因式分解的概念课件2025-2026学年苏科版八年级数学下册

八年级苏科版数学下册第九章因式分解9.1因式分解的概念学习目标1.了解因式分解的概念.2.体会因式分解与整式的乘法的区别与联系，并会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力.情景创设我们曾经学习过数的整除问题，7+72能被8整除吗？99+992能被100整除吗？若a是正整数，a+a2能被a+1整除吗？7+72=7×(1+7)=7×8，所以7+72能被8整除.99+992=99×(1+99)=99×100，所以99+992能被100整除.根据a(a+1)=a+a2，可得a+a2=a(a+1)，所以a+a2能被a+1整除.问题

例如，对于多项式ma+mb，x2+3x+2，根据m(a+b)=ma+mb，(x+1)(x+2)=x2+3x+2,上述两组等式表达了不同的意义：第一组等式表示两个整式的乘法运算；第二组等式则是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式。在解决问题时，我们常需要把一个多项式化成几个整式的乘积。把上述等式左右换位，可以得到ma+mb=m(a+b)，x2+3x+2=(x+1)(x+2)。小结：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解(factorization)。因式分解也可称为分解因式.因式分解的概念：例题讲解

因式分解整式乘法整式乘法因式分解×●例1解教材P105例题

解：(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解.试一试：1、对于①x-3xy=x(1-3y)；②(x+3)(x-1)=x2+2x-3.从左到右的变形，表述正确的是()A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解,②是乘法运算D.①是乘法运算,②是因式分解2、利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是()A.99×(57+44)=99×101=9999B.99×(57+44-1)=99×100=9900C.99×(57+44+1)=99×102=10098D.99×(57+44-99)=99×2=198CB探索活动1、观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式.

谈谈因式分解与整式乘法有什么联系？请举例说明.(x+2)(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6x2+5x+6=(x+2)(x+3)整式乘法与因式分解是互为逆过程的代数变形：整式乘法：把几个整式相乘→得到一个多项式（展开）；因式分解：把一个多项式→写成几个整式的乘积（拆解）.这种关系类似于“加法与减法”“乘法与除法”，是代数恒等变形的基石.探索研究写出两个整式A与B，使得A=B(a+3)(

)=(

)(a+3).aa2+3a则A=a2+3a，B=aa+1a2+4a+3则A=a2+4a+3，B=a+1二、例题讲解例1.判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，

哪些是多项式的因式分解.(1)m(a+2b)=ma+2mb；(2)15xy+25xy2=5xy(3+5y)；(3)(y+3)(y-3)=y2-9；(4)a2+4b2+4ab=(a+2b)2.解：(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解.例2、判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)；（）(2)2x(x-3y)=2x2-6xy；（）(3)(5a-1)2=25a2-10a+1；（）(4)x2+4x+4=(x+2)2；（）(5)(a-3)a+3)=a2-9；（）(6)m2-4=(m+2)(m-2)；（）(7)2πR+2πr=2π(R+r).（）因式分解整式乘法因式分解因式分解因式分解整式乘法整式乘法观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式．x32xxx2x32x2＋5x＋6＝(x＋3)(x＋2)3x(x＋3)(x＋2)＝x2＋5x＋6谈谈因式分解与整式乘法有什么联系？请举例说明．活动因式分解与整式乘法的区别与联系：因式分解整式乘法区别联系（1）由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式（和差化积）.（2）一种恒等变形．（1）由整式的积的形式转化成和差形式（多项式）（积化和差）.（2）一种乘法运算．互逆

方法技巧四、拓展提高：仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值.解：设另一个因式为x+n，得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,∴解得，仿照例题方法解答：(1)若二次三项式x2-9x-22的一个因式为x+2，求另一个因式；(2)若二次三项式2x2+bx-5有一个因式是2x-5，求另一个因式以及b的值.解：(1)设另一个因式为x+n，得x2-9x-22=(x+2)(x+n),

则x2-9x-22=x2+(n+2)x+2n,

∴2n=-22，∴n=-11，即另一个因式x-11.∴另一个因式为x-7，m的值为-21.(2)设另一个因式为x+n，得2x2+bx-5=(2x-5)(x+n),

则2x2+bx-5=2x2+(2n-5)x-5n,∴b=2n-5，-5n=-5∴n=1，b=-3,另一个因式x+1.尝试练习1、(书本第105页练2)：在下面式子的左边和右边的括号中各填入一个整式，使这个式子的左边与右边相等.(

)=(

)(2a+1).a2a2+a(3)(书本第106页习题2)已知多项式a2+6a+k可以分解为(a+2)(a+4)，求k的值．(2)（2024秋•临夏州期末）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为(x﹣1)(x﹣3)，则k+b的值为

．-1a2+6a+k=(a+2)(a+4)=a2+4a+2a+8=a2+6a+8∴k＝8例题讲解3、补讲例题：仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为(x+n)，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n，∴n+3＝﹣4，m＝3n解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为(x﹣7)，m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a)，则a＝

；x2﹣5x+6=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x+6∴a-2＝﹣5，a＝-3-3写出两个整式A与B，使得A=B(a+3)(

)=(

)(a+3).aa2+3a则A=a2+3a，B=aa+1a2+4a+3则A=a2+4a+3，B=a+1探究答案不唯一．可以先确定右边的式子B，再利用整式乘法展开得到左边的式子A．五、总结反思：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解(factorization)。因