《直线与直线垂直》课件

8.6.1直线与直线垂直【知识小结一】【知识小结二】1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点一]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱所在直线中,和AC垂直且异面的直线有(

)A.1条

B.2条C.3条

D.4条B解析

和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,故选B.12345678910111213142.[探究点一]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(

)C解析

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB,设正方体棱长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,12345678910111213143.(多选题)[探究点一]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是(

)A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°ABD1234567891011121314解析

由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E共面,A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于点E,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,而E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,D错误.故选ABD.12345678910111213144.[探究点一]若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为

.

60°解析

∵a∥OA,∴∠AOB或它的补角为a与OB所成的角,又∠AOB=120°,∴a与OB所成角的大小为180°-120°=60°.∴a与OB所成的角为60°.12345678910111213145.[探究点一]如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为

.

30°123456789101112131412345678910111213146.[探究点一]一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论正确的为

.(填序号)

①③

解析

如图,把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,可知AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.123456789101112131412345678910111213147.[探究点一]如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=

.

5解析

如图,取AD的中点P,连接PM,PN.则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角),123456789101112131412345678910111213148.[探究点一]如图所示,AB是圆O的直径,点C是

的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.1234567891011121314解

因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角.又因为AB是圆O的直径,点C是

的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.12345678910111213149.[探究点二]如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.证明

如图,取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1是正方形,则四边形CDD1C1也是正方形,又G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠DGD1=90°,∴异面直线CD1与EF所成的角为90°.∴CD1⊥EF.12345678910111213141234567891011121314B级关键能力提升练10.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD,BC所成的角为

.

60°

解析

如图,取AC的中点为H,连接EH,HF,则易得EH∥BC,FH∥AD,所以∠EHF就是异面直线AD,BC所成的角(或所成角的补角).因为AD=BC=2,所以EH=HF=1,则△EHF是等腰三角形,又EF=,所以

,因为0°<∠EHF<180°,所以∠EHF=120°,则异面直线AD,BC所成的角为60°.1234567891011121314123456789101112131411.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中点,则直线AE与BC所成的角为

,直线A1B与AC1所成角的余弦值为

.

90°解析

如图所示,连接AB1,在△AA1B1与△AA1C1中,∵AA1=AA1,A1B1=A1C1,∠AA1B1=∠AA1C1=120°,∴△AA1B1≌△AA1C1,∴AC1=AB1,又E是B1C1的中点,∴AE⊥B1C1,又BC∥B1C1,∴AE⊥BC,即直线AE与BC所成的角为90°.如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD.由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1或其补角就是异面直线A1B与AC1所成的角.设AB=a,12345678910111213141234567891011121314123456789101112131412.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC.证明

如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.因为E是AB的中点,且AD=2,所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.因为EF=,所以EH2+FH2=EF2,所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,所以AD⊥BC.1234567891011121314123456789101112131413.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?12345678910111213141234567891011121314C级学科素养创新练14.如图,已知在圆柱OO1中,AB,A1B1分别是☉O,☉O1的直径,且AB∥A1B1.点P在☉O上,BP⊥A1P.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列问题.(1)求三棱锥A1-APB的体积.(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为?若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.1234567891011121314123456789101112