

一、单选题

1．已知空间向量a2,1,5，b4,2,xxR.若ab，则x（）

A．10B．2C．2D．10

2．已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2a310，S530，则数列an的公差为（）

A．1B．2

C．3D．4

x2y2

3．已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则F2MN

43

的周长为（）

A．4B．8C．12D．16

4．若直线l过点3，2，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的斜率为（）

22

A．1B．1C．1或D．1或

33

5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所

成角的余弦值是（）

22

A．3B．10C．D．

2255

6．设圆x2y22x30与圆x2y22x4y40的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程是

（）

A．xy10B．2xy10

C．x2y10D．4x4y10

7．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若ACBC（是常数且大于0），则点C的轨迹为（）

A．圆B．椭圆

C．抛物线D．直线

8．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经

x2y2

过双曲线的另一个焦点，若双曲线E:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，如图所示，从F2

a2b2

3

发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cosBAC，ABBD，则双曲线E

5

的离心率为（）

103717

A．5B．C．D．

253

二、多选题

9．下列函数的导数运算正确的是（）

11

A．(x)B．ln2x1

2x2x1

2xxcosxxsinxcosx

C．x22x2ln2D．

xx2

10．已知斜率为3的直线l经过抛物线C：y24x的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象

限)，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A．AF4B．AF3BF

43

C．OAOBD．AOB的面积为

3

11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运

算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”

等).如取正整数m6，根据上述运算法则得出63105168421，共需经过8个步骤

*

变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列an满足：a1mmN，

a

n，当为偶数时

an

an12.下列说法正确的是（）

，当为奇数时

3an1an

A．当m17时，使得an1需要12步雹程

100

B．当m2时，则a1001

C．若a71，则m的所有可能取值之和为83

10002001

D．若a14，Sn为an的前n项和，则S2025255

三、填空题

x2y2

12．等轴双曲线1的渐近线方程为．

44

13．若曲线ye2ax1在x0处的切线与直线x2y10垂直，则a的值为.

2

14．已知点P是棱长为2的正方体ABCDABCD表面上一个动点，若三棱锥BPAD的体积为，则点

1111113

P的轨迹的长度为．

四、解答题

15．已知ABC的三个顶点分别为A1，0，B3，2，C2，3．

(1)求ABC的面积；

(2)求ABC的外接圆的标准方程．

16．设Sn为数列an的前n项和，已知a11，an12an1．

(1)证明：数列an1为等比数列；

(2)判断n，an，Sn是否成等差数列?并说明理由．

17．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，AB//DC，且ADDCPA2，AB1．

(1)求证：平面PCD平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值．

22

xy3，3

18．已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，过点1．

a2b222

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P2，1，直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

①求直线l的斜率；

②若PA·PB10，求直线l的方程．

*

19．若各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且2Snan1nN．

(1)求数列an的通项公式；

，

(2)若正项等比数列bn，满足b222b3b4b5，求Tna1b1a2b2anbn；

*n1

(3)对于2中的Tn，若对任意的nN，不等式2Tn21恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

题号12345678910

答案CBBDCAADACABD

题号11

答案ACD

1．C

【详解】由题意得：ab24125x0，解得x2.

故选：C

2．B

aa2a3d10

231

【详解】设等差数列a的首项和公差分别为a和d,则由题意可得dd,联立解得

n12

S55a1530

22

d2.

故选:B.

3．B

x2y2

【详解】因为椭圆C:1，所以a2，b3，c1，

43

因为左、右焦点分别为F1，F2，所以利用椭圆的定义可知，

F1MF2M2a4，F1NF2N2a4，

MNF2的周长为F1MF2MF1NF2N448，

故选：B．

4．D

【详解】①当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为0，

2

设直线方程为ykx，代入点3，2，23k，此时直线的斜率为k；

3

xy

②当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为1，

aa

代入点3，2解得a1，此时直线的斜率为k1.

故选：D.

5．C

【详解】设正方体棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系.

A2,0,0，M2,1,2，C0,2,0，N2,2,1.

由题意可得AM0,1,2，CN2,0,1．

AM·CN00212，AMCN5，

AM·CN22

所以cosAM,CN，

AMCN555

2

即异面直线AM和CN所成角的余弦值为.

