8.4.1平面教学教案

第八章立体几何初步8.4.1平面一、教学目标1.理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法;2.能运用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;3.能运用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解它们的地位与作用;4.通过对平面的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.二、教学重难点1.运用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;2.三个基本事实的掌握与运用.三、教学过程：（1）创设情景阅读课本,观察课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体,你能理解几何里所说的“平面”吗?(提出本节课所学内容)新知探究问题1:用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光能检查桌面是否平整，为什么？(学生回答，教师点拨,揭示出基本事实1)问题2:把直尺边缘上的任意两点放到桌面上，则直尺的整个边缘都能落在桌面上吗？为什么？(学生回答，教师点拨,揭示出基本事实2)问题3:将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在的平面与桌面所在的平面仅有一个公共点吗？为什么？(学生回答，教师点拨,揭示出基本事实3)新知建构平面的概念:光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45º,且横边长等于其邻边长的2倍如图(1).注意:如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图(2).平面的表示：常用希腊字母表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面，平面AC等．点与直线、平面的位置关系:文字语言图形语言符号语言点A在直线上，点A在直线外点A在平面内和点A在平面外直线在平面外直线在平面内平面的基本事实:文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α,使A,B,C∈α基本事实2如果一条直线上的有两个点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有1个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。作用：确定一个平面（4）数学运用例1.用符号语言表示下列语句，并画出图形.（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；（2）直线l在平面α内，直线m不在平面α内.【答案】（1），图形见解析（2），，图形见解析【解析】（1），图形如图：（2），，图形如图：或变式训练1:用符号表示“点在直线上，在平面内”，正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由定义：点A在直线l上，表示为，在平面内，表示为.故选：D变式训练2:(多选)下列叙述中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则重合D．若，则【答案】AD【解析】对于选项A：直线上有两点在平面内，则直线在平面内；故A正确；对于选项B：若，则不一定是两个面的公共点.故B错误；对于选项C：若，当三点共线时，则不一定重合.故C错误；对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，故D正确.故选：AD.例2.如图，已知求证：。【解析】∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β.∴直线a⊂β，点P∈β.∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α.变式训练:如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（）直线B．直线C．直线D．以上均不正确【答案】C【解析】，平面平面，，.又三点确定的平面为，.又是平面和的公共点，.故选：C例3:如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.求证：（1）四点共面；（2）三线共点.【解析】（1）连接.∵分别是和的中点，∴.又，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴与确定一个平面，∴四点共面．（2）由（1）知，，且，∴直线与必相交，设.∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面与平面的公共点，又平面平面，∴，∴三线共点．变式训练:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.【答案】证明见解析.【解析】(1)连接B1D1,∵E,F分别为D1C1,C1B1的中点,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,易知B1D1∥BD,∴EF∥BD,∴EF,BD可确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设A1A、CC1确定的平面为α,平面BDEF为β.∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又Q∈EF,∴Q∈β,∴点Q在平面α与β的交线上,同理P∈α,P∈β,∴点P在平面α与β的交线上,∴α∩β=PQ.又A1C∩β=R,∴R∈β,R∈A1C,∴R∈α,∴R∈PQ,故P,Q,R三点共线.四、小结：平面的概念:平面的画法：平面的表示：点与直线、平面的位置关系:文字语言图形语言符号语言点A在直线上，点A在直线外点A在平面内和点A在平面外直线在平面外直线在平面内平面的基本事实:文字语言图形语言符号语言基本事实1基本事实2基本事实3推论1:推论2:推论3:作用：A级必备知识基础练1.[探究点一·2023山东烟台期末]下列几何元素可以确定唯一平面的是()A.三个点B.圆心和圆上两点C.梯形的两条边D.一个点和一条直线2.[探究点二]空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线3.[探究点一]已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是()A.l⊂αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B4.[探究点一]已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合5.[探究点二]平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=()A.直线AC B.直线BCC.直线CR D.以上都不对6.[探究点一](多选题)下列说法错误的是()A.不共面的四点中,任意三点不共线B.三条两两相交的直线在同一平面内C.有三个不同公共点的两个平面重合D.依次首尾相接的四条线段不一定共面7.[探究点一]三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定个平面.

8.[探究点二]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.9.[探究点二]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线.B级关键能力提升练10.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则()A.点M一定在直线AC上B.点M一定在直线BD上C.点M可能在直线AC上,也可能在直线BD上D.点M不在直线AC上,也不在直线BD上11.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有()A.1条或2条 B.2条或3条C.1条或3条 D.1条或2条或3条12.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1四点共面C.A,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面13.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α:;

(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:;

(3)a⊄α,a∩α=A:;

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:.

14.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填入)

15.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且BGGC=DHHC=2.求证:直线EG,FH16.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示,求证:P,Q,R三点共线.C级学科素养创新练17.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.(1)画出直线l;(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.参考答案1.C根据题意,依次分析选项:对A,三个不共线的点才能确定唯一平面,A错误;对B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,B错误;对C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面,所以确定的平面唯一,C正确;对D,当点在直线上时,这个点和直线不能确定唯一平面,D错误.故选C.2.B如图1和图2所示,A,C,D均不正确,只有B正确.图1图23.A由基本事实2或画图可知:l⊂α.4.C两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.5.C根据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.6.BC由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误.7.3当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.8.证明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.9.证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点.∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于点R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.10.A由题意得EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,又EF∩HG=M,故M∈平面ABC,且M∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M一定在直线AC上.11.D当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.12.ABC因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.13.(1)③(2)④(3)①(4)②根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,(1)A∉α,a⊂α:对应③;(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:对应④;(3)a⊄α,a∩α=A:对应①;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:对应②.14.必要不充分空间中的三条直线l,m,n不过同一个点,当l,m,n共面时,l,m,n不一定两两相交,也可能两两平行,所以充分性不成立;当三