中考数学总复习《隐圆、翻折、最值、动点轨迹难题》专项测试卷（带答案解析）

第页中考数学总复习《隐圆、翻折、最值、动点轨迹难题》专项测试卷（带答案解析）一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q.则下列结论：①AE=BF且AE⊥BF；②；③ΔBFQ是等腰三角形；④ABBQ=45.其中一定正确的个数是A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点BF>BE，且∠EAF=45°.将△ADF以点A为中心顺时针旋转90°得到△ABG，点D，F的对应点分别为点B，G，连接EGA.∠AEF=∠AEG B.AE=AF

C.∠AFD=∠AEB D.B3.在正方形ABCD中AB=4，点E是边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A落在点F处，BF与AC交于点H，点O是AC的中点，则OH的长度是(

)

A.227 B.2 C.4.如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，将△DAE沿DE翻折得△DFE，点A的对应点是点F，直线AF与DE交于点H，与∠CDF的平分线交于点G，连接BG，下列说法：①DH=GH；②∠AGB=45°；③若连接CG，则CG⊥AG；④若正方形边长为2，E为AB的中点，则点C到直线AG的距离为1.其中正确的是(

)

A.①③ B.①②③ C.①③④ D.②④5.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点BE=2F是AB边上一点将△CEF沿CF翻折使点E的对应点G落在AD边上连接EG交折痕CF于点H则FH的长是(

)

A.43 B.103 C.16.如图正方形ABCD的边长为2E是边BC上一点以AB为直径在正方形内作半圆O将△DCE沿DE翻折点C刚好落在半圆O的点F处则CE的长为

(

)

A.23 B.35 C.34二填空题：本题共1小题每小题3分共3分。7.如图边长为2的正方形ABCD中点E是其内部一点且满足∠DAE+∠CBE=135∘点F为BC边上一点点M是CD边的中点连接EFFM则EF+FM的最小值为_______．

三解答题：本题共54小题共432分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。8.(本小题8分)

已知抛物线顶点坐标为(2,−4)且与x轴交于原点O和点C对称轴与x轴的交点为M．

(1)求抛物线的解析式(2)A点在抛物线上且A点的横坐标为−2.在抛物线对称轴上找一点B使得AB与CB的差最大求(3)P点在抛物线的对称轴上且P点的纵坐标为8.探究：在抛物线上是否存在点Q使得OMPQ四点共圆若存在求出Q点坐标若不存在请说明理由．9.(本小题8分)如图已知抛物线y=ax2+c与直线y=−34x−3交于AB两点直线AB与y轴交于点C点B的坐标为(1,−154)动点P在直线AB下方的抛物线上动点Q在y轴上(1)求AC两点的坐标及抛物线的解析式(2)求点P到直线AB的距离的最大值(3)是否存在以PQCD为顶点的四边形为菱形？若存在请求出PQ的坐标若不存在请说明理由．10.(本小题8分)

如图抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3分别相交于AB两点且此抛物线与x轴的一个交点为C连接AC(1)求抛物线的解析式

(2)在抛物线对称轴l上找一点M使|MB−MC|的值最大并求出这个最大值

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点连接PA过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q问：是否存在点P使得以APQ为顶点的三角形与△ABC相似？若存在请求出所有符合条件的点P的坐标若不存在请说明理由.11.(本小题8分)抛物线经过点A(4,0)B(1,0)C(0,−2)三点．(1)求此抛物线的解析式(2)在直线AC上方的抛物线是有一点D使得△DCA的面积最大求出点D的坐标(3)P是抛物线上的一个动点过P作PM⊥x轴垂足为M是否存在点P使得以APM为顶点的三角形与△OAC相似？若存在请求出符合条件的点P的坐标若不存在请说明理由12.(本小题8分)如图已知抛物线y=−x2+bx+c与一直线相交于A(−1,0)C(2,3)两点与y轴交于点N(1)求抛物线及直线AC的表达式(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点BE为直线AC上的任意一点过点E作EF//BD交抛物线于点F以BDEF为顶点的四边形能否为平行四边形？若能求点E的坐标若不能请说明理由(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点求△APC的面积的最大值．13.(本小题8分)

如图已知抛物线y=a(x−2)2+c与x轴从左到右依次交于AB两点与y轴交于点C其中点B的坐标为(3,0)点C的坐标为(0,−3)连接ACBC．

(1)求该抛物线的解析式

(2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点连接PAPBPC设点P的纵坐标为h试探究：

①当h为何值时|PA−PC|的值最大？并求出这个最大值．

②在P点的运动过程中∠APB能否与∠ACB相等？若能请求出P点的坐标若不能请说明理由．

14.(本小题8分)综合与探究如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2−x+c与y轴交于点A(0,−4)与x轴交于点(1)求抛物线的解析式．(2)P是AB下方抛物线上的一动点过点P作x轴的平行线交AB于点C过点P作PD⊥x轴于点①求PC+PD的最大值．②连接PAPB是否存在点P使得线段PC把▵PAB的面积分成3：5两部分？若存在请直接写出点P的坐标若不存在请说明理由．15.(本小题8分)

如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(2,0)B(−6,0)两点与y轴交于点CP(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在直线BC上方的抛物线上时求四边形OBPC的最大面积并直接写出此时P点坐标;(3)若点M在抛物线的对称轴上以BCPM为顶点BC为边的四边形能否是平行四边形?若能请直接写出点P的坐标;若不能请说明理由．16.(本小题8分)如图二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于AB两点与y轴交于点COB=OC.点D在函数图象上CD // x轴且CD=2直线l是抛物线的对称轴E(1)求bc的值

(2)如图①连BE线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上求点F的坐标(3)如图②动点P在线段OB上过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q使得△PQN与△APM的面积相等且线段NQ的长度最小？如果存在求出点Q的坐标如果不存在说明理由．17.(本小题8分)如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+x+m(a≠0)的图象与x轴交于AC两点与y轴交于点B其中点B坐标为(0,−4)点C坐标为(2,0)(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点连接ADBD探究是否存在点D使得△ABD的面积最大？若存在请求出点D的坐标若不存在请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点使得△PAB为直角三角形请求出点P的坐标．18.(本小题8分)

如图点C是等边△ABD的边AD上的一点且∠ACB=75°⊙O是△ABC的外接圆连接AO并延长交BD于E交⊙D于F．

(1)求证：∠BAF=∠CBD(2)过点C作CG//AE交BD于点G求证：CG是⊙O的切线(3)在(2)的条件下当AF=22时求DG19.(本小题8分)

在Rt△ABC中斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE连接BDBE如图所示．

(1)在①∠BOE②∠ACD③∠COE中等于旋转角的是________(填出满足条件的的角的序号)(2)若∠A=α求∠BEC的大小(用含α的式子表示)(3)点N是BD的中点连接MN用等式表示线段MN与BE之间的数量关系并证明．20.(本小题8分)

