第48讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题（湖南专用）（教师版）

第48讲动态圆、磁聚焦和磁发散问题目录TOC\o"1-3"\h\u01考情解码·命题预警 102体系构建·思维可视 203核心突破·靶向攻坚 3考点一带电粒子在磁场中运动的动态圆问题 3知识点1．“平移圆”模型 3知识点2．“放缩圆”模型 3知识点3．“旋转圆”模型 3考向1.对平移圆模型的理解 4考向2.利用放缩圆解决磁场中的临界问题 6考向3利用“旋转圆”模型解决磁场中的极值问题 7考点二磁聚焦和磁发散问题 9 知识点1.磁聚焦模型 9知识点2.磁发散 12考向1．利用磁聚焦寻求关键性几何条件 13考向2．利用磁聚焦寻求关键性几何条件 1404真题溯源·考向感知 17考点要求考察形式2025年2024年2023年带电粒子在磁场中运动的动态圆问题选择题非选择题2023·湖南·高考物理第14题2023·湖南·高考物理第14题磁聚焦和磁发散问题选择题非选择题考情分析：1.命题形式：单选题非选择题2.命题分析：湖南高考对带电粒子在匀强磁场中运动往往发组合场的形式出现，其临界问题又涉及动态圆分析复习目标：目标1.进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。目标2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。目标3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。考点一带电粒子在磁场中运动的动态圆问题知识点1.“平移圆”模型适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法知识点2.“放缩圆”模型适用条件粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法知识点3.“旋转圆”模型适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上界定方法将一半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法考向1对平移圆模型的理解例1（2025湖南省邵阳市高三下学期二模）某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形MNPQ、方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的水平匀强磁场，探测板平行于竖直放置，能沿水平方向左右缓慢移动且接地。a、b、c为三束宽度不计、间距均为的离子束，离子均以相同速度持续从边界竖直向上射入磁场，束中的离子在磁场中沿半径为的四分之一圆弧运动后从右边界水平射出，并打在探测板的上边缘点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为，探测板的长度为，离子质量均为、电荷量均为，不计重力及离子间的相互作用，。（1）求离子速度的大小；（2）a、c两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差；（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量与板到距离的关系。【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】小问1详解】离子在磁场中做圆周运动，由牛顿运动定律得解得离子的速度大小【小问2详解】离子在磁场的运动的周期为，作出粒子的运动轨迹如图由几何关系可知束中的离子从同一点射出，离开磁场的速度分别与水平方向的夹角为，则束中的离子在磁场中运动的圆心角分别为则两离子的在磁场中运动时间的差值为得由于两离子出磁场的速度与磁场边界所成的夹角相同，则两离子从磁场到EF板的时间相同，即离子运动的时间差【小问3详解】同时探测到三束离子，满足：解得同时探测到两束离子同理有：对离子束由动量定理有：而或束中每个离子动量的水平分量：离子束对探测板的平均作用力为：当时，当时，当时，【变式训练1·变】（2025·湖南岳阳市第三中学模拟）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（）A.粒子的入射速度为B.粒子的入射速度为C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为【答案】A【解析】粒子进入场向上做匀速圆周运动，洛伦力提供向心力因bc边只有一半区城有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得，则粒子的入射速度，所以A项正确；B项错误；粒子在场中运动的最长轨述为，C项错误；与bc边相切恰从bc边射出的粒子的对应的圆心角最大为，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为考向2利用放缩圆解决磁场中的临界问题例2.(2025·湖南娄底高三模拟）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是（）A.粒子可能从B点射出B.若粒子从C点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为C.若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为D.若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短【答案】BC【解析】带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误；BC．粒子从C点射出，如图乙所示根据几何关系可得解得则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为则粒子在磁场中运动的时间为，故BC正确；由，可知若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示粒子从AB边射出时的圆心角相同，根据可知粒子在磁场中运动的周期相等，则其在磁场中运动的时间相同，故D错误考向3利用“旋转圆”模型解决磁场中的极值问例3（2025··湖南师大附中模拟）如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向里的匀强磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为和，坐标为的P点存在一粒子源，可以在平面内向各个方向均匀发射速率为v，比荷为的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（）A．带电粒子在磁场中顺时针运动B．若，则打在挡板上的粒子数占总数的C．若，则挡板上有粒子打到的线段长度为D．若，将挡板撤去，则MN之间各处均有粒子通过【答案】BC【解析】根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A错误；根据半径公式带入解得作出旋转圆确定临界状态，如图甲所示，则打在挡板上的粒子的两个临界为①和②，对应的角度范围为，则打在挡板上的粒子数占总数的，故B正确；打在挡板上的长度为两个临界②和③，对应的长度分别为挡板上有粒子打到的线段长度为故C正确；由于，可知粒子的轨迹半径为打在MN的临界如图乙中④和⑤，QN段无粒子通过，故D错误。考点二磁聚焦和磁发散问题知识点1磁聚焦模型电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行，其轨迹如图所示。知识点2磁发散带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行，其轨迹如图所示。考向1利用磁聚焦寻求关键性几何条件例1.（2025·湖南·一模）在平面直角坐标系中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界是点为圆心，半径为的一段圆弧，圆弧与轴交于、两点，磁场下边界是以坐标原点O为圆心，半径为的一段圆弧。现有一束带负电的粒子沿轴负方向以速度射入该磁场区域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为，带电粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子重力。下列说法中正确的是（

