1.6 追及相遇与极值问题（2学生版）

§1.6追及相遇与极值问题（一）追及问题概述追及问题是有关于两物体在同一直线上同向运动时（也有不在同一直线上运动的情况），后面的物体（设为A）追赶前面的物体（设为B），讨论①能否追上；②何时何处追上；③何时相距最近或最远；④相隔的最近或最远距离为多少；⑤为使能追上或不能追上的条件等等问题。在共线追及问题中，只有当追及物A的速度大于被追及物B的速度时才有可能追上。即：当vA＞vB时，A、B间的距离在缩小；当vA＜vB时，A、B间的距离在拉大。（二）相遇问题概述相遇问题与追及问题类似，一般是讨论①能否相遇；②何时何处相遇；③能相遇的次数；④为使能相遇或不能相遇的条件等等问题。从两物体的运动情况来看，有①同时与不同时出发；②同地与不同地出发；③运动方向同向、相向、背向、垂直；④运动轨迹为直线或环线；⑤运动状态为匀速或变速等各种情况。（三）分析思路及注意事项1．临界条件——共线时等速，不共线时垂直与瞄准（1）共线时等速：两物体共线运动，两物体速度相等（vA＝vB），往往是物体间能否追上，或相距最近最远的临界条件，也是分析判断问题的切入点（2）不共线时垂直与瞄准【例1】如图所示，在禁渔区，一条渔船A正在进行非法捕鱼。岸边的渔政船B发现后立即做匀速直线运动前去拦截，渔船A则沿平行于岸边的直线MN以vA＝10m/s的速度匀速撤离禁渔区，开始时两船位置关系如图，sin37°＝0.6。（1）为能追上渔船A，渔政船B的速度至少要多大？ABvAMNd＝600mABvAMNd＝600mθ＝37°海岸线2．分析工具——两图三式（1）两图：①运动过程示意图；②运动图像（2）三式：三个等量关系①时间关系式；②位移关系式；③速度关系式画出运动过程示意图，或运动图像（如v-t图、x-t图、a-t图等等，找出两物体运动的时间关系，位移关系，或速度关系，根据时间相等，位移相等，或速度及平均速度相等列方程（我们所遇到的追及相遇各类习题，绝大部分可通过列位移关系方程求解，少数需要列时间关系方程，当然有些问题可能列速度关系方程更简便）3．初始状态——注意是否三同：同时同地同向4．终极状态——注意限速与刹停（重要提醒：只要涉及物体做减速运动，一定要注意在所研究的过程中，物体的速度是否会减到0，以及速度减到0后是否会反向继续运动）xvAvBAB【例2】如图所示，A、B两物体相距x＝7m，物体A以vA＝4m/s的速度向右

匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，

加速度a＝-2m/s2xvAvBABA．7s B．8s C．9s D．10s（四）物理方法（即通常所说的分析法）1．临界条件法（vA＝vB）“等速最距”规律：在物体A追赶B的追及或相遇问题中，vA＝vB往往是求解的关键性条件。根据运动的不同条件，vA＝vB往往是两物体相距最近、最远、或恰好追上而不相撞的临界条件。【例3】物体A、B同时从同一地点、向同一方向开始运动。A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。2．相对运动法（换参法）无论共线运动还是不共线运动，用相对运动法分析追及相遇极值问题，往往都比较方便。【例4】军事演习中，在M点的正上方离地H＝2000m高处，一架蓝军飞机以水平向右的速度v1＝0.9km/s发射一颗炮弹1，欲轰炸地面目标P，红军的地面拦截系统同时在M点右方水平距离s＝1500m的地面上的N点，以速度v2发射拦截炮弹2，如图所示，若不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，。（1）若炮弹1刚好能击中目标P，求目标P离M点的水平距离s0；（2）红军欲拦截成功，沿竖直向上发射拦截炮弹2的速度v2的大小应为多少？（3）若v2的大小等于v1的大小，红军欲拦截成功，问发射拦截炮弹2的速度v2的方向应如何？（五）数学方法这种方法主要是运用数学工具来处理物理问题，用这种方法解题时要注意数学方法及结论的物理意义。用这种方法来处理追及与相遇问题，主要有方程法、函数法、不等式法和几何作图法。1．方程法A追上B及A与B相遇时，它们必处在同一位置，因而可利用它们的位移（或位置坐标）相等列方程求解，即利用位移公式求解。解题时可运用方程解的情况、根的判别式等工具进行处理。涉及匀变速运动时，位移或相对位移x关于时间t的方程一般为一元二次方程，其根的判别式△：（1）若△＞0有两解，说明两物体可能相遇两次；（2）若△＝0有一解，说明两物体相遇一次；（3）若△＞0无解，说明两物体不能相遇。【例5】如图所示，甲、乙两辆小汽车原来停在平直公路MN上相距为85m的A、B两处，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5m/s2；甲车运动6.0s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0m/s2。两车处在不同车道上，相遇时互不影响，求两辆汽车相遇时距A处的距离。MMN甲车乙车AB【例6】小球A从H高处自由落下，同时从A的正下方的地面上的P点以速度v0竖直上抛一小球B。（1）为使B球在回到P点之前能与A球相遇，v0必须大于何值？（2）为使B球能在上升过程中与A球相遇，v0必须大于何值？va60m【例7】如图所示，一客运汽车在平直的公路上以a＝1m/s2的加速度由静止开始匀加速运动，同时，车后60m处一乘客以某一速度v匀速追赶汽车。乘客要喊住客运汽车，必须使乘客与汽车的距离不超过20m，且至少要保持2s，求乘客运动速度vva60m2．函数法即利用相对位移函数式S相＝SA－SB（A相对于B的相对位移）或S相＝SB－SA（B相对于A的相对位移）求解。这种方法实际上也是利用位移公式求解。解题时可运用函数的性质，如极值等处理。（1）函数性质法（对称轴方程求条件、顶点坐标求极值）（2）求导法（导数为0得极值）【例8】如图所示，A、B两车在同一平直道路上同向行驶，速度分别为v1＝8m/s，v2＝20m/s。当它们相距x0＝28m时，由于前方出现紧急情况，B车立即刹车以大小a＝2m/s2的加速度做匀减速运动，A车一直做匀速运动。求：（1）A车追上B车之前，两车相距的最大距离；（2）从B车开始刹车后，A车追上B车所用的时间。vv1ABv23．图象法识图用图五要素：点、线、面、斜、截（图像各量的具体含义，根据推导出来的函数表达式确定）vABTtOABTvvABTtOABTvtO（2）线：图线的形状反映运动类型（3）面：v-t图，图线与t轴所夹图形面积表示位移；A、B在同一直线上运动，在同一坐标系中作出它们的v-t图，

则两图线所夹图形的“面积”在数值上等于对应时间内两物体的

相对位移。（4）斜：x-t图斜率表示速度，v-t图斜率表示加速度（5）截：纵轴上的截距往往表示初始量甲v/m·s−11525O20甲v/m·s−11525O202530t/s乙A．开始刹车时两车的距离一定小于87.5mB．开始刹车时两车的距离一定小于100mC．撞车一定发生在t＝20s以前的某时刻D．撞车可能发生在t＝25s至t＝30s之间的某时刻【例10】甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，