如图在ABCD中AB=10cm∠DBC=45°cos∠BDC =45

(1)BD=_________BC=_________(2)动点E从点B出发沿BD方向向点D运动速度为每秒1cm以点E为圆心BE长为半径作圆设运动时间为t秒．①当t=2时如图①求⊙E在BC边下方的部分与BC边围成的封闭图形的面积②当⊙E与ABCD的边所在直线相切时求t的值③当⊙E与BC边只有一个公共点时直接写出t的取值范围④若ΔDEC的内心为点F设∠DFC=α直接写出α的取值范围．(参考数值：sin37°≈35cos37°≈421.(本小题8分)

已知：如图1四边形ABCD内接于⊙OAC⊥BD于点POE⊥AB于点EF为BC延长线上一点．

(1)求证：∠DCF=∠DAB

(2)求证：OE=12CD

(3)当图1中点P运动到圆外时即ACBD的延长线交于点P且∠P=90°时(如图2所示)(2)中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明22.(本小题8分)

如图已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点AC⊥BD于G连接AD过点B作直线BF/​/AD交AC于E交⊙O于F若点F是弧CD的中点连接OGODCD

(1)求证：∠DBF=∠ACB

(2)若AG=62GE试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系23.(本小题8分)

已知O为坐标原点AB分别在y轴x轴正半轴上D是x轴正半轴上一动点AD=DE∠ADE=α矩形AOBC的面积为32且AC=2BC．

(1)如图1当α=90°时直线CE交x轴于点F求证：F为OB中点

(2)如图2当α=60°时若D是OB中点求E点坐标

(3)如图3当α=120°时Q是AE的中点求D点运动过程中BQ的最小值．

24.(本小题8分)

如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上点B在x轴正半轴上过点AB的⊙P与y轴交于CD两点(点C在点D上方)连接ACBD点E为AC中点．

(1)连接OE求证：OE⊥BD;(2)若⊙P的半径为2ABCD的平方和等于24求OP的长度;(3)连接PE若OA=OC点P在△AOC内部且PE=1则B点坐标为

．25.(本小题8分)如图1E点为x轴正半轴上一点⊙E交x轴于AB两点交y轴于CD两点P点为劣弧BC上一个动点且A(−1,0)E(1,0)．(1)如图1连结PC取PC中点G连结OG则OG的最大值为______(2)如图2连接ACAPCPCB.若CQ平分∠PCD交PA于Q点求AQ的长(3)如图3连接PAPD当P点运动时(不与BC两点重合)求证：PC+PDPA为定值并求出这个定值．26.(本小题8分)

如图△ABC为☉O的内接三角形AB为☉O的直径将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD交☉O于点D.连接CD交AB于点E延长BD和CA相交于点P过点A作AG // CD交BP于点G．

(1)求证：直线GA是☉O的切线(2)求证：AC(3)若tan∠AGB=2PG=627.(本小题8分)(一)如图已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(−1,0)B(3,0)两点与y(1)求这个二次函数的表达式(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点PH⊥x轴于点H与线段BC交于点M连接PC．①求线段PM的最大值②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时求点P的坐标．

(二)【问题背景】如图1在四边形ADBC中∠ACB=∠ADB=90°AD=BD探究线段ACBCCD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处点BC分别落在点AE处(如图2)易证点CAE在同一条直线上并且△CDE是等腰直角三角形所以CE=2CD【简单应用】(1)在图1中若AC=2BC=22(2)如图3AB是⊙O的直径点CD在⊙O上AD⌢=BD⌢若AB=13BC=12【拓展规律】(3)如图4∠ACB=∠ADB=90°AD=BD若AC=mBC=n(m<n)求CD的长(用含mn的代数式表示)28.(本小题8分)

已知：正方形ABCD的边长为4⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T连接TO交⊙O于点S．

(1)如图1当⊙O经过AD两点且圆心O在正方形ABCD内部时连接DTDS．

①试判断线段DTDS的数量关系和位置关系

②求AS+AT的值

(2)如图2当⊙O经过AD两点且圆心O在正方形ABCD外部时连接DTDS.求AS−AT的值

(3)如图3延长DA到点E使AE=AD当⊙O经过AE两点时连接ETES.根据(1)(2)计算通过观察分析对线段ASAT的数量关系提出问题并解答．29.(本小题8分)

如图点ABCD是⊙O上的动点DC在AB上方且弧AD=弧BC

E是AB延长线上一点且BE=ABF是EC的中点.

(1)探索BF与BD之间的数量关系并说明理由．

(2)设G是BD的中点在⊙O上是否存在点P(点B除外)使得PG=PF？试证明．(3)若⊙O的半径为3当弧AB的长为2π且∠DAB>∠EBF时直接写出BF长度的取值范围．30.(本小题8分)

定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形

(1)互补四边形ABCD中若∠B：∠C：∠D=2：3：4求∠A的度数(2)如图1在四边形ABCD中BD平分∠ABCAD=CDBC>BA.求证：四边形ABCD是互补四边形(3)如图2互补四边形ABCD中∠B=∠D=90°AB=AD=23点EF分别是边BCCD的动点且∠EAF=12∠BAD=60°△CEF周长是否变化？若不变请求出不变的值(4)如图3互补四边形ABCD中∠A=∠C=90°AB=BC∠B=150°将纸片先沿直线BD对折再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪剪开后的图形打开铺平若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形求CD的长31.(本小题8分)

如图将边长为4的正方形纸片ABCD折叠使点A落在边CD上的点M处(不与点CD重合)连接AM折痕EF分别交ADBCAM于点EFH边AB折叠后交边BC于点G．

(1)求证：△EDM∽△MCG

(2)若DM=13CD求CG的长

(3)若点M是边CD上的动点四边形CDEF的面积S是否存在最值？若存在求出这个最值若不存在32.(本小题8分)

如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点与y轴相交于点C且点B与点C的坐标分别为B(3,0).C(0,3)点M是抛物线的顶点.点P为线段MB上一个动点过点P作PD⊥x轴于点D若OD=m．

(1)求二次函数解析式

(2)设△PCD的面积为S试判断S有最大值或最小值？若有求出其最值若没有请说明理由

(3)在MB上是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在请写出点P的坐标若不存在33.(本小题8分)

如图在矩形ABCD中AB=4BC=8点E是边AD上的动点连接CE以CE为边作矩形CEFG(点DG在CE的同侧)且CE=2EF连接BF．

(1)如图1当点E在AD的中点时点BEF在同一直线上求BF的长;(2)如图2当∠BCE=30∘时求证：线段BF被(3)在点E的运动过程中BF的长是否存在最大(小)值?若存在直接写出BF的最值;若不存在请说明理由。34.(本小题8分)

已知：如图1等腰三角形ABC中AB=AC=m.以A为顶点作▱ADEF其中AD=m2∠DAF=∠BAC=α.连接BFCD取CD的中点G连接AG.

