8.2立体图形的直观图（教案）

第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图一、教学目标1.了解“斜二测画法”的概念以及掌握斜二测画法的步骤；2.会用斜二测画法画出一些平面图形和空间图形；3.通过对立体图形的直观图的学习，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象等数学素养.二、教学重难点1.用斜二测画法作图．2.由直观图还原成原来的图形．三、教学过程：（1）创设情景在桌面上放一个正方形，我们从某一点看这个正方形；这个正方形是什么样子？你能画它的直观图吗？新知探究问题1:从某一点看远处桌面上放的一个正方形会是生么样子?生答:平行四边形问题2:大家能画它的直观图吗？(提出本节课所学内容)新知建构斜二测画法的定义:利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。斜二测画法的步骤：①在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°．②画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们交于O′，并使=45°（或135°），=90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平平面．③已知图形中平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原有长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．（4）数学运用例1.如图所示,中,,边AC上的高,求其水平放置的直观图的面积.【答案】解:画轴与轴,两轴交于,使,作的直观图如图所示,则,,故的高为,所以.即水平放置的直观图的面积为.变式训练1:如图，四边形是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.【答案】图像见解析，解:画出平面直角坐标系，使点与原点重合，在轴上取点，使，再在轴上取点，使，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，则四边形为正方形的原图形，如图所示.易知四边形为平行四边形.∵，，∴，即原图形的面积为.小结:水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：画轴取轴——取点——连线成图口诀：横不变纵减半，平行性不变变式训练2:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是()A.相等的线段在直观图中仍然相等。B.平行的线段在直观图中仍然平行。C.一个角的直观图仍然是一个角。D.相等的角在直观图中仍然相等。【答案】BC例2.画棱长为2cm的正方体的直观图．画法：第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD=45°，AB=2cm，AD=1cm．第二步：过A作z′轴，使∠BAz′=90°；分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴和这组平行线上分别截取AA′=BB′=CC′=DD′=2cm．第三步：连结，得到的图形就是所求的正方体直观图．其绘图过程，如下图所示：变式训练:已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.【答案】答案见解析【解析】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，.（2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，则四边形就是该棱柱的底面.（3）画侧棱.过点，，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示.（4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.小结:空间几何体直观图斜二测画法步骤：画轴——画底面——画侧棱——连线成图口诀：横竖不变纵减半，平行性不变例3:如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',其中A'D'∥y'轴,则AB=__________;△AOB的周长是.

【答案】解:根据直观图画出原图如下图所示.根据原图与直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB==,所以△AOB的周长是4+×2=.故答案为：变式训练:若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为_______________【答案】【解析】根据图像可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，作，则，由，得，，，，且，，所以，原四边形的面积为.故答案为：四、小结：1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式A级必备知识基础练1.[探究点三]如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,则△ABC是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形(第1题图)2.[探究点三]如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()(第2题图)A.AB B.AD C.BC D.AC3.[探究点三]用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底长是下底长的13.若原平面图形OABC的面积为32,则O'A'的长为(A.2 B.2 C.3 D.34.[探究点三]已知一个水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是.

5.[探究点一]按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.6.[探究点二]用斜二测画法画出棱长为2cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.B级关键能力提升练7.(多选题)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=32,那么原△ABC是一个(A.等边三角形 B.直角三角形C.三边互不相等的三角形 D.面积为3的三角形8.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O'B'=4,A'B'∥y轴,且△ABO的面积为16,过A'作A'C'⊥x'轴交于点C',则A'C'的长为()A.22 B.2 C.162 D.19.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是()A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形10.(多选题)如图所示是用斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图,点D'为B'C'的中点,且A'D'平行于y'轴,B'C'平行于x'轴,那么在原图形中△ABC满足()A.AB与AC相等B.AD的长度大于AC的长度C.AB的长度大于AD的长度D.BC的长度大于AD的长度11.水平放置△ABC的直观图如图所示,A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为.

12.若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形(如图),则原图的周长为.

13.在如图所示的用斜二测画法画的直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2cm,则在平面直角坐标系中原四边形OABC为(填具体形状),其面积为cm2.

14.如图,梯形O'A'B'C'是用斜二测画法画的梯形OABC的直观图,该直观图的面积为S,求梯形OABC的面积S'.C级学科素养创新练15.画出一个上、下底面边长分别为1cm,2cm,高为2cm的正三棱台的直观图.参考答案1.B∵A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.又AC=2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.2.D△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,则AC>AB,AC>AD,AC>BC,故AC是最长的线段.3.D设O'A'=x,则O'B'=2x,在原图形中OB=2O'B'=22x,BC=B'C'=x3,OA=O'A'=x,OB为原图形中梯形的高,故原平面图形OABC的面积S=12×x+13x×22x=32,解得x=34.16或64若O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.5.画法(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,在y'轴上取O'E'=12OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上沿y轴正方向取G'A'=12GA,H'D'=(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).6.画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.①(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.②(3)画侧棱.过A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).7.AD由题中图形知,在原△ABC中,AO⊥BC.∵A'O'=32,∴AO=3∵B'O'=C'O'=1,∴BC=2,AB=AC=2,∴△ABC为等边三角形.∴△ABC的面积为12×2×38.A因为A'B'∥y轴,所以在△ABO中,AB⊥OB,又三角形的面积为16,所以12AB·OB=16.所以AB=8,所以A'B'=4.所以A'C'的长为4·sin45°=229.C设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=22.在原图形中,OD=42,CD=2,且OD⊥CD.∴OC=(42)2+2210.AC由直观图易知A'D'平行于y'轴,根据斜二测画法规则,在△ABC中,点D'对应的点D为边BC的中点,有AD⊥BC,又AD为BC边上的中线,所以△ABC为等腰三角形,则AB与AC相等,且长度都大于AD的长度,但BC与AD的长度大小不确定,故选AC.11.52在直观图中,A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠C为直角∴AB=AC2∴AB边上的中线的长度为12AB=512.16由题意,平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形,所以原图形是一个平行四边形,斜二测画法中平行于x'轴的边在原图中长度为2,斜二测画法中与x'轴垂直的边在原图中的长度为22+则原图形的周长为2+2+6+6=16.13.矩形8由斜二测画法的规则可知,在四边形OABC中,OA⊥OC,OA=O'A'=2cm,OC=2O'C'=4cm,所以四边形OABC是矩形,其面积为2×4=8(cm2).14.解设O'C'=h,则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C'B'=CB,O'A'=OA.过C'作C'D'⊥O'A'于点D',则C'D'=22由题意知12C'D'·(C'B'+O'A')=S,即24h·(C'B'+O'A')=S.原直角梯形面积为S'=12·2h·(CB+OA)=h·(C'B'+O'A')=4S2即梯形OABC的面积为22S.15.画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴相