7.2.2 复数的乘、除运算及其几何意义（教案）

第七章复数7.2.2复数的乘、除运算及其几何意义一、教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;会求在复数范围内方程的根.4.通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.复数代数形式的乘法和除法运算;2.求复数范围内的方程根．三、教学过程：1、创设情境：上一节课我们学习了复数的加、减运算及其几何意义，本节课我们类比上一节课的学习猜想复数的乘法和除法运算及其几何意义。首先请同学们阅读课本77-79页，思考复数代数形式的乘法运算法则是什么?问题1:复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律分别是什么?(小组合作,学生板演填空)(1)已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝_________结合律(z1·z2)·z3＝_________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝_________生答:(1)(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)z1·z2＝z2·z1(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3问题2:思考复数代数形式的除法运算法则是什么?困惑在哪里?老师点拨:是否可以借助共轭复数解决问题？(3)复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝___________生答:eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)2、建构数学 复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)3、数学应用例1.计算:（1）(2－3i)(2＋3i)；(2)；解:(1)(2－3i)(2＋3i)=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.（2）变式训练1.已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.【答案】2.【解析】，令得.例2.计算：；解:=0变式训练1..解:例3.在复数范围内解下列方程：（1）；（2），其中，且．解:（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得，．所以原方程的根为．变式训练1.在复数范围内解方程（为虚数单位）解:设，则，解得：例4.已知是复数,与均为实数(为虚数单位),且复数在复平面上对应点在第一象限.(1)求的值;(2)求实数的取值范围.解:(1)设,又,且为实数,∴,解得.∴,∵为实数,∴,解得.∴(2)∵复数,∴,解得.即实数的取值范围是.四、小结：1.复数的乘法运算2.复数乘法的运算律A级必备知识基础练1.[探究点二]若复数z=1-i1+i(i为虚数单位),则z2022= A.-1 B.1 C.i D.-i2.[探究点一]下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)3.[探究点一]若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i4.[探究点一]已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1z2是实数,则实数a等于(A.34 B.43 C.-43 5.[探究点一]设z=1-i1+i+2i,则|z|=A.0 B.12 C.1 D.6.[探究点一]已知复数z满足1-iz-2=1+A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7.[探究点三]方程x2+2x+2=0在复数范围内的解为x=.

8.[探究点一]已知复数z=1-ii(i是虚数单位),则z2=;9.[探究点一]计算:(1)-12+32i(2-i)(3(2)(2(3)(1+i10.[探究点一]已知复数z=(a+i)(1+bi)(a,b∈R)是纯虚数,且|z|=10.(1)求a,b的值;(2)若a,b∈(0,+∞),ω=b+i2+13aiB级关键能力提升练11.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是()A.若|z1-z2|=0,则zB.若z1=z2,则z1C.若|z1|=|z2|,则z1z1=z2D.若|z1|=|z2|,则z12.若复数z=21+i,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(A.z的虚部为-iB.|z|=2C.z的共轭复数为-1-iD.z2为纯虚数13.若复数z=a+2i2-i为纯虚数(a∈R,i为虚数单位),则复数z+1A.2i B.2 C.3i D.314.(多选题)已知z1与z2是共轭复数,以下四个命题正确的是()A.z1z2=|z1z2| B.z12<|z2C.z1+z2∈R D.z1z15.若复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点在直线y=x上,则实数a=.

16.复数z=-21+3i,则1+z+z217.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.

18.已知z是虚数,z+2z是实数,z是虚数z的共轭复数,则(z-z)2+z+2z的最小值是19.已知复数z=(1+i)2+3(1-i)2+i,若z2+az+b=1+20.在复平面内,O是坐标原点,向量OZ1,OZ2对应的复数分别为z1=1-2i,z2=3+a(1)求|z1+z2|的最小值;(2)若OZ1⊥(3)若复数z2z1对应的点在第一象限,求实数21.已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的根.(1)求p+q的值;(2)复数w满足zw是实数,且|w|=25,求复数w的值.C级学科素养创新练22.定义运算acbd=ad-bc.若复数x=1-i1+i,y=4i2xixi0,则|x|=,y=.

