7.1复数的概念及几何意义（提升练）解析版

第七章复数7.1.1复数的概念及几何意义((提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由，,故选:C.2．已知i为虚数单位，复数,满足，则（）A. B.1 C. D.5【答案】B【解析】，根据复数相等∴解得，∴，故选B.3．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由题意，复数，所以复数对应的点位于第四象限.故选：D.4．复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意，∴，又复数的共轭复数的虚部为，∴，解得.∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选:A.5.已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，则这个方程可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为方程的根在复平面内对应的点是，可设根为：，(为虚数单位)，所以方程必有另一根，又，，根据选项可得，该方程为.故选：A二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列说法中不正确的是（）A．在复平面内，虚轴上的点均表示纯虚数B．若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数a＝±1C.的虚部为1 D．若复数，则【答案】AB 【解析】对于选项A,虚轴上的坐标原点表示实数0,故A错误，对于选项B,时，(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i=0，此时不是纯虚数，故B错误，对于选项C,的虚部为1,故C正确，对于选项D,若复数，则，故D正确.故选:AB.7．下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题：①；②所对应的点为(-1,-1)；③的共轭复数为；④若，则的最大值为.其中正确的命题有()A.① B.② C.③ D.④【答案】BD【解析】由题，其共轭复数，所以，所对应的点为(-1,-1)；若，设，则，即是圆上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，最大值为所以正确的命题为②④.故选：BD8．下列说法正确的有（）A.任意两个复数都不能比大小B.若，则当且仅当时，C.若，且，则D.若复数满足，则的最大值为3【答案】BD【解析】对于选项A，复数,当时,为实数,可以比较大小,故A错误.对于选项B，复数,当时,且,故B正确.对于选项C，当时,,但,故C错误.对于选项D，设复数满足，可得：即：，由，可得将代入可得：,故D正确.故选：BD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．若是纯虚数，则实数的值是_____．【答案】1【解析】因为i是纯虚数，，所以，解得：.故答案为:110．已知复数，（，为虚数单位）若复数为纯虚数，则实数的值为_________；若复数对应的点在复平面内的第二象限，则实数的取值范围__________【答案】【解析】因为为纯虚数，所以，解得.因为复数对应的点在复平面内的第二象限，所以，由，解得由，解得或，所以.故答案为:11．已知复数,()满足，则________【答案】【解析】，根据复数相等∴解得，所以，又由.故答案为：四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．已知复数为纯虚数，则（1）取什么值时，为实数；（2）取什么值时，为纯虚数.【答案】0【解析】(1)因为是实数，属于根据实数定义可知，(2)因为是纯虚数，属于根据纯虚数定义可知且可解得.13．已知复数，其中是虚数单位．（1）当为何值时，复数是纯虚数？（2）若复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，求的模．【答案】（1）0；（2）见解析【解析】（1）由复数是纯虚数，得，即时，是纯虚数；（2）∵复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，由，即，得或.当＝﹣时，＝，则||＝＝；当＝1时，＝0，则||＝0．14．已知复数（，虚数单位）是纯虚数.（1）求值；（2）若复数，满足，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】（1）复数，又是纯虚数，则，解得：，的值是.（2）由（1）可以知道：.设.，，即，则，.，，的最大值为.A级必备知识基础练1.[探究点一]若复数z满足z=6i+2i2,则z的虚部是()A.-2i B.6iC.1 D.62.[探究点一]若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为()A.-1 B.2C.1 D.-1或23.[探究点一]若sin2θ-1+i(2cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为()A.2kπ-π4(k∈Z)B.2kπ+π4(k∈ZC.2kπ±π4(k∈Z)D.kπ2+π44.[探究点一]若复数z=a+bi(a,b为实数),则“a=0”是“复数z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(多选题)[探究点二]对于复数a+bi(a,b∈R),下列说法正确的是()A.若b≠0,则a+bi为虚数B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1C.若a+bi为实数,则b=0D.i的平方等于16.[探究点三]若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为.

7.[探究点一]已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,则a的取值集合为.

8.[探究点二]当实数m为何值时,复数z=(m2+m-6)i+m2B级关键能力提升练9.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是()A.若x是实数,则x可能不是复数B.若z是虚数,则z不是实数C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D.-1没有平方根10.以3i-2的虚部为实部,以3i2+2i的实部为虚部的复数是()A.3-3i B.3+iC.-2+2i D.11.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是()A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数C.若z12+z22=0,则D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数12.(多选题)已知复数z=3cosα+icos2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为()A.π3 B.C.π D.513.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=,n=.

14.下列说法:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小.其中说法正确的序号是.

15.已知复数z=3x-1-x+(x2-4x+3)i>0,求实数16.已知复数z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i,λ,m∈R,θ∈0,π2,若z1=z2,求λ的取值范围.C级学科素养创新练17.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=()A.3+i B.3-iC.-3-i D.-3+i参考答案1.Dz=6i+2i2=-2+6i,则z的虚部是6.故选D.2.D因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.3.B由题意,得sin2θ-1=0,2cosθ+1≠0,解得θ=kπ+π4,θ≠24.B根据复数的概念,当a=0且b≠0时,复数z=a+bi为纯虚数.反之,当复数z=a+bi为纯虚数时,a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.5.ABC对于选项A,当b≠0时,a+bi为虚数,故选项A正确;对于选项B,若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b-1=-对于选项C,若a+bi为实数,则b=0,故选项C正确;对于选项D,i的平方为-1,故选项D错误.故选ABC.6.-12,-74依题意得27.{0}由z1>z2,得2a2+3a=0,a28.解(1)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是实数(2)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是虚数,则m2+(3)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是纯虚数,则m9.ACD因为实数是复数,故A错;B正确;因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故C错;因为i2=-1,故D错.10.A3i-2的虚部为3,3i2+2i=-3+2i的实部为-3,故选A.11.BD取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;取z1=i,z2=1,则z12+z22=0,但z1=z2=0当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.12.BC∵复数z=3cosα+icos2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,∴3cosα+cos2α=-2,即2cos2α+3cosα+1=0,解得cosα=-12或cosα=-1∵0<α<2π,∴α=2π3或4π313.2±2由复数相等的充要条件有n2-14.③当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则x2-1=0,x2+3x+2≠0,即x=1,15.解∵z>0,∴