8.6.2直线与平面垂直（提升练）原卷版

第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α.A.4 B.2 C.3 D.12．如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（）A．平面 B．平面 C． D．3．在直三棱柱中，.以下能使的是（）A． B． C． D．4．如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD),若M、O分别为线段A1C、DE的中点,则在△ADE翻折过程中,下列说法错误的有()A.与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B.异面直线BM与A1E所成的角是定值C.一定存在某个位置,使DE⊥MOD.三棱锥A1-ADE外接球的半径与AD的比为定值5.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面CDD1C1及边界上运动,并保持BP⊥A1C,若正方体的棱长为1,则PC的取值范围是()A. B.C.D.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是()A．BC1//平面AQPB．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C．A1D⊥平面AQPD．异面直线QP与A1C1所成的角为60°7．在正四棱锥S-ABCD中,E、M、N分别是BC、CD、SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论,不一定成立的为()EP⊥ACB.EP∥BDC.EP∥平面SBDD.EP⊥平面SAC.8.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（）A．B．平面C．A到直线MN的距离为D．过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如图，在四面体中，平面，，若，则_____________10．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC､CC1的中点，是侧面BCC1B1内一点(含边界)，若A1P平面AEF，点P的轨迹长度为___________.直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是___________.11．在棱长为的正四面体中，点，分别为直线，上的动点，点为中点，为正四面体中心（满足），若，则长度为_____________四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在四棱锥中，平面ABCD，，，，.（1）求证：平面PAD；（2）若E是PC的中点，求直线BE与平面PAD所成角的正切值.13．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.14．如图所示，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，．（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积．A级必备知识基础练1.[探究点二]若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交2.[探究点一、二·2023江苏淮安清江浦期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为AC,A1B的中点,下列说法中不正确的是()A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.MN与CC1所成角为45°D.MN⊥平面ACD13.[探究点三]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°4.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是.(填“平行”或“垂直”)

5.[探究点三]如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.

6.[探究点二]在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

7.[探究点三、四·2023江西九江德安期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AP=AD=2,∠ABC=60°.点E,F分别在棱PA,PB上,且EF∥AB.(1)求证:EF∥CD;(2)若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,求点P到平面CEF的距离8.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.9.[探究点一、三]如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.B级关键能力提升练10.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 ()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°11.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是()A.EF与AD所成角的正切值为3B.EF与AD所成角的正切值为2C.AB与面ACD所成角的余弦值为7D.AB与面ACD所成角的余弦值为712.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()A.27 B.7C.19 D.513.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则()A.在折起的过程中始终有AD⊥平面BDC'B.三棱锥A-DC'C的体积的最大值为3C.当∠C'DC=60°时,点A到C'C的距离为15D.当∠C'DC=90°时,点C到平面ADC'的距离为114.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是22;④AD1与BD为异面直线其中正确结论的序号是.

15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.(1)求证:AE⊥BC;(2)求点A1到平面ABE的距离.16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)AB⊥MN.C级学科素养创新练17.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是.

①FM与BC1所成角为45°;②BM⊥平面CC1F;③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱锥B-CFE的体积为定值.18.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥平面PAB;(3)设AB=2BC=2,求三棱锥P-AEF的体积.参考答案1.C取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.2.D对于A,如图,连接BD,AD1,A1D.在正方形ABCD中,∵M为AC的中点,∴AC∩BD=M,即M也为BD的中点.在△A1BD中,∵M,N分别为BD,A1B的中点,∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;对于B,∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又MN∥A1D,∴AB⊥MN,故B正确;对于C,∵MN∥A1D,CC1∥D1D,∴MN与CC1所成角为∠A1DD1=45°,故C正确;对于D,连接B1C,B1D1,D1C,AD1,CD1.∵B1C=CD1=B1D1,∴∠B1CD1=60°.∵B1C∥A1D,∴A1D与CD1不垂直,即MN与CD1不垂直,则MN不垂直于平面ACD1,故D错误.故选D.3.C如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=2,PA=6,∴tan∠PCA=PAAC=62=4.垂直∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.5.1510如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=32在Rt△BB'C'中,BC'=B'B2+B'C'6.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.7.(1)证明因为底面ABCD为菱形,所以CD∥AB,又因为EF∥AB,所以EF∥CD.(2)解因为EF∥CD,所以C,D,E,F四点共面.设点P到平面CEF的距离为h.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.因为PA=AD=2,所以PD=PA2+A因为直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,所以h=PD·68.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.又因为BP=AP2+ABF是PC的中点,所以BF⊥PC.又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.9.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=32,AC1=2,sin∠AC1D=AD即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为6410.ABC由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.11.BC设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=32由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,又因为AH,HD⊂平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.因为AD⊂平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,所以tan∠EFG=EGFG=132=2过点B作BO垂直AF,垂足为O.因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF⊂平面ABF,所以CD⊥平面ABF.因为BO⊂平面ABF,所以CD⊥BO.因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.由题得BF=3,AF=22,AB=3,所以cos∠BAO=9+8-32×3×22=141212.A如图所示,连接CM.因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知BC=43,故CM的最小值为23,又PC=4,则PM的最小值为42+(213.ABCD因为AD⊥BD,AD⊥DC',且BD∩DC'=D,BD,DC'⊂平面BDC',所以AD⊥平面BDC',故A正确;当DC'⊥DC时,△DC'C的面积最大,此时三棱锥A-DC'C的体积也最大,最大值为13×32×当∠C'DC=60°时,△DC'C是等边三角形.设C'C的中点为E,连接AE,DE,因为AC=AC',所以AE⊥C'C,即AE的长度为点A到C'C的距离,AE=(32)

2当∠C'DC=90°时,CD⊥DC',CD⊥AD,故CD⊥平面ADC',则CD的长度就是点C到平面ADC'的距离,则CD=12,故D正确14.②③④①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=C1CAC=2④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.15.(1)证明因为AC=BC=2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为AE⊂平面ACC1A1,所以AE⊥BC.(2)解设点A1到平面ABE的距离为h,取AB中点O,连接EO,在△ABE中,AE=BE=3,AB=2,则EO⊥AB,所以EO=AE所以△ABE的面积为12×2×2因为VA所以13×S△ABE×h=13×所以13×2×h=13×12所以点A1到平面ABE的距离为2.16.证明(1)取PD的中点Q,连接AQ,NQ.∵N是PC的中点,∴NQ=12CD,NQ∥∵M是AB的中点,∴AM=12AB=1又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.∴四边形AQNM是平行四边形,∴MN∥AQ.∵MN⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AQ⊂平面PAD,∴AB⊥AQ.又∵AQ∥MN,∴AB⊥MN.17.②④连接A1B,BC1,图略.对于①,∵F,M分别为AD,CD的中点,∴FM∥AC,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,∴异面直线FM与BC1所成的角为∠A1C1B,在△A1C1B中,A1C1=A1B=BC1,所以△A1C1B为等