）A．正对点入射的粒子离开磁场后不会过O点B．若粒子速度变为，正对点入射的粒子离开磁场后一定过O点C．粒子在磁场区域运动的最长时间为D．所有入射粒子都一定过O点【答案】CD【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据可知粒子在磁场中的轨道半径正对的粒子，圆心恰好在x轴上，进入磁场后做匀速圆周运动，如图，根据勾股定理可知，进入无磁场区域后，速度方向恰好指向O点，A错误；若粒子速度变为，粒子在磁场中的轨道半径正对点入射的粒子离开磁场后，由上图可知，一定不过O点，B错误；由于所有粒子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，圆心均在入射点的正下方，半径均为4d，所有圆心所在的轨迹相当于将磁场边界向下平移4d形状，平移到O点位置，即所有粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到O点距离均为5d，如图，利用勾股定理可知，进入无磁场区域后，所有粒子速度方向都指向O点，因此所有粒子都过O点，D正确；由D选项可知，从最上方进入的粒子，在磁场中偏转角度最大，运动的时间最长，如图该粒子在磁场中旋转了143o，因此运动的时间C正确。考向2利用磁聚焦寻求关键性几何条件例2如图2所示，真空中，xoy为空间直角坐标系，有一以原点为圆心的圆形磁场区域，半径为xo，磁场垂直纸面向里.在x>xo的区域存在平行x轴，沿-x方向的匀强电场，电场强度为E.M点为磁场边界与+y轴的交点，该点有一粒子源不断辐射出粒子，在纸面内从M点以相同的速率v，沿不同方向射入磁场，发现这些粒子穿出磁场进入电场后，速度都会减小到0.已知粒子的质量为m，电荷量为+q.（粒子重力不计）（1）求圆形磁场区域中磁感应强度的大小.（2）由M点沿-y方向射入磁场的粒子，穿出磁场进入电场后，返回再次穿出磁场，求该粒子从M点开始到再次出磁场时所运动的路程.（3）由M点向各个方向射入磁场的粒子，最终都要汇集于空间某一点，求这些粒子从M点运动到该点所用时间的范围.【答案】（1）（2）（3）xoMvNoyx图3【解析】（1）粒子穿出磁场进入电场后，速度都会减小到0,说明xoMvNoyx图3（2）如图3所示，粒子在磁场中经1/4圆弧后，进入电场减速到0，在电场中减速的位移为：则：（3）如图4所示，所有粒子汇集于N点，其中运动时间最短的是（2）中的粒子：BExoMBExoMvNoyx图4运动时间最长的粒子运动轨迹如图所示，故：1．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（）A．粒子的运动轨迹可能经过O点B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为【答案】D【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故AB错误；C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图则最短时间有故C错误；D．粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知根据洛伦兹力提供向心力有可得故D正确。故选D。2．（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（

