2026年黑龙江哈尔滨市高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试数学本试卷共19题，共150分，共4页．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，2．哈尔滨市某月连续10天的AQI（空气质量指数）分别为29，32，34，36，39，50，47，66，48，78，则这组数据的第75百分位数为（

）A．33 B．34 C．49 D．503．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（

）A．1 B． C．2 D．34．已知复数满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（

）A．2 B．1 C． D．6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（

）A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸7．已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下运算正确的是（

）A． B．C． D．10．已知正项等差数列的前项和为，，公差为，若，则（

）A．或 B．C． D．11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（

）A．坐标原点O到直线AB的距离为B．若，则的取值范围为C．的面积最大值为D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知等比数列的各项都是正数，，则______．13．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______．14．设函数，如果存在函数（、为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性上界函数”，若函数是函数的一个“线性上界函数”，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西的方向上，B在D的北偏东的方向上．(1)求观测点C与建筑物A之间的距离；(2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积．16．已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和．(1)求证：；(2)当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由．17．已知函数．(1)若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；(2)若，都有恒成立，求实数a的取值范围．18．2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图：规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示：若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为；若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为．(1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）；(2)该企业将AI智能质量检测投入使用．①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率；②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列；(3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望．19．双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面．由于双曲面可以由一条斜线通过连续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如图所示．空间直角坐标系中，，动点在直线MN上，则．令参数，，则u，v所在的平面直角坐标系中动点在某双曲线C上．(1)求动点满足的双曲线C方程；(2)双曲线C的弦AB与弦DE均过右焦点F且互相垂直，弦AB中点为，弦DE中点为，、分别在第二、第三象限时，证明：与的面积比为定值；(3)在（2）的条件下，设到：和：的距离为、，到：和：的距离为、，比较和的大小关系．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“，”的否定为，.2．D【详解】数据从小到大重新排列为29，32，34，36，39，47，48，50，66，78，因为，由百分位数的定义可知：这组数据的第75百分位数是第8个数据50.3．C【详解】由抛物线过点，得，解得，所以抛物线的焦点到准线的距离为2.4．D【详解】因为复数满足，则z对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，表示的几何意义为圆上点到原点的距离，到原点的距离为，则，即的取值范围为.5．C【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案.【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称，因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称，其斜率互为相反数，当时，，求导得，则，所以曲线在点处的切线的斜率为.6．B【分析】根据题意先求积水深9寸的水面半径，求出盆中水的体积，根据平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积即可求解.【详解】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸，所以盆中水的体积为（立方寸）．所以平地降雨量等于（寸），故选：B.7．C【分析】根据射影定理和基本不等式即可求解.【详解】因为圆的半径为2，所以，由射影定理可知，所以，当且仅当，结合，即，时等号成立，因此的最小值为.8．A【分析】首先求出点的轨迹方程和直线的方程，然后根据向量的坐标运算求出点的坐标，的面积为，问题即转化为点到直线距离的最大值，最后利用圆的参数方程以及辅助角公式即可求解.【详解】设，已知，，因此的轨迹为圆：，，即，直线的斜率，所以直线的方程为，即，点到直线的距离，，设，，则，，其中最大值为，因此：.9．BD【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可.【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D正确.10．BCD【分析】根据题意得出关于的等式，再结合可求得的值，可判断A选项；由可判断B选项；求出的表达式，利用裂项求和法可判断C选项；求出的表达式，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为正项等差数列的前项和为，，公差为，若，，，，由，则，整理可得，即，解得或，根据题意可知，解得，故，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，所以，所以，C对；对于D选项，，则，D对.11．ACD【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断A；利用向量数量积的坐标公式结合点在椭圆上可判断B；利用椭圆的参数方程求出点到直线距离的最大值可判断C；计算出的坐标进而可得和，结合点在椭圆上即可求解.【详解】椭圆，得，坐标，第一象限椭圆上，满足，即.对于A：直线过，方程为，即，原点到的距离，A正确；对于B：，代入，得：即，不是，B错误；对于C：，到直线的距离，则，由参数方程，得，，最大值为，因此：，C正确；对于D：直线方程：，令得，则，直线方程：，令得，则，，代入，得，D正确.12．2【分析】根据等比数列的下标和性质以及对数的计算公式即可求解.【详解】由等比数列的性质可知.13．【分析】根据给定条件，利用切化弦思想及逆用和角的余弦公式求解.【详解】在中，由，得，整理得，而，则，又是锐角，所以.14．【分析】由题意可知对任意的，，参变量分离得，求出函数在上的最大值，结合得出实数的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的，，即，参变量分离可得，令，其中，则，所以函数在上单调递增，故当时，，即，所以当时，，构造函数，其中，则，所以函数在上单调递减，即，由不等式的性质可得，即，当且仅当时，等号成立，故函数在上的最大值为，所以，即实数的取值范围是.15．(1)(2)【分析】（1）首先根据方向角求出的三个角，然后根据正弦定理即可求解.（2）首先根据方向角求出的三个角，然后根据正弦定理求出，最后根据面积公式即可求解.【详解】（1）在中，根据方向角可得：，，因此，已知，由正弦定理：，代入得：.（2）根据方向角得：，，因此由正弦定理：，代入得：，又，因此的面积：.16．(1)证明见解析(2)存在，为中点，理由见解析【分析】（1）首先根据余弦定理计算出，进而利用勾股定理证明，然后根据线面垂直的判定定理证明平面，最后根据线面垂直的性质即可证明.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，首先根据，求出点的坐标，然后根据在线段上，设，得，最后根据线面角的向量公式即可求解.【详解】（1）在菱形中，，，故，为中点，，由余弦定理得：，故，即，得，，翻折后，仍成立，又，平面，故平面，又平面，因此.（2）存在，为的中点，过程如下：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，得各点坐标：，，，，设，由得，由，得，代入，解得，故，在线段上，设，得，则，平面中，，设平面的一个法向量为，由得，取得，，设直线与平面夹角为，则，代入计算：，化简得，解得（舍去，超出范围）.因此存在点，为的中点满足条件.17．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)【分析】（1）首先利用导数的几何意义以及垂直关系求出，然后根据导数的正负即可求解；（2）令，不等式转化为：对任意，恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值，使其最小值大于等于0即可求解.【详解】（1），直线斜率为1，切线与垂直，故切线斜率，代入得：，解得，符合.此时，当时，，故，单调递减；当时，，故，单调递增.结论：的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）原不等式整理得：令（时可取遍所有实数），不等式转化为：对任意，恒成立.设，则，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，要求恒成立，即，结合得，解得.故实数的取值范围为.18．(1)71.5分(2)①②(3)67.5元【分析】（1）先确定每组中点值，再结合频率分布直方图的频率/组距计算每组频率，最后代入公式计算平均数；（2）①先根据频率分布直方图计算实际合格和实际不合格的概率，再利用互斥事件概率加法公式和条件概率公式计算总概率；②因为X服从二项分布，所以先确定二项分布的参数和，再根据二项分布的概率公式计算X取不同值时的概率，进而得到分布列.（3）先分析每种情况的收益和对应的概率，再根据离散型随机变量期望公式计算收益的期望，其中需要结合前面求出的实际合格、不合格的概率，以及AI判定的相关概