(1)如图1写出一个与∠BAD相等的角

______

(2)如图2若m=6α=60°且点D在AB边上E在BC边上直接写出AG=

______

(3)若α=90°AD=DE

①如图3所示求AG与BF的数量关系

②在图4图5中分别画出AG取最大值与最小值时的示意图并直接写出AG的最值.(可用含m的代数式表示)35.(本小题8分)

课堂上数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值问题展开探究．

【经典回顾】二次函数求最值的方法．

(1)老师给出a=−4求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．

①请你写出对应的函数解析式

②求当x取何值时函数y有最小值并写出此时的y值

【举一反三】老师给出更多a的值同学们即求出对应的函数在x取何值时ya…−4−2024…x…∗20−2−4…y的最小值…∗−9−3−5−15…注：∗为②的计算结果．

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识观察表格谈谈你的发现.”

甲同学：“我发现老师给了a值后我们只要取x=−a就能得到y的最小值.”

乙同学：“我发现y的最小值随a值的变化而变化当a由小变大时y的最小值先增大后减小所以我猜想y的最小值中存在最大值”

(2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3解释甲同学的说法是否合理？

(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确请求出此最大值若不正确36.(本小题8分)

[发现问题]

爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①点O为坐标原点⊙O的半径为1点A(2,0).动点B在⊙O上连接AB作等边△ABC(A,B,C为顺时针顺序)求OC的最大值．

[解决问题]

小明经过多次的尝试与探索终于得到解题思路：在图①中连接OB以OB为边在OB的左侧作等边BOE连接AE．

(1)请你找出图中与OC相等的线段并说明理由

(2)线段OC的最大值为______．

[灵活运用]

(3)如图②在平面直角坐标系中点A的坐标为(2,0)点B的坐标为(5,0)点P为线段AB外一动点且PA=2以P为旋转中心把PB逆时针旋转90°得PM连接AM求AM长的最大值．

[迁移拓展]

(4)如图③BC=43点D是以BC为直径的半圆上不同于BC的一个动点以BD为边作等边△ABD请直接写出AC的最值．37.(本小题8分)

【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值．

【探究证明】(1)如图①P是⊙O外的一点直线PO分别交⊙O于点AB则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段．

证明：如图②在⊙O上任意取一个不同于点A的点C连接OCCP．

则有OP<OC+PC(▲)请补全▲处缺失的依据．

即OP−OC<PC．

由OA=OC得OP−OA<PC即PA<PC．

从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段．

(2)小琳认为在图①中线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段你认为小琳的说法正确吗？请说明理由．

【直接运用】

(3)如图③在Rt△ABC中∠ACB=90°AC=BC=4以BC为直径的半圆交AB于DP是CD上的一个动点连接AP则AP的最小值是______．

(4)如图④在平面直角坐标系中点A的坐标为(−4,5)⊙A的半径为3P为x轴上一动点PB切⊙A于点B则PB最小值是______．

【灵活运用】

(5)如图⑤⊙O的半径为6弦AB=6点C为优弧AB上一动点AM⊥AC交直线CB于点M则△ABM面积的最大值是______．

38.(本小题8分)

《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发从特殊到一般由简单到复杂：从部分到整体由低维到高维知识与方法上的类比是探索发展的重要途径是思想阀门发现新问题新结论的重要方法．

阅读材料一：

利用整体思想解题运用代数式的恒等变形使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法常用的途径有：(1)整体观察(2)整体设元(3)整体代入(4)整体求和等．

例如ab=1求证：11+a+11+b=1

证明：原式=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1

波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后再四处看看他们总是成群生长”类似问题我们有更多的式子满足以上特征．

阅读材料二：

基本不等式ab≤a+b2(a>0,b>0)当且仅当a=b时等号成立它是解决最值问题的有力工具．

例如：在x>0的条件下当x为何值时x+1x有最小值最小值是多少？

解：∵x>01x>0∴x+1x2≥x⋅1x即x+1x≥2x⋅1x∴x+1x≥2

当且仅当x=139.(本小题8分)

如图抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)和B(4,0)两点与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式

(2)点P是x轴下方抛物线上一点设点P的横坐标为t过点P作x轴的平行线交直线BC于点M过点P作x轴的垂线交x轴于Q以PMPQ为邻边的矩形的周长记为l．

①请直接写出l关于t的函数关系式

②求l的最值

(3)将抛物线y=ax2+bx−2向上平移32个单位长度再向左平移m(m>0)个单位长度若新抛物线的顶点G在△ABC内(40.(本小题8分)

如图1直线y=x+4分别交x轴y轴于AB两点点P是线段AB上的一动点以P为圆心r为半径画圆．

(1)若点P的横坐标为−3当⊙P与x轴相切时则半径r为_____此时⊙P与y轴的位置关系是_______.(直接写结果)

(2)若r=52当⊙P与坐标轴有且只有3个公共点时求点P的坐标．

(3)如图2当圆心P与A重合r=2时设点C为⊙P上的一个动点连接OC将线段OC绕点O顺时针旋转90°得到线段OD连接AD41.(本小题8分)有一正三角形ABC边长为a分别取ABCA边的三等分点DE且其角平分线相交于点F过点F作FG⊥BF交BC于点G连接EDEFFAFBFG．

(1)求FG+DC的值．(2)将▵DAE绕点A逆时针旋转90∘到▵HAI取DC中点K连接IE交AB于点J连接JK求(3)在(2)的条件下HIDE上分别有LM在线上移动连接LJMJ求出在什么条件下LJ+42.(本小题8分)

小亮喜欢思考善于运用信息化工具研究数学问题.在中考复习中他运用DeepSeek和几何画板研究了动点最值问题.以下为研究笔记的部分内容：DeepSeek梳理了初中常见的动点最值问题从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格请阅读材料并完成下列问题．分类点到点的距离点到直线的距离点到圆的距离基本原理两点之间线段最短直线外一点到直线上各点的所有连线中垂线段最短点P到⊙O的距离为1则有PO−r≤l≤PO+r基本图形【直接应用】

(1)已知在Rt△ABC中AB=3AC=4BC=5点P为边BC上一动点．

①线段AP的最小值为______

②若点F为AC的中点则线段AF绕点A顺时针旋转PF的最小值为______

【迁移运用】

(2)如图1一次函数y1=x−3和二次函数y2=x2+2x.一次函数的图象与坐标轴分别交于点B点C.若P为二次函数图象上的一个动点过点P作直线BC的垂线垂足为点A.求PA最小值

【问题解决】

(3)在矩形ABCD中AB=6BC=8AE=CGBF=DH.小亮使用几何画板探究发现：四边形EFGH为平行四边形四边形EFGH与矩形ABCD重合时周长最大最大值为28.请证明四边形43.(本小题8分)