此时甲的速度为5m/s，乙的速度为10m/s，甲车的加速度大小恒为1.2m/s2。以此时作为计

时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知（）A．乙车加速度先增大后减小 B．在前4s内，甲车运动位移为29.6mC．在t＝4s时，甲车追上乙车 D．在t＝10s时，乙车又回到起始位置【例11】一辆摩托车的最大速度vm＝30m/s，要想用摩托车从静止开始用180s的时间正好追上前方300m处正以20m/s的速度向前匀速行驶的汽车，且摩托车在加速阶段做匀加速直线运动，试求摩托车做匀加速直线运动的加速度。（六）方程根的物理意义与相遇次数问题一个物理问题，设定某个未知量后，根据物理原理或规律列方程，解这个方程，得到一个或几个根，这些根可能符合物理事实，也可能与事实不符，我们必须作出正确的判断和取舍。涉及匀变速运动时，位移x（或追及问题中的相对位移，或两物体的相隔距离）是关于时间t的二次函数，速度位移公式也涉及到速度的二次方，因而与匀变速运动相关的问题，列出的方程往往为二次方程。由数学知，二次方程可能有两个不同的根，甚至出现负根，我们更应注意分析每个根出现的原因和条件及其物理含义，从而做出正确取舍，得到正确结论。1．负根类与匀变速运动相关的问题，以时间t或速度v为未知量列出的二次方程，其方程的根有三种可能：①两个正根；②两个负根；③一正一负一般来说，一个物理问题设定了记时起点，时间为负是无意义的；速度的正负表示方向，正负根可能都有意义。如果出现两个正根，两个正根可能都有意义，也可能只有一个根有意义（如果关于时间的方程有两个正根，往往是小的那个有意义，大的应舍去）。【例12】某星球（无大气层）上的重力加速度g＝4m/s2，从高处以v0＝12m/s的初速度竖直上抛一小球，则小球运动到离抛出点的高度差h＝10m处（未落地）所经历的时间为（）A．1s B．5s C．s D．sBAvBvAax0【例13】如图所示，在一平直的轨道上，一质点A以vA＝5m/s的速度匀速运动。A的后方x0＝6m处，另一质点B以vB＝3m/s的初速度、a＝BAvBvAax0（1）经多长时间B追上A？（2）B追上A之前，B离A的最大距离为多少？2．往返类一个物体做匀减速运动（或：一个物体相对于另一物体做匀减速运动），速度（相对速度）减到零后，一般会出现两种情况：（1）再反向加速运动（往返类）：又分为往返对称类（加速度相同）和往返不对称类（加速度不同）（2）停止运动（刹车类）：解题中要特别注意在研究的时间范围内物体是否已经停止运动【例14】如图所示，在平直的公路上，一人以v＝6m/s的速度沿人行道匀速跑步，当他离前方一辆小汽车的距离x0＝16m时，小汽车从静止开始以a＝1m/s2的加速度同向做匀加速直线运动，则（）x0人车vaA．人不能追上小汽车，人在x0人车vaB．人能追上小汽车，人超过车后，人在车前的最大距离为2mC．经时间t＝4s人追上小汽车D．经时间t＝8s人追上小汽车3．刹车类刹车类问题，主要有两种情况可能导致增根或错根：（1）在自身刹停前，已经追上并超过了前车（此根有意义），但自身减速快，且没有限定时间，速度减到0后加速度仍存在，它会反向运动，仅按数学方程，反向后又会相遇，但实际不可能（2）前车先刹停，后车才追上来与静止的前车相遇，但按原来的匀减速运动求得的结果是错误的；或者先超过前车后刹停在前面，后又被后车反超，但按原方程求得的两根，往往大的是错根【例15】如图所示，在平直公路的两车道上，A、B两车分别以vA＝40m/s、vB＝10m/s的速度同向行驶。当A在B的后方离B的距离为x0时，A车以大小a＝1m/s2的加速度开始匀减速刹车。（1）若x0＝432m，求经多长时间A、B两车相遇；（2）若x0＝250m，求经多长时间A、B两车相遇。xx0ABvAvB4．相遇次数问题相遇次数问题，就是方程根是否有意义的问题。分析能相遇几次，就是要分析方程有几个根与事实相符。相遇次数问题，总体来说比较复杂，在此给出三种简单情况的结论：（1）共线的两个匀速直线运动，最多相遇一次①若A对B的相对速度指向B，则可相遇一次②若A对B的相对速度背向B，则不可相③间隔距离不存在最大值和最小值▲加速度相同的共线的两个匀变速直线运动，情况相同（2）同时同地出发的两个共线匀变速直线运动（或其中一个为匀速直线运动），最多相遇一次（因为二次方程最多只有两根，而出发点就是其中一个）（3）共线的两个匀变速直线运动，最多相遇两次【例16】甲、乙两物体同时同向运动，乙在甲前方x0处，甲做初速度为6m/s，加速度为1m/s2的匀加速直线运动，乙做初速度为零，加速度为2m/s2匀加速直线运动，在运动过程中两个物体不会相碰，则（）A．若x0＝18m，两车相遇1次 B．若x0＝36m，两车相遇1次C．若x0＜18m，两车相遇2次 D．若x0＝54m，两车相遇1次【作业】 班次座次姓名1．在平直的公路上，汽车以16m/s的速度行驶。从某时刻开始，该汽车以大小恒定的加速刹车，开始刹车后经过8s的位移为32m。则汽车刹车的加速度大小为m/s2。2．一辆汽车在平直的公路上行驶，从某一时刻开始紧急刹车而做匀减速直线运动。开始刹车后第1s内的位移为16m，第3s内的位移为1m，则刹车的加速大小为，开始刹车时的初速度大小为。3．汽车以10m/s的速度在平直公路上前进，在它的前方S处有一自行车正以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车立即关闭油门做a＝-6m/s2的匀减速运动。若汽车恰好不碰上自行车，则S的大小为（）A．9.67m B．3.33m C．3m D．7mOOPQ甲乙Ttv4．（2009年海南卷）甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v–t图像如图所示，图中