）A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45°D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°【答案】AD【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形abcd区域中做匀速直线运动，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，在正方形abcd区域中的运动轨迹必平行于AC的连线，可知粒子必经过cd边，进入正方形abcd区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45°，据此作出粒子可能的两个运动轨迹如图所示粒子的运动轨迹均关于直线BD对称，粒子必从C点垂直于BC射出，故A正确；C．若粒子经cd边垂直BC射出，粒子运动轨迹如图所示设粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为，则图中两段圆弧轨迹的圆心角与的关系为设两正方形的对应边之间的距离为，为保证粒子穿过ad边，需满足且有联立解得为保证粒子穿过cd边，需满足为保证从BC边射出，需满足联立解得可得粒子经cd边垂直BC射出，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角范围是故C错误；BD．粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，作出粒子恰好经过c点的运动轨迹如图所示设粒子在e点进入正方形abcd区域，线段MN垂直平分轨迹ec，与AB选项的分析同理，粒子的轨迹关于线段MN对称。线段CE平行于轨迹ec，取圆弧轨迹的中点F，过F点做轨迹ec的平行线分别交AD与BC于点G和点，点为点E关于MN的对称点。易知点e为ad的中点，点E为AD的中点，Ee垂直于ad和AD，设粒子轨迹半径为r，正方形ABCD的边长为2L。由几何关系得联立解得因，故，即EF垂直于，由对称性可知四边形为矩形，垂直于CE，可知点是点F关于MN的对称点，即点F是圆弧cH的中点，可知由c到粒子的轨迹圆心角为30°，可得粒子垂直BC射出。若粒子速度较大，轨迹半径较大，则粒子在c点左侧穿过cd，其轨迹如图所示与临界轨迹对比，粒子第二段的轨迹圆心不会在BC上，故粒子不会垂直BC射出。若粒子速度较小，轨迹半径较小，则粒子在c点下方穿过cb，其轨迹如图所示。与粒子恰好经过c点的运动过程同理，根据对称性可知粒子一定垂直BC射出，故B错误，D正确。故选AD。3．（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。(1)求OK间的距离；(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。

【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）（1）当粒子到达О点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图所示

由洛伦兹力提供向心力得其中（2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径r2=4r1如图所示，由几何关系有（4r1-2r1）2＋MO2=(4r1)2解得（3）速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图所示

由几何关系有（4r1-2r1）2＋ON2=(4r1)2解得粒子在打开磁场开关前运动时间为解得4．（2024·海南·高考真题）如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心连线与x轴平行，半圆与圆相切于Q点，QF垂直于x轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响）（1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R；（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t；（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离。【答案】（1），；（2）；（3），【详解】（1）根据动能定理得解得粒子进入区域I做匀速圆周运动，根据题意某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ，故可知此时粒子的运动轨迹半径与区域Ⅰ的半径R相等，粒子在磁场中运动洛伦兹力提供向心力解得（2）带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度沿纸面射入区域Ⅰ，由(1)可得，粒子的在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径均为R，因为在区域Ⅰ中的磁场半径和轨迹半径相等，粒子射入点、区域Ⅰ圆心O1、轨迹圆心O'、粒子出射点四点构成一个菱形，有几何关系可得，区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点连线平行于粒子射入点与轨迹圆心O'连线，则区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点水平，根据磁聚焦原理可知粒子都从Q点射出，粒子射入区域II，仍做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力解得如图，要使粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，轨迹所对应的圆心角最小，可知在区域Ⅱ中运动的圆弧所对的弦长最短，即此时最短弦长为区域Ⅱ的磁场圆半径，根据几何知识可得此时在区域Ⅱ和区域Ⅰ中运动的轨迹所对应的圆心角都为，粒子在两区域磁场中运动周期分别为故可得该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间为（3）如图，将速度分解为沿y轴正方向的速度及速度，因为可得，故可知沿y轴正方向的速度产生的洛伦兹力与电场力平衡，粒子同时受到另一方向的洛伦兹力，故粒子沿y正方向做旋进运动，根据角度可知故当方向为竖直向上时此时粒子速度最大，即最大速度为圆周运动半径根据几何关系可知此时所在的位置到y轴的距离为5.（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中