5

故选：C．

6．A

【详解】圆x2y22x30的圆心为M1,0，圆x2y22x4y40的圆心为N1,2，两圆的相交

弦AB的垂直平分线即为直线MN，

y0x1

所以直线MN方程为，即xy10，

2011

故选：A.

7．A

【详解】以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

设Aa,0a0，Ba,0，Cx,y，则ACxa,y，BCxa,y，

由题意ACBC，得x2a2y2，

即x2y2a2，又是常数且大于0，所以a20，

因此动点C的轨迹是以原点为圆心，半径为a2的圆.

故选：A．

8．D

【详解】连接F1A，F1B，由双曲线的光学性质，得F1，A，C三点共线，F1，B，D三点共线，

AB3FB4

31

则cosF1ABcosBAC，F1BA，于是，，

52F1A5F1A5

不妨设F1B4t，AB3t，F1A5t，由双曲线的定义得F1AF2A2a，F1BF2B2a，

则F2A5t2a，F2B4t2a，而AB3tF2AF2B5t2a4t2a9t4a，

△222

解得2a3t，F2A2t，F2Bt，在BF1F2中，由勾股定理得，F1F2|F1B||F2B|，

22

2222c17c17

即(2c)(4t)(t)17t，解得，所以双曲线E的离心率e.

a29a23

故选：D

9．AC

11

11

【详解】xx2x2，故A正确；

22x

2

ln2x1，故B错误；

2x1

2xx

x22x2ln2，故C正确；

cosxxsinxcosx

，故D错误．

xx2

故选：AC．

10．ABD

【详解】因为抛物线C：y24x，所以2p4，即p2，准线方程为x1，

焦点为F1,0，设Ax1,y1，Bx2,y2，直线AB：y3x3，

y3x31

，可得2，所以x3，，

23x10x301x2

y4x3

123

A3,23，B,，

33

AF314，所以A正确；

14

AF4，BF1，可得AF3BF，所以B正确；

33

23

23

kk34，所以C不正确；

OAOB31

3

112343

的面积，所以D正确.

AOBSOFy1y2123

2233

故选：ABD．

11．ACD

【详解】对于A，当m17时，即a117，根据上述运算法则得出：

175226134020105168421，故当m17时，使an1需要12步雹程，故

A正确；

100

对于B，a12是偶数，每次操作均除以2，经过100次操作后，a1011，故B错误；

对于C，若a71，根据上述运算法则进行逆推，a62，a54，a48或1，

a32

若a48，则a316，2或5，

当a232时，a164，当a25时，a110;

若a41，则a32，a24，a18或1.

故m的所有可能取值集合M1,8,10,64，

所以m的所有可能取值之和为83，故C正确；

对于D，S2025a1a2a2024a2025

2200021999214281

222001

7812200155，故D正确.

12

故选：ACD．

12．yx

x2y2

【详解】等轴双曲线1得出ab2，所以渐近线方程为yx.

44

故答案为：yx.

13．1

【详解】函数ye2ax1，xR.

求导得,y2ae2ax，

故曲线ye2ax1在x0处的切线斜率为k2ae02a.

111

由x2y10，得yx，所以其斜率为.

222

1

所以2a1，解得a1.

2

故答案为：1.

14．92

21323

【详解】设h为点到平面ABD的距离，则，解得

P11·22hh.

3343

建立空间直角坐标系Dxyz，则A12,0,2,C0,2,0,A2,0,0,B12,2,2,D10,0,2，

，

A1C2,2,2,AB10,2,2,AD12,0,2，A1CAB10440A1CAD14040，

，，

有A1CAB1A1CAD1，即A1CAB1A1CAD1，

而AB1与AD1为平面AB1D1内的两条相交直线，得A1C平面AB1D1，且A1C23.