23.设z是虚数,ω=z+1z是实数,且-1<ω<2(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=1-z1+z,参考答案1.A因为z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,所以2.C由(1+i)2=2i为纯虚数知选C.其余选项均不符合题意.3.Dz=2i1+i=2i(1-i)4.Az1z2=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为z1z2是实数,所以4a-3=0,5.Cz=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1-6.D∵1-iz-∴z-2=1-i∴z=2-i,∴z的对应点为(2,-1).故选D.7.-1±i由求根公式可得,x=-2±228.2i2z=1-ii=∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=2.9.解(1)-12+32i(2-i)(3+i)=-12(2)(2+2i)(3)原式=(=2i=4i=1.10.解(1)z=(a+i)(1+bi)=(a-b)+(ab+1)i,因为z是纯虚数,且|z|=10,所以a-b=0,ab+1≠0,|ab+1|=10,所以a=b=3,或a=b=-3.(2)由(1)及a,b∈(0,+∞),知a=b=3,所以ω=3+i2+i所以|ω|=(711.ABCA,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒z1=zB,z1=z2⇒z1=zC,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1z1=z2z2,D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然z12=1,z22=-1,即12.Dz=21+i=2(1-i)(1+i|z|=1+1=2,Bz=1+i,C错误;z2=(1-i)2=-2i,为纯虚数,D正确.13.B∵a+2i2∴2a-25=0且4+a5≠0,∴z+1+i=1+2i,其虚部为2.故选B.14.AC设z1=a+bi,z2=a-bi,a,b∈R,因为z1z2=a2+b2,|z1z2|=a2+b2,所以z1z2=|z1z2|,所以选项A正确;因为z12=a2-b2+2abi,|z2|2=(a2所以z12与|z2|2不能比较大小,所以选项B因为z1+z2=2a∈R,所以选项C正确;z1z2=a+bia所以选项D不正确.故选AC.15.3∵(1+ai)(2-i)=2-i+2ai+a=(a+2)+(2a-1)i,∴复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点的坐标为(a+2,2a-1),则2a-1=a+2,即a=3.16.0z=-21+3i=-∴1+z+z2=1-12+32i+-12+32i2=1-12+3217.52由已知(a+bi)2=3+4i,即a2-b2+2abi=3+4i,从而有a解得a=2,b=1或a=-2,18.-334设z=a+bi(a,b∈R,且b则z+2z=a+bi+2a+bi=a+2a因为z+2z是实数,所以b-2b因为b≠0,所以1-2a2所以a2+b2=2,则z+2z=2因为z=a+bi,所以z=a-bi,所以(z-z)2=(-2bi)2=-4b2,所以(z-z)2+z+2z=-4b2+2a因为a2+b2=2,所以b2=2-a2,因为b2≥0,所以2-a2≥0,所以-2<a<2,则(z-z)2+z+2z=-4b2+2a=4a2+2a-8=2a+122-334≥-334,当a=-14时19.解z=(1+i)2+3又z2+az+b=1+i,∴(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,∴(a+b)+(-2-a)i=1+i,∴a+b=1.20.解(1)∵z1=1-2i,z2=3+ai,∴z1+z2=1-2i+3+ai=4+(a-2)i,∴|z1+z2|=16+(a-2)2≥4,当故|z1+z2|的最小值为4.(2)由题设知OZ1=(1,-2),OZ2=∵OZ∴OZ1·OZ2=3-2(3)z2z1=3+ai1-所以实数a的取值范围是-6,32.21.解(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根是互为共轭复数的,所以它的另一根是2-i,根据根与系数的关系可得p=-4,q=5,p+q=1.(2)设w=a+bi(a,b∈R).由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0.又|w|=25,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i.22.1-2因为x=1-i1+i=(所以y=4i