【问题原型】

如图①菱形ABCD的边长为6∠ADC=60°点P在直线CD上移动.试探究PAPB的值最大时点P的位置．

【问题探究】

如图②梦琪同学的探究步骤如下：

1.射线AP上取点E使∠ABE=∠APB构造△ABE～△APB从而将PAPB转化为ABBE因为AB是定值6这样就将双变量(PAPB)问题转化为探究BE长度最小值的单变量问题于是将问题转化为探究动点E的运动轨迹问题

2.进一步发现当△ABE∽△APB时总有△PAD∽△DAE进而可知∠AED=60°连接AC因为四边形ABCD是菱形∠ADC=60°可知∠ACD=60°即∠ACD=∠AED可知点CE始终在△ACD的外接圆上(定弦定角必定圆)．

以下是梦琪同学证明∠AED=60°的部分过程：

证明：由【问题探究】的作法可知∠ABE=∠APB又∵∠BAE=∠PAB

∴△ABE∽△APB．

∴AEAB=ABAP．

∵四边形ABCD是菱形

∴AD=AB且∠ADP=60°．

证明过程缺失

∴∠AED=∠ADP=60°．

请你补全缺失的证明过程．

【问题解决】

请结合上述探究过程用圆规和无刻度的直尺在图③中作出点E的轨迹圆并标出圆心O则PA44.(本小题8分)

如图1在矩形ABCD中对角线ACBD相交于点O过点AB分别作BDAC的平行线相交于点E．

(1)求证：四边形AEBO是菱形

(2)若四边形AEBO的面积是24AC=10求矩形ABCD的周长

(3)如图2在(2)的条件下点P是线段BC上的一动点连接AP作点B关于直线AP的对称点Q若点P从点B开始向右运动了6个单位求点Q运动的轨迹的长．45.(本小题8分)

对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形叫做符合这个条件的点的轨迹．例如平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆．

(1)如图1在△ABC中AB=AC∠BAC=90°A(0,2)B是x轴上一动点当点B在x轴上运动时点C在坐标系中运动点C运动形成的轨迹是直线DE且DE⊥x轴于点G.则直线DE的表达式是______．

(2)当△ABC是等边三角形时在(1)的条件下动点C形成的轨迹也是一条直线．

①当点B运动到如图2的位置时AC/​/x轴则C点的坐标是______．

②在备用图中画出动点C形成直线的示意图并求出这条直线的表达式．

③设②中这条直线分别与xy轴交于EF两点当点C在线段EF上运动时点H在线段OF上运动(不与OF重合)且CH=CE则CE的取值范围是______．

46.(本小题8分)

【问题原型】如图1在矩形ABCD中AB=2AD=22点E在边AD上点F在射线DC上且DF=2AE连接BEAF交于点M若点P是AD边上的一个动点连接PCPM试探究PC+PM的最小值．

【问题分析】如图2小明首先作点C关于直线AD的对称点C′连接PC′PM由对称性可知PC′=PC利用基本事实：“两点之间线段最短”可知当C′PM三点共线时PC+PM=PC′+PM=C′M进而问题转化为探究C′M的最小值问题又进一步转化为探究点M的轨迹的问题.其次小明发现可通过证明△DAF∽△ABE得出AF⊥BE进而可知∠AMB=90°即可确定点M的轨迹.以下是证明∠AMB=90°的部分过程：

证明：在矩形ABCD中

∠BAD=∠ADC=90°

∵AB=2AD=2证明过程缺失请你补全上述缺失的证明过程：

【问题解决】请结合上述探究过程此时PC+PM的最小值为______．

【方法应用】如图3正方形ABCD中AB=42点EF分别为BCAD上的点过点EF的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分.过点A作AG⊥EF于点G连接DG则线段DG长的最小值为______．

47.(本小题8分)

在平面直角坐标系xOy中反比例函数y=kx(k≠0)的图象过M(m+1,2)和N(3m+1,1)两点直线l经过一个定点A(1,5)．

(1)求反比例函数y=kx(k≠0)的函数表达式

(2)如图1当直线l分别与y轴x轴交于点BC若AB=2BC点D是反比例函数y=kx(k≠0)第一象限内一点当S△ACD=194时求点D的横坐标

(3)如图2已知E(−1,0)F是直线l上一动点线段EF绕着点F按顺时针方向旋转45°至线段FP使FP=2EF48.(本小题8分)

已知：正方形ABCD边长为2.点P为边AD上的动点以直线BP为对称轴翻折△ABP得△QBP(如图).连接CQ取CQ中点M连接DM．

(1)当翻折△ABP后若点Q刚好落在对角线BD上求此时AP的长度

(2)当点P由A运动到D时求点M的运动轨迹的长度

(3)如果将“点P为线段AD上的动点”改为“点P为射线AD上的动点”其它条件不变那么当△DQC为等腰三角形时求此时AP的长度．49.(本小题8分)综合与实践问题情境：数学活动课上老师出示了一个问题：如图等边△ABC绕边AC翻折点B落到点D的位置点E为AC边上的动点连接DE将线段DE绕点D逆时针旋转120°得到线段DF连接CF．猜想证明：(1)如图①①当点E与点A重合时试判断四边形ACFD的形状并说明理由

②△ABC边长为a求F的运动轨迹的长度。(2)如图②当点E不与点AC重合时连接EF交CD于点G点H是AD边上一点且∠HED=∠FED连接GH．①若CE=6∠CDE=3∠ADE求等边△ABC的边长②试猜想线段EHHG与FG的数量关系并证明解决问题：(3)如图③在(2)①中菱形边长不变的情况下当点E运动到AC的中点时将△CEG绕点E顺时针旋转α(0°<α<120°)得到△C′EG′设C′G′所在直线与ABBC分别交于点NM若△BMN是以BM为斜边的直角三角形请直接写出AN的长．50.(本小题8分)

老师给“思进小组”准备了如下思考题：

如图在矩形ABCD中AB=3BC=4点E是BC边上一动点(点E不与BC重合)连接AE以AE为边在直线AE的右侧作矩形AEFG…

显然题目不完整于是小组成员对矩形AEFG的大小形状作如下假设并提出问题：

(1)聪聪假设：矩形AEFG∽矩形ABCD

①连接DF求DF的最小值

②当DF=94时求BE的长

(2)明明假设：当点E在BC边上运动时矩形AEFG的面积等于18保持不变点G的运动轨迹是否有规律可循能否求出BG的最大值？请直接写出答案．

51.(本小题8分)

如图1在平面直角坐标系中抛物线y0=−x2+bx+c与x轴交于点A(−4,0)点B(2,0)与y轴交于点C．

(1)求抛物线y0的表达式及点C的坐标

(2)若点D0是抛物线y0上一动点连接CD0点D0在抛物线y0上运动时

①取CD0的中点D1当点D0与点A重合时D1的坐标为______当点D0与点B重合时D1的坐标为______请在图2的网格中画出点D1的运动轨迹并猜想点D1的运动轨迹是什么图形：______并求点D1运动轨迹的函数y1的解析式