△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2（s2＞s1）。初始时，甲车在乙车前方s0处。则（）A．若s0＝s1+s2，两车不会相遇 B．若s0＜s1，两车相遇2次C．若s0＝s1，两车相遇1次 D．若s0＝s2，两车相遇1次5．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运动，经过30s后以该时刻的速度做匀速直线运动。设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（）A．A车在加速过程中与B车相遇 B．A、B相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动 D．两车不可能再次相遇v/m·s-1O468t/sv/m·s-1O468t/s1015甲乙A．t＝4s时两车相距最远B．t＝6s时两车相距最远C．两车之间的距离先减小后增大D．t＝0时刻无论两车相距多远，它们以后的运动中都不会相撞7．（2021年重庆卷）质量相同的甲、乙两小球（视为质点）以不同的初速度竖直

上抛，某时刻两球发生正碰。图中实线和虚线分别表示甲、乙两球位置随时间变化的

曲线，其中虚线关于t＝t1左右对称，实线两个顶点的纵坐标相同，若小球运动中除碰

撞外仅受重力，则（）A．t＝0时刻，甲的速率大于乙的速率 B．碰撞前后瞬间，乙的动量不变C．碰撞前后瞬间，甲的动能不变 D．碰撞后甲的机械能大于乙的机械能8．甲、乙两小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，

小球距抛出点的高度h与时间t的关系如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则

两小球在图中的交点位置时，距离抛出点的高度为（）A． B．C． D．9．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移-时间（x-t）图象分别为图中直线a和曲线b，

已知b车的加速度恒定且等于-2m/s2，t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，则（）A．a车做匀速运动且速度 B．t＝3s时a车和b车相遇但此时速度不等C．t＝1s时b车的速度为10m/s D．t＝0时a车和b车的距离x0＝9m10．一物体以5m/s的初速度从光滑斜面上某处开始向上运动，其加速度恒为2m/s2，设斜面足够长，经过时间t物体的位移大小为4m，则时间t可能为（）A．1s B．3s C．4s D．s11．如图，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，v甲＝20m/s、v乙＝30m/s。甲车长l甲＝8.0m，乙车长l乙＝7.5m，车宽均为d＝2.0m。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O的距离分别为s甲＝31.0m、s乙＝41.0m时，乙车意识到有撞车的危险立即采取措施避让，而甲车仍保持原有运动状态向前行驶。（1）若乙车立即刹车做匀减速直线运动让甲车先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？（2）若乙车立即加速做匀加速直线运动让自己先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？OOs乙s甲甲乙12．汽车前方120m处有一自行车正以6m/s的速度匀速前进，汽车以18m/s的速度追赶自行车。若两车在同一条公路的不同车道上做同向的直线运动。（1）经多长时间，两车第一次相遇？（2）若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2m/s2，则再经多长时间两车第二次相遇？13．如图所示，足够长的斜面倾斜角θ＝37°，一小滑块从斜面底端以v0＝16m/s的初速度冲上斜面，与斜面间动摩擦因数µ＝0.25。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。经多长时间物块在斜面上的位移大小x＝12m？θθv0火车道Lss0口汽车停车线栏木Al14．在某铁路与公路交叉的道口处安装的自动栏木装置如下图所示。当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯，警告未越过停车线的汽车迅速制动，而已越过停车线的汽车能在列车到达道口前全部安全通过道口。已知高速列车的速度v1＝120km/h，汽车过道口的速度v2＝5km/h，汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是s0＝5m，道口宽度s＝2