AA1·A1C423

而AA10,0,2，得点A1到平面AB1D1的距离为，

A1C233

如图所示：取棱上的中点，得等边三角形HIJ和正六边形KLMNOQ，易知平面HIJ//平面AB1D1，平面

KLMNOQ//平面AB1D1，

2323

因为点A1到平面AB1D1的距离为，可知点C1到平面AB1D1的距离也为，

33

3

由中点的性质可知：I,J,O,N到平面AB1D1的距离为，

3

则点P的轨迹为一个边长为2的等边三角形和一个边长为2的正六边形，

32

此时点P到平面AB1D1的距离一直都为，故三棱锥B1PAD1的体积一直为，

33

故点P的轨迹的长度为：326292．

故答案为：92.

15．(1)3

22

(2)x1y15

y020

【详解】（1）方法一：根据已知条件，AB所在直线的方程为，即x2y10，

x131

2231335

d

则点C到直线AB的距离2，

12255

22

又AB31202025，

1135

故ABC的面积SABd253.

225

3032

方法二：根据已知条件，kAC1，k1，

21BC23

则有kACkBC1，所以ACBC，

所以ABC为直角三角形，AC,BC为其直角边，

22

而AC21301832，

22

BC23322，

11

故ABC的面积SACBC3223.

22

（2）方法一：设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0.

将A1，0，B3，2，C2，3代入，

1DF0D2

得943D2EF0，解得E2，

492D3EF0F3

所以ABC的外接圆方程为x2y22x2y30，

22

其标准方程为x1y15.

方法二：由（1）可知ABC为直角三角形，AB为其斜边，

则ABC的外接圆直径即为AB，

由已知可得，AB的中点为1,1，即圆心为1,1，

112220

又半径rAB31205，

222

22

故ABC的外接圆的标准方程为x1y15.

16．(1)证明见解析

(2)n，an，Sn成等差数列，理由见解析

an11

【详解】（1）证明：由an12an1可得：an112an12，

an1

，

又a112

则an1为首项为2，公比为2的等比数列；

nn

（2）由1可得an12，即有an21，

212n

Sn2n12n，

n12

n1n

假设n，an，Sn成等差数列，2annSnnSn2ann22n2210，

可得n，an，Sn成等差数列．

17．(1)证明见解析

(2)6

3

【详解】（1）以点A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为PA平面ABCD，且AB平面ABCD，所以ABPA，

又因为ABAD，且PAADA，PA，AD平面PAD，

所以AB平面PAD，

平面PAD的一个法向量AB1,0,0，

且PD0,2,2，DC2,0,0，

n·PD2y2z0

设平面PCD的一个法向量为nx,y,z，则，

nDC2x0

令y1，可得x0,z1，所以n0,1,1，

又因为n·AB0,1,11,0,00，

所以nAB，所以平面PAD平面PCD;

（2）由(1)知：平面PAD的一个法向量AB1,0,0，

PB1,0,2，PC2,2,2，

a2c0

设平面PBC的一个法向量为ma,b,c，则，

2a2b2c0

令c1，可得a2，b1，所以m2,1,1，

AB·m26

因为cosAB,m，

ABm163

6

所以平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为．

3

x2

18．(1)y21

4

1

(2)①；②x2y20.

2

c3

a2a2

13

由

【详解】（1）221可得b1.

a4b

a2b2c2c3

x2

故椭圆方程为：y21．

4

x

（2）①由条件知OP:y，

2

22

，，x12x22

设Ax1y1，Bx2y2，则满足y1，y1，

4142

22xxyy

两式作差得：x1x222，化简得12yy120，

y1y2012

44x1x2

当x1x20时，直线l过原点，其斜率不唯一，不合题意；

xx

当xx0时，因为AB被OP平分，故yy12，

12122

yy11

所以12，即直线l的斜率k．

x1x222

2

1x22

②设直线l为yxt，代入椭圆方程y21可得x2tx2t10，

24

2

所以x1x22t，x1x22t1，

111

y1y2x1tx2tx1x22tt，

222

111t212

y1y2x1tx2tx1x2x1x2tt1，

22422

故PAPBx12x22y11y21

x1x22x1x24y1y2y1y21

5

t22t1，

2

52

由PAPB10得：t2t110，即t22t30，解得t1或3.

2

又因为方程①中84t20，所以t1.

1

故所求直线方程为yx1，即x2y20.