②在线段CD1上取中点D2点D2运动轨迹的函数的解析式为y2在线段CD2上取中点D3点52.(本小题8分)

已知正方形ABCD边长为4点F是边ABBC上一动点以DF为直径作⊙O

(1)当点F在边AB上时(如图1)

①求证：点O在边AD的垂直平分线上

②如图2若⊙O与边BC相切请用尺规作图确定圆心的位置(不写作法保留作图痕迹)并求出AF的长

③如图3点F从点A运动到点B的过程中若H始终是FHD的中点写出H点运动的轨迹并求出路径长

(2)当点F在边BC上时(如图4)若H始终是FHD的中点连接CHCHFC=12连接FH求：△FCH53.(本小题8分)

在平面直角坐标系中任意点P(x,y)到定点Q(0,18)的距离等于到直线y=−18的距离记点P的轨迹为抛物线C1．

(1)直接写出抛物线C1的解析式______

(2)将抛物线C1向右平移1个单位长度再绕点(2,1)旋转180°得到抛物线C2抛物线C2与x轴交于AB两点(A左B右)与y轴交于C点R为抛物线C2上的动点如图1若以ABRC为顶点的四边形为梯形求点R的坐标

(3)如图2过点D(72,t)分别作直线EF：y=k1x+b1(k1≠0)交(2)中的抛物线C2于点EF直线GH：y=k2x+b2(k54.(本小题8分)在▵ABC中AC=BCAC=6∠ACB=α点D是BC边上任意一点点E是直线AD上一动点连接BE将BE绕点B顺时针旋转旋转角为α得到线段BF连接EF．

(1)如图1当点F在射线AD上时试探究∠CAE与∠ABE的数量关系(2)如图2BF//ADCG⊥AE于点G2∠ABF−3∠EBF=4∠BAE说明：EG+BE=(3)如图3α=60∘点F在射线AD上点P是BE上一点且满足AF=3BP在点D的运动过程中求点55.(本小题8分)如图已知抛物线y=−33x2−233x+3与x轴交于AB两点(A点在B(1)请直接写出AB两点的坐标及∠ACB的度数(2)如图1若点P为抛物线对称轴上的点且∠BPC=∠OCB求点P的坐标(3)如图2若点EF分别为线段AC和BC上的动点且DE⊥DF过EF分别作x轴的垂线垂足分别为MN.在EF两点的运动过程中试探究：①AMDN是否是一个定值？如果是请求出这个定值如果不是②若将▵ADE沿着DE翻折得到▵A′DE将▵BDF沿着DF翻折得到▵B′DF当点F从点B运动到点C的过程中求点A′和点B′的运动轨迹的长度之和．

56.(本小题8分)【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①⊙O的半径为r=2点A在⊙O上点B为线段OA中点过点B作OA垂线l.点P是⊙O上一动点点P关于直线l的对称点为P′试探究点P′的轨迹．【问题解决】经过讨论小组同学猜想点P′在一个确定的圆上下面是部分证明过程：证明：证明过程缺失∴点P′在以点______为圆心______为半径的圆上．(1)请你补全证明中的缺失过程．(2)【结论应用】如图②⊙O的半径为r=2点A与点C在⊙O上且∠AOC=90∘.点B为线段OA上的点且AB=12过点B作OA的垂线l.点P是AC⌢上一动点点P关于直线l的对称点为P′.当点P从点A运动到点C时(3)【拓展提升】如图③若把上述问题的条件“AB=12”去掉其它条件不变CD为⊙O直径．点D到点P′距离d的取值范围是57.(本小题8分)阅渎理解：在平面直角坐标系中若两点PQ的坐标分别是Px1,y1Qx2,y2则PQ对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂商平分线．解决问题：如图已知在平面直角坐标系xOy中直线y=kx+12交y轴于点A点A关于x轴的对称点为点B过点B作直线平行于x轴．

(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是________．(2)若动点Cx,y满足到直线l的距离等于线段CA的长度求动点C问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+12交于EF两点分别过EF作直线l的垂线垂足分别是MN①EF是△AMN外接圆的切线：②1AE58.(本小题8分)

【模型熟悉】

(1)如图1已知△ABC和△DCE点BCE在一条直线上且∠B=∠ACD=∠EAC=CD求证：BC=DE

【模型运用】

(2)如图2在等边△ABC中MN分别为BCAB边上的点且ND=NM∠DNM=60°连接AD.若∠DAN=30°求证：CM=2BN

【能力提升】

(3)如图3等边△ABC的面积是25AB=6点DF分别为ACBC边上的动点AD=2CF连接DF以DF为边在△ABC内作等边△DEF连接BE当点D从点A运动到点C请在图3中作出点E的运动轨迹并求出点E的运动路程．

59.(本小题8分)

如图在正方形ABCD中AB=6动点P从点A出发沿折线AB−BC以每秒2个单位长度的速度匀速运动到达点C停止连结DP交AC于点E以DP为直径作⊙O交EC于点F连接DFPF.设点P的运动时间为t秒．

(1)当点P在边AB上运动时△DPF的形状始终是等腰直角三角形请说明理由

(2)当t=1时S△APDS△FPD的值为______

(3)在点P整个运动过程中求圆心O运动轨迹的长度

(4)作点F关于DP所在直线的对称点F′连结EF′当线段EF′恰好与正方形ABCD的一边平行时直接写出60.(本小题8分)

“求索”数学兴趣小组探究平面内横纵坐标满足特定关系的动点P(m,n)的运动轨迹问题：

【方法探索】：

(1)组长小谦提出问题：动点G(t−1,t+1)随着t的变化形成的运动轨迹是什么？

小志的思考：t取3个特殊值得到3个点坐标发现3点在一条直线上可以利用待定系数法求出该直线的表达式小远的思考：令x=t−1y=t+1再求y与x的函数关系式．

请你选择一种方法确定点G(t−1,t+1)运动轨迹的函数表达式为______

【问题解决】：

(2)小明设计了一道动点问题考小诚请聪明的你帮小诚解答：如图在平面直角坐标系中已知点A(8,0)B(0,−2)BQ=1.5点M从点A出发以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动同时点N从点O出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动点P是MN的中点设运动时间为t请用含t的式子表示点P的坐标并求PQ的最小值

【拓展运用】：

(3)高老师给出坐标平面内两个动点：T(m−1,m2+1)K(n+1,n−3)．

①小勇说：点TK的运动轨迹都是直线小智说：点TK在运动过程中不可能重合请你选择下面正确的看法______

A.小勇的说法对

B.小智的说法对

C.两人的说法都对

D.两人的说法都错

②请你求出线段61.(本小题8分)

综合与实践课上老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断

如图1正方形纸片ABCD在边BC上任意取一点E连接AE过点B作BF⊥AE于点G与边CD交于点F.根据以上操作请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系

(2)迁移探究

小华将正方形纸片换成矩形纸片继续探究过程如下：如图2在矩形纸片ABCD中AB：AD=m：n在边BC上任意取一点E连接AE过点B作BF⊥AE于点G与边CD交于点F请求出线段AE与BF的关系并说明理由．

