6.4.4余弦定理、正弦定理综合应用（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.4第四课时余弦定理、正弦定理综合应用(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在中，，，，则的面积等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以．故选：D．2．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故选：B.3．在中，角，，的对边为，，着，，，则（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】∵，故选：D.4．为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶处的仰角为；然后从处向正西方向走140米后到达地面处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】设山的高度为，在中，，，在中，，，在中，，由余弦定理得，；即，化简得；又，所以解得；即山的高度为（米）.故选：C。5.已知中，BC边上的中线，，，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在和中，由余弦定理，可知，，∴，在中，由余弦定理可知，，∴，∴，所以的周长为.故选：A.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形【答案】．【解析】对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形；对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是等腰三角形，，说明为锐角，故是锐角三角形；对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，可得，说明为钝角，故是钝角三角形；对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，此时，不等构成三角形，故命题错误．故选：ABC.7.对于，有如下命题，其中正确的有（）A．若，则为等腰三角形B．若，则为直角三角形C．若，则为钝角三角形D．若，，，则的面积为或【答案】CD【解析】对于A：，或，或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B:，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；对于C：，，由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；对于D:，，，，又，或，或，或，故D正确.故选：CD8．在中，已知，给出下列结论中正确结论是（）A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．一定是钝三角形C．D．若，则的面积是【答案】BC【解析】可设的周长为，则由，可得，，，又，则，，，故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；由正弦定理，故C正确；由，则，得，故，由，得，的面积是，故D错.故选：BC三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在锐角三角形中，，，分别为内角，，的对边，若，，，则．【答案】5【解析】由，，，则，由正弦定理和余弦定理可得，，即有，解得或5，当时，最大，由余弦定理可得，即为钝角，不合题意，舍去；当时，最大，由余弦定理可得，即为锐角，合题意．故答案为：5．10．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积，则___________;a的最小值为___________．【答案】【解析】因为，由正弦定理可得，即，又由，所以，又因为，即，解得，由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所以，所以.故答案为：，.11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．【答案】4【解析】∵，∴由正弦定理得，∴，又，∴由余弦定理得，∴，∵为的内角，∴，∴，∴，故答案为：4．四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．已知的内角所对应的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因为，由正弦定理，得．因为，所以．即，所以．因为，所以，又因为，所以．(2)由余弦定理及得，，即．又因为，所以，所以．13．如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(eq\r(3)－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：eq\r(6)≈2.449)．【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10eq\r(3)t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(eq\r(3)－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝eq\r(（\r(3)－1）2＋22－2×2×（\r(3)－1）cos120°)＝eq\r(6)(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝eq\f(ACsin120°,BC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(\r(2),2).∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝eq\f(BDsin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝eq\r(6)(海里)，则有10t＝eq\r(6)，t＝eq\f(\r(6),10)≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．14．如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，，，解得.在中，，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.A级必备知识基础练1.[探究点一]如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()A.角A,B和边ACB.角A,B和边BCC.边BC,AC和角CD.边BC,AC和角A2.[探究点一]如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为()A.6(3+3)m B.6(3-3)mC.6(3+23)m D.6(3-23)m3.[探究点二]如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于()A.asinαsinC.asinαcos4.[探究点三(角度1)]一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距82nmile,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是()A.8(6+B.8(6−C.16(6+D.16(6−5.[探究点三(角度2)]如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于()A.217 B.2114 C.3216.[探究点一]一架飞机在海拔8000m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°,则这个海岛的宽度为m.(精确到0.1m)

7.[探究点三(角度2)]已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.

8.[探究点一]某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.B级关键能力提升练9.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好3km,则x的值为()A.3 B.23 C.2 D.310.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡的坡角为θ,则cosθ=()A.32 B.3-1 C.2-3 D.11.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为m.

12.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物PD的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.13.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(3+1)nmile的海面上有一台风中心,影响半径为20nmile,正以102nmile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3+1)h后开始影响基地持续2h.求台风移动的方向.C级学科素养创新练14.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1km,求点B,D间的距离.参考答案1.D根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.2.B由CDsin60°=BDsin(90°-60°),CDsin45°3.A在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得asin∴AC=asinαsin(β-α),4.D由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得SAsin105°=AB解得AB=8(6−2),故此船的航速为8(6-2)5.B在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=207.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=21由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=27故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=21146.5856.4海岛的宽度为8000tan30°−87.514如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为th,距离为snmile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)nmile,乙船距离B岛6tnmile,所以由余弦定理,得cos120°=(6t)2+(10-4t)2-s22·6t·(10-4t)=-12,化简8.解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.∵OC=3,由正弦定理,得COsin104则BO=3sin36°sin104°.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得COsin56°=AOsin54°,则AO=3sin54°sin56°.在△ABO中,由余弦定理,得AB=AO2+9.AB如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=3,∠ABC=30°,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即(3)2=x2+32-2x·3·cos30°.∴x2-33x+6=0,解得x=23或x=3.10.B在△ABC中,由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(6−2)(m).由题图知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=3-1,故选B.11.103设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30m.在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan45°=DBAD,tan30°=DC则DB=30m,DC=103m.在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°,即BC2=302+(103)2-2×30×103×32,解得BC=10312.解设建筑物的高度为hm,由题图知,PA=2h,PB=2h,PC=23∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=602+2cos∠PBC=602+2∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA