6.2.4向量的数量积（教案）

第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积一、教学目标：1、知识与技能：通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义，掌握平面向量数量积的性质.2、过程与方法：经历从物理背景的分析，抽象概况出概念的过程，培养学生归纳概括、类比迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.3、情感、态度、价值观：通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作学习的科学态度.二、教材分析：重点：平面向量数量积的概念和性质.难点：平面向量数量积的性质的发现.三、教学策略：启发式和问题探究相结合。四、教学过程：（一）创设情境展示背景如图小车在力F的作用下移动了一段位移是S，力和位移的夹角为θ，从物理的角度来看其实质是什么？（二）分析背景形成概念群答：力对物体做功，力对物体做功，问题1：图中力对物体所做的功是多少？（可能学生回答,引导学生回答图中的力对物体所做的功是多少？）这里的θ是什么？生1：力和位移的夹角问题2：影响力对物体所做的功的因素有哪些？群答：力F、位移S、力和位移的夹角θ问题3：像力F、位移S这些量在物理上我们称做什么量？大家回答看看群答：矢量问题4：很好！类比矢量在数学上我们把既有大小又有方向的量称为什么量？群答：向量问题5：那我们用数学的眼光来看这是向量的一种什么运算？我们看等式的左边是什么量？群答：标量问题6：在数学上我们称为什么量？群答：数量从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？(课件展示)生5：问题7：下面大家注意了，像这种向量运算前面我们学习了好几种，对不对？有向量的加法、减法、数乘，这些运算的结果都是什么量？群答：向量这种运算的结果是数量，跟以往不同。我们今天这节课就是从力的做功公式出发来引进向量的一种新的运算，你能否给这种运算起个名称？大家想想看，取什么名字好！生6：向量的积问题7：太好了，这里的确是向量的积的运算。有没有人对这种运算有其他名字?生8：向量的数量积问题9：太棒了!大家觉得好不好！。。。。从结果来看是一个数量。还有吗？生9:平面向量的数量积.师:简直太牛了!(由力对物体做功公式类比得出平面向量的数量积)师:我们知道功运算中除了力和位移，还有一个夹角θ，物理上称为力和位移的夹角,在数学上我们称为向量的夹角，下面我们来看书本给出的向量夹角的定义:向量的夹角：已知两个非零向量和，作=，=，则叫做向量与的夹角．问题10：两个非零向量的夹角的范围是什么?(课件展示)当且仅当两非零向量、同方向时θ=；生10:当且仅，反方向时，θ=；生11:以上统称为当θ=，称与垂直，记作⊥.规定：C试一试：如图：正中，求（1）与的夹角；（2）与的夹角。AB答案为：（1），（2）向量的夹角注意点：1.向量要共起点2.角的范围3.几个特殊角下面正式给出向量数量积的定义:已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．（板演（和不为非零向量）问题11：向量的数量积定义中和为何要是非零向量？探究：零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？能否找出其物理模型？（可以从或者零向量与其他向量的交角没有定义。）规定：零向量与任何向量的数量积为0，比较探究两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？两个向量的数量积是一个实数，它的符号由的符号所决定；而数乘向量是一个向量。2书写上的区别：符号“·”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。（三）概念应用探究性质例1．已知向量与向量的夹角为，，，分别在下列条件下求（1）；（2）；（3）解：（1）=；当向量、同方向时，则=6当，反方向时，，则=-6当时,,则=0.数量积的性质：小组合作讨论：（1），生答：或者或者（2）生答：若，则与同向或者夹角为锐角；若，则与反向或者夹角为钝角；变式1：已知，，，求生板演：=；=变式2：已知，，求生板演：=；练习2：答案：（1）9（2）-16（3）-6（四）归纳理解学以致用反馈练习1．已知，，，求答案：==32．在中，若，则的形状为____________答案：钝角三角形3．已知正的边长为2，，则答案：-6（五）回顾反思拓展延伸1．本节课你学了哪些知识？在思想方法上有哪些收获？2．哪些问题你最易出错，现在深有体会吗？A级必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于()A.9 B.0 C.-3 D.-92.[探究点三]若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=()A.12 B.13 C.23.[探究点一(角度1)]已知正方形ABCD的边长为3,DE=2EC,则AE·BD=(A.3 B.-3 C.6 D.-64.[探究点三]已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a⊥(a+2b),则向量a,b的夹角为()A.π3 B.π4 C.2π5.(多选题)[探究点二]已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有()A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|6.[探究点三(角度2)·2023黑龙江哈尔滨期中]已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=0,设向量a=λe1+μe2,当λ=μ=1时,<a,e1>=;当λ+μ=4时,|a-e1|的最小值为.

7.[探究点一(角度1)]如图所示,在Rt△ABC中,A=90°,AB=1,则AB·BC的值是8.[探究点三]已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.9.[探究点一(角度2)·2023山东威海检测]已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求|a+b|;(2)求向量a在向量a+b方向上的投影向量的模.B级关键能力提升练10.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(OB−OC)·(OB+OC-2OA)=0,则△A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形11.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.512.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有()A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|213.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设AB=2a,BC=b,则下列结论正确的是()A.|a+b|=1 B.a⊥bC.(4a+b)⊥b D.a·b=-114.已知a,b是单位向量,c=a+2b且a⊥c,则a·b=,|c|=.

15.已知向量e1,e2分别是与向量a,b方向相同的单位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为-32e1,则a与b的夹角θ=16.如图,在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?17.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.(1)求|a+b|的值;(2)求a与a-2b的夹角.C级学科素养创新练18.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2C.P1P219.设两个向量a,b,满足|a|=2,|b|=1.(1)若(a-2b)·(a+b)=2+2,求a,b的夹角;(2)若a,b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.参考答案1.D由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.2.B化简(a-2b)·(a+3b)=a2+a·b-6b2=4-|b|-6|b|2=3,|b|=13或|b|=-12(舍去3.A如图,因为正方形ABCD的边长为3,DE=2EC,所以AE·BD=(AD+DE)·(AD−AB)=AD+23AB·(AD−AB)=AD2−14.D∵a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=0,∴a·b=-1,∴cos<a,b>=a·b|∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=3π4.故选5.ABCA.∵a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.C.当a⊥b时,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则以OA,OB为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.6.π4322当λ=μ=1时,a=e1+e2,|a|2=e12+2e1·e2+e22=2,即|a|=2因为<a,e1>∈[0,π],所以<a,e1>=π4当λ+μ=4时,a-e1=(λ-1)e1+μe2=(λ-1)e1+(4-λ)e2,则|a-e1|2=(λ-1)2+(4-λ)2=2λ-522+92,当λ=52时,|a-e1|的最小值为37.-1(方法一)AB·BC=|AB||BC|cos(180°-B)=-|AB||BC|cosB=-|AB||BC||AB||(方法二)|BA|=1,即BA为单位向量,AB·BC=-BA·BC=-|BA||BC|cos∠ABC,而|BC|cos∠ABC=|BA|,所以AB·BC=-|8.证明(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=1×1×-12-1×1×-故(a-b)⊥c.9.解(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6.∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,∴|a+b|=13.(2)设a与a+b的夹角为θ,∵a·(a+b)=a2+a·b=10,∴cosθ=104×13=5213=51326,则a在a+b方向上的投影向量的模为10.A因为(OB−OC)·(OB+OC-2OA)=0,即CB·(AB+AC)=0,又因为AB−AC=CB,所以(AB−AC)·(AB+AC11.C∵|a|=2,|b|=1,∴|a-b|=(a又a·b∈[-2,2],∴|a-b|∈[1,3],∴|a-b|的最大值为3.12.ACD根据向量数量积的分配律知,A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.13.CD由题意知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=3,故A错误;(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确;a·b=1×2×cos120°=-1,故D正确.14.-123因为c=a+2b且a⊥c,则a·c=a·(a+2b)=a2+2a·b=1+2a·b=0,可得a·b=-12,|c|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1+4×-12+4=3,故|c15.120°由题意,得|a|∴cosθ=a·b|∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.16.解∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即