(3)拓展应用

如图3已知正方形纸片ABCD的边长为2动点E由点A向终点D做匀速运动动点F由点D向终点C做匀速运动动点EF同时开始运动且速度相同连接AFBE交于点G连接GD则线段GD长度的最小值为______点G的运动轨迹的长为______.(直接写出答案不必说明理由)参考答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查的是四边形的综合题涉及正方形的性质全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变找准对应边角的关系求解.首先证明△ABE≌△BCF再利用角的关系求得∠BGE=90°即可得到①AE=BF②AE⊥BF△BCF沿BF对折得到△BPF利用角的关系求出QF=QB解出BPQB根据正弦的定义即可求解根据AA可证△BGE与△BCF相似进一步得到相似比再根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵EF分别是正方形ABCD边BCCD的中点

∴CF=BE

在△ABE和△BCF中

AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF

∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS)

∴∠BAE=∠CBFAE=BF

又∵∠BAE+∠BEA=90°

∴∠CBF+∠BEA=90°

∴∠BGE=90°

∴AE⊥BF故①∵∠BGE=∠ABE∠GBE=∠BAE

∴△BGE∽△ABE

∵BE=12BC=12abBF=52AB

∴BE：AE=1：5

∴△BGE的面积：△ABE的面积=1：5根据题意得FP=FCPB=BC=AB∠PFB=∠BFC∠FPB=90°

∵CD//AB

∴∠CFB=∠ABF

∴∠ABF=∠PFB

∴QF=QB

∴△BFQ是等腰三角形故故③正确令PF=k(k>0)则PB=2k

在Rt△BPQ中设QB=x

∴x ​2=(x−k) ​2+4k∴sin=∠BQP=BP故选D．2.【答案】A

【解析】解：A∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=90°

由旋转得AG=AF∠GAB=∠FAD

∵∠EAF=45°

∴∠BAE+∠FAD=90°−45°=45°

∴∠EAG=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠FAD=45°

∴∠EAG=∠EAF=45°

在△AEG和△AEF中

AG=AF∠EAG=∠EAFAE=AE

∴△AEG≌△AEF(SAS)

∴∠AEF=∠AEG故A正确

B根据已知条件无法确定BE=DF所以无法确定AE=AF故B错误

C根据已知条件无法确定BE=DF所以无法确定AE=AF所以无法确定∠AFD=∠AEB故C错误

D∵AB=AD∠BAD=90°

∴∠ABE=∠ADF=45°

由旋转得∠ABG=∠ADF=45°BG=DF

∴∠EBG=∠ABE+∠ABG=90°

∴EG ​2=BG ​2+BE ​2

由(1)得△AEG≌△AEF

∴EG=EF

∴EF ​23.【答案】A

【解析】【分析】连接BD交EF于点G作GL⊥AD于点L根据翻折变换性质得到EF=AE=2∠F=∠A=90°BF=BA=4设LD为a分别表示出△FBG的长再利用勾股定理解出a的值再利用△BOH∽△BFG求出OH的长．【解答】解：连接BD交EF于点G作GL⊥AD于点L∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD=4∠LDG=45°∠A=90°∴BD=∴BO=2∵△ABE沿BE翻折点A落在点F处∴EF=AE=2∠F=∠A=90°BF=BA=4设LD=a则LE=2−a在Rt△LDG中LD=a∠LDG=45°可得LG=aDG=在Rt△LEG中LE=2−aLG=a可得EG=∴FG=EF−EG=2−a2在Rt△BFG中BF=4BG=42−∴FG2+BF解得a1=0(舍去)∴FG=2−∵∠HBO=∠GBF∠BOH=∠F∴△BOH∽△BFG∴BOBF=OH解得OH=2故选：A．【点评】本题主要考查了折叠变换的性质和正方形的性质解题关键是利用△LDG△LGE△BFG三个三角形的勾股定理联合求解．4.【答案】B

【解析】解：根据翻折可知∠ADE=∠EDF点A和点F关于DE对称

∴∠AHD=90°．

∵DG是∠CDF的平分线

∴∠FDG=∠CDG．

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ADC=∠DAE=∠ABC=90°AB=AD

∴∠HDG=45°

∴∠DGH=∠HDG=45°

∴DH=GH.故①正确

过点B作BP⊥AG交AG于点P

∵∠DAH+∠BAP=∠BAP+∠ABP=90∘

∴∠DAH=∠ABP

∵∠AHD=∠APB=90∘AB=AD

∴△ADH≌△BAP(AAS)

∴AH=BPDH=AP=HG

∴BP=GP

∴∠AGB=45∘故②正确

如图连接CG

由①可知∠DGH=45∘

∵DF=DA=CD∠FDG=∠CDGDG=DG

∴△DFG≌△DCG

∴∠FGD=∠CGD=45∘

∴∠CGF=90∘

即CG⊥AG故③正确

根据题意可知AD=2AE=1∠DHA=∠DHG=90°DH=GH

在Rt△ADE中∠DAE=90°

∴DE=AD2+AE2=22+12=5

∵S△ADE=12AD·AE=12DE·AH

∴AH=AD·AEDE=2×15=255

5.【答案】B

【解析】【分析】此题重点考查正方形的性质轴对称的性质全等三角形的判定与性质勾股定理根据面积等式求线段的长度等知识与方法正确地求出EG和EF的长度是解题的关键．

由翻折得CG=CEGF=EFCF垂直平分EG可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△CDG≌Rt△CBE得DG=BE=2则AG=2而AE=AB+BE=6即可根据勾股定理求得EG=210再由AG2+AF2=FG2且AF=6−EF得2【解答】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形

∴AB=AD=CD=CB=4∠D=∠A=∠ABC=90°

∵E是AB边延长线上一点

∴∠D=∠CBE=90∘

由翻折得CG=CEGF=EFCF垂直平分EG

在Rt△CDG和Rt△CBE中

CG=CECD=CB

∴Rt△CDG≌Rt△CBE(HL )

∴DG=BE=2

∴AG=AD−DG=4−2=2

∵AE=AB+BE=4+2=6

∴EG=AG2+AE2=22+62=210

∵AG6.【答案】A

【解析】连接OFOD.因为四边形ABCD是边长为2的正方形所以AB=BC=CD=AD=2∠BAD=∠ABC=∠C=90°.由折叠的性质得DF=CDEF=EC∠DFE=∠C=90°.所以AD=DF.又OA=OFOD=OD所以△AOD≌△FOD(SSS).所以∠BAD=∠OFD即∠OFD=90°.所以∠OFD+∠DFE=180°即OFE三点共线．因为AB为直径所以OB=OF=12AB=1.设CE=x则EF=xBE=BC−CE=2−x.又OE=OF+EF所以OE=1+x.在Rt△BOE中由勾股定理得OE2=OB2+B7.【答案】13【解析】【分析】

本题考查了正方形的性质圆周角定理垂径定理轴对称——最短路线问题圆内接四边形以及勾股定理考查的知识点较多有一定难度.首先根据题意画出图形得出点E在如图所示的圆O的AB上运动然后作点M关于BC的对称点N当点OEFN四点共线时EF+FM最小则最小为EN的长度再根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得出∠AOB=90°由此根据勾股定理可求出圆的半径OA的长度再利用垂径定理和勾股定理可求出OH的长度于是可得OM的长度最后在Rt△OMN中根据勾股定理可求出ON的长度从而可得EN的长度可得答案．

【解答】

解：∵点E是正方形ABCD内部一点且满足∠DAE+∠CBE=135∘

∴∠AEB=180°−(∠BAE+∠ABE)=180°−[(90°−∠DAE)+(90°−∠CBE)]=135°

如图过AEB三点作圆O连接OAOB

则点E在如图所示的圆O的AB上运动

作点M关于BC的对称点N如图所示当点OEFN四点共线时EF+FM最小最小为EN的长度

在圆O上任取一点G连接AGBG

则四边形AGBE为圆O内接四边形

∴∠G=180°−∠AEB=45°

根据圆周角定理可得：∠AOB=90°

∵AB=2

∴在Rt△AOB中根据勾股定理可得：OA=OB=2

∵M是正方形ABCD边CD的中点连接OM交AB于H点

∴OH⊥ABOM⊥CDAH=BH=1

在Rt△AOH中根据勾股定理可得：OH=OA2−AH2=1

则OM=OH+BC=1+2=3MN=MC+CN=1+1=2

∴在Rt△OMN中根据勾股定理可得：8.【答案】解：(1)∵抛物线顶点坐标为(2,−4)且与x轴交于原点

∴所求函数解析式为y=a(x−2)2−4过(0,0)

∴4a−4=0a=1

∴y=x2−4x

(2)连接AOAO的延长线与对称轴的交点为点B

当x=−2时y=12∴A点坐标为(−2,12)

设直线AO的解析式为y=kx且过(−2,12)∴k=−6∴y=−6x

当x=2时y=−12

则B点的坐标为(2,−12)

(3)P点的坐标为(2,8)M点的坐标为(2,0)

∵OM⊥PM∴OP为圆的直径OP=217圆的半径r=17

圆心G为OP的中点坐标为(1,4)

设Q点的坐标为(t,t2−4t)GQ=r=17

∴t−12+t2−4t−42=17

化简得t4−8t3+9t2+30t=0

当t=0时此时0点与G点重合;

当t不为0时t3【解析】本题考查二次函数的综合题涉及到一次函数圆周角定理勾股定理三角形三边关系高次方程的解法点的坐标的确定．

(1)根据顶点坐标为(2,−4)且与x轴交于原点O设所求函数解析式为y=a(x−2)2−4过(0,0)即可解答

(2)根据当点ABC三点共线时AB与CB的差最大即可解答

(3)先求出P点和M点的坐标由0M⊥PM根据圆周角定理得0P为圆的直径设Q点的坐标为(t,9.【答案】解：(1)当y=0时−34x−3=0解得x=−4则点A的坐标为(−4,0)

当x=0时y=−34x−3=−3则点C的坐标为(0,−3)

将A(−4,0)B(1,−154)代入y=ax2+c得16a+c=0a+c=−154

解得a=14c=−4

所以抛物线的解析式为y=14x2−4

(2)延长PD交x轴于E作PF⊥AB于F如图1

在Rt△AOC中∵OA=4OC=3

∴AC=32+42=5

设点P(m,14m2−4)(−4<m<1)则D(m,−34m−3)

∴PD=−34m−3−(14m2−4)=−14m2−34m+1

∵∠ADE=∠PDF∠DEA=∠PFD

∴∠DPF=∠EAD

又∠PFD=∠AOC=90°

∴Rt△PDF∽Rt△ACO

∴PFOA=PDAC即PF4=−14m2−34m+15

∴PF=−15m2−35m+45

=−15(m+32)2+54

当m=−32时PF有最大值最大值为54

即点P到直线AB的距离的最大值是54

(3)存在．

当以PQCD为顶点的四边形为菱形PCQD时PC=PD如图2

即m2+(14m2−4+3)2=(−14m2−34m+1)2【解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征会利用待定系数法求二次函数解析式理解坐标与图形性质记住两点间的距离公式灵活运用相似比表示线段之间的关系利用菱形的性质和分类讨论的思想解决(3)小题．

(1)利用坐标轴上点的坐标特征求出A点和C点坐标然后利用待定系数法求抛物线解析式

(2)延长PD交x轴于E作PF⊥AB于F如图1设点P(m,14m2−4)(−4<m<1)则D(m,−34m−3)则PD=−14m2−34m+1然后证明Rt△PDF∽Rt△ACO利用相似比得到PF=−15m2−35m+45然后利用二次函数的性质解决问题

(3)讨论：当以PQCD为顶点的四边形为菱形PCQD时PC=PD利用两点间的距离公式得到m2+(14m2−4+3)2=(−14m2−310.【答案】解：(1)将A(0,3)C(−3,0)代入y=12x2+bx+c得：

c=392−3b+c=0

解得b=52c=3

∴抛物线的解析式是y=12x2+52x+3

(2)将直线y=12x+3表达式与二次函数表达式联立方程组

得y=12x+3y=12x2+52x+3,

解得x1=0y1=3,x2=−4y2=1,

∴A点坐标为(0,3)B点坐标为(−4,1)

①当点BCM三点不共线时

|MB−MC|<BC

②当点BCM三点共线时

|MB−MC|=BC

∴当点BCM三点共线时|MB−MC|取最大值即为BC的长

过点B作垂直x轴于点E

∴BE=1CE=1

在Rt△BEC中由勾股定理得BC=BE2+CE2=2

∴|MB−MC|取最大值为2

(3)存在点P使得以APQ为顶点的三角形与△ABC相似

理由如下

设点P坐标为(x,12x2+52x+3)x>0

在Rt△BEC中∵BE=CE=1

∴∠BCE=45°

在Rt△ACO中∵AO=CO=3

∴∠ACO=45°由勾股定理得AC=32

∴∠ACB=180°−45°−45°=90°

过点P作PQ⊥PA交y轴于点P则∠APQ=90°过点P作PG⊥y轴于点G

∵∠PGA=∠QPA=90°∠PAG=∠QAP

∴△PGA∽△QPA

∵∠PGA=∠ACB=90°【解析】本题考查的是二次函数综合运用涉及到一次函数三角形相似勾股定理运用．

(1)将A(0,3)C(−3,0)代入y=12x2+bx+c即可求解

(2)分当点BCM三点不共线时当点BCM三点共线时两种情况求解即可

(3)分当PGAG=11.【答案】

解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x−4)(x−1)∵点C(0,−2)在抛物线上

∴−4×(−1)a=−2

∴a=−1∴抛物线的解析式为y=−1(2)如图

当点D在抛物线上且使△DCA的面积最大

必有平行于直线AC的直线DE且和抛物线只有一个交点

∵A(4,0)C(0,−2)

∴直线AC解析式为y=12设直线DE解析式为y=12x+b∵抛物线的解析式为y=−12x联立①②化简得x2−4x+4+2b=0

∴△=16−4(4+2b)=0

∴b=0

∴x2−4x+4=0

∴x=2

∴D(2,1);

(3)如图1

过点P作PM⊥OA

A(4,0)C(0,−2)

∴OA=4OC=2设点P(p,h)

∴AM=|4−p|.PM=|h|h=−12p∵∠APM=∠AOB=90°

∵以APM为顶点的三角形与△OAC相似

∴①PM∴|h||4−p|=2联立③④解得p=5h=2或p=−3∴P(−3,10)或(5,2)

②PM∴|h||4−p|联立③⑤解得p=2h=5或p=0∴P(2,5)或(0,−2)

综上得到点P(−3,10)或(5,2)或(2,5)或(0,−2)．

【解析】此题是二次函数综合题主要考查了待定系数法极值的确定相似三角形的性质解本题的关键是求出点D的坐标分类讨论是解本题的难点．(1)用待定系数法求出抛物线解析式

(2)先判断出点D在平行于AC并且和抛物线只有一个交点从而确定出点D的坐标

(3)以APM为顶点的三角形与△OAC相似分两种情况讨论计算即可．12.【答案】解：(1)由抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1,0)及C(2,3)

得−1−b+c=0,−4+2b+c=3,

解得b=2c=3,

故抛物线的表达式为y=−x2+2x+3．

设直线AC的表达式为y=kx+n(k≠0)

由直线AC过点A(−1,0)及C(2,3)

得−k+n=0,2k+n=3,

解得k=1n=1,

故直线AC的表达式为y=x+1

(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4

∴D(1,4)．

当x=1时y=x+1=2

∴B(1,2)．

∵点E在直线AC上

设E(x,x+1)．

①当点E在线段AC上时点F在点E上方则F(x,x+3)．

∵点F在抛物线上

∴x+3=−x2+2x+3

解得x=0或x=1(点E与点B重合舍去)

∴E(0,1)．

②当点E在线段AC(或CA)延长线上时点F在点E下方则F(x,x−1)．

∵F在抛物线上

∴x−1=−x2+2x+3

解得x=1−172或x=1+172

∴E(1−172,3−172)或1+172,3+172．

综上满足条件的点E的坐标为(0,1)或1−【解析】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式平行四边形的判定和性质三角形的面积二次函数的应用和最值二次函数的图象和性质二次函数图象上点的坐标特征待定系数法求一次函数的解析式运用了分类讨论思想．

(1)利用待定系数法求函数解析式即可

(2)将二次函数解析式进行配方得到点D的坐标令x=1得到点B的坐标根据点E在直线AC上设E(x,x+1).分①当点E在线段AC上时点F在点E上方则F(x,x+3).②当点E在线段AC(或CA)延长线上时点F在点E下方则F(x,x−1).两种情况讨论求解即可

(3)如图过点P作PH⊥x轴交AC于点Q交x轴于点H过点C作CG⊥x轴于点G.设Q(x,x+1)则P(x,−x2+2x+3)13.【答案】解：(1)把B(3,0)C(0,−3)代入y=a(x−2)2+c

得：a+c=04a+c=−3解得：a=−1c=1

∴此抛物线的解析式为y=−(x−2)2+1即y=−x2+4x−3

(2)①∵抛物线y=−x2+4x−3的对称轴为直线x=2

∴可设点P(2,h)．

由三角形的三边关系可知|PA−PC|<AC

∴当PAC三点共线时|PA−PC|的值最大为AC的长度

∴延长CA交直线x=2于点P则点P为所求如图1．

∵点B的坐标为(3,0)对称轴为直线x=2

∴A(1,0)

又C(0,−3)

则有OA=1OC=3

∴AC=OA2+OC2=10．

设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)

则k+b=0b=−3解得k=3b=−3．

∴直线AC的解析式为y=3x−3

∴h=3×2−3=3

∴当h=3时|PA−PC|的值最大最大值为10

②如图2设直线x=2与x轴的交点为点D作△ABC的外接圆⊙E⊙E与直线x=2位于x轴下方部分的交点为P1P1关于x轴的对称点为P2则P1P2均为所求的点．

∵∠AP1B∠ACB都是弧AB所对的圆周角

∴∠AP1B=∠ACB且直线DE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB．

∵圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上．

∴点E的横坐标为2．

又∵OB=OC=3BC边的垂直平分线即直线y=−x．

∴圆心E也在直线y=−x上【解析】本题是二次函数综合题其中涉及到利用待定系数法求二次函数一次函数的解析式三角形三边关系勾股定理三角形的外接圆圆周角定理等知识综合性较强有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．

(1)把B(3,0)C(0,−3)代入y=a(x−2)2+c得到关于ac的二元一次方程组解方程组求出ac的值即可得到该抛物线的解析式

(2)①设点P(2,h).根据三角形三边关系定理可知当PAC三点共线时|PA−PC|的值最大为AC的长度．所以延长CA交直线x=2于点P利用勾股定理求得AC=OA2+OC2=10.利用待定系数法求出直线AC的解析式将x=2代入即可求出h的值

②设直线x=2与x轴的交点为点D作△ABC的外接圆⊙E⊙E与直线x=2位于x轴下方部分的交点为P1P1关于x轴的对称点为P2根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知P1P2均为所求的点且直线DE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB.根据圆心E在AB边的垂直平分线上14.【答案】解：(1)∵抛物线

y=ax2−x+c过A(0,−4)B(4,0)代入得：

c=−416a−4+c=0

解得：a=12c=−4

∴该抛物线的函数表达式为y=12x2−x−4

(2)①设P(t,12t2−t−4)设PD交AB于点E如图

则PD=−12t2+t+4,BD=4−t

∴OA=OB=4∠AOB=90°

∴△AOB是等腰直角三角形

∴∠ABO=45°

∵PC/​/x轴PD/​/y轴

∴∠CPE=∠BDE=90°∠BED=∠PEC=45°

∴△BDE△CPE均为等腰直角三角形

∴DE=BD=4−t

∴PC=PE=PD−DE=−12t2+t

+4−(4−t)=−12t2+2t

∴PC+PD=−12t2+2t+(−12t2+t+4)=−t2+3t+4=−(t−32)2+254

∵−1<0

∴当t=32时PC+PD取得最大值254此时点P的坐标为(32,−358)

②存在点P使得线段PC把△PAB的面积分成3：5两部分．理由如下：

如图2延长PC交y轴于点F连接PB设P(t,12t2−t−