10.2事件的相互独立性（提升练）解析版

第十章概率10.2事件的相互独立性(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】用事件A,B,C分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则,,,且.∴此密码能被译出的概率为.故选：C2．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（）A．如果，那么，B．如果与互斥，那么，0.3C．如果与相互独立，那么，D．如果与相互独立，那么，【答案】D【解析】对于选项A，如果，那么，，故A错误；对于选项B，如果与互斥，那么，，故B错误；对于选项C，如果与相互独立，那么，，故C错误；对于选项D，如果与相互独立，那么，，故D正确.故选：D.3．排球比赛的规则是5局3胜制局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：根据题意，前2局中乙队以领先，则最后乙队获胜，有3种情况，第三局乙队获胜，其概率为，第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，其概率为，第三、四局甲队获胜，第五局乙队获胜，其概率为，则最后乙队获胜的概率；故选:B4．甲､乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲､乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（）A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.48【答案】B【解析】目标至少被命中一次，包括甲中乙中，甲中乙不中，乙中甲不中三种情况，所以目标至少被命中一次的概率为，目标至少被命中一次甲命中目标包括甲中乙中，甲中乙不中二种情况，所以目标至少被命中一次甲命中目标的概率为，所以甲命中目标概率为，故选:B．5.如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡亮的概率为，故选:C．二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列各对事件中,为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”【答案】ABD【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M与N相互独立，故A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，故B正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，故D正确.故选：ABD.7．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（）A． B．事件B与事件相互独立 C．事件B与事件相互独立 D．，互斥【答案】AD【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此，，，A正确；又，因此，B错误；同理，C错误；，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．8．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（）A．M与N互斥 B．M与N不对立C．M与N相互独立 D．【答案】BCD【解析】对于选项A,事件与是可能同时发生的，故与不互斥，故A错误；对于选项B,事件与不互斥，不是对立事件，故B正确；对于选项C,事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立.故C正确；对于选项D：事件发生概率为，事件发生的概率，，故D正确.故选：BCD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为___________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为___________．【答案】【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．故答案为:；．10．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为___________．【答案】【解析】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时；所以恰好进行了4局结束比赛的概率为．故答案为:．11．某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.6，乙研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为___________．【答案】0.88【解析】设事件为“这个技术难题最终能被解决”，所以，所以，故答案为:0.88．四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.【解析】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，由于两个人投篮的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立，由己知可得，，则，；（Ⅰ）“两人都投中”，则；（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，则；（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，所以.13．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）.【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，.“乙赢得比赛”，.因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，则；.于是“两人中至少有一人赢得比赛”.14．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.【解析】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得.（2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人，因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.（3）由频率分布直方图可得，，估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，所以市民心理健康指数平均值为，所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.A级必备知识基础练1.[探究点二]如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49 B.29 C.232.[探究点三]社区开展“军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和2A.35 B.215 C.13153.[探究点二]甲、乙两人练习射击,甲击中目标的概率为0.9,乙击中目标的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则他们都击中的概率是()A.0.3 B.0.63 C.0.7 D.0.94.[探究点一·2023重庆开州月考]不透明的袋子里有4个大小、质地完全相同的球,其中有2个红球、2个白球.从中不放回地依次随机摸出2个球,事件A=“两个球颜色相同”,事件B=“两个球颜色不同”,事件C=“第二次摸到红球”,事件D=“两个球都是红球”,下列说法错误的是()A.P(A∪B)=1 B.B与C相互独立C.D⊆C D.P(B)=P(A)+P(D)5.[探究点三]台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是.

6.[探究点三]有一道数学难题,在半小时内,甲能独立解决的概率是12,乙能独立解决的概率是13,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未能解决的概率为,问题得到解决的概率为7.[探究点三]甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为25,(1)求三人都被选中的概率;(2)求只有两人被选中的概率.B级关键能力提升练8.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为15,身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(A.1320 B.15 C.149.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(A.29 B.118 C.1310.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(A.2个球都是红球的概率为1B.2个球中恰有1个红球的概率为1C.至少有1个红球的概率为2D.2个球不都是红球的概率为111.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为15,C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为1D.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为p+q-2pq12.一个系统如图所示,A,B,C,D,E,F为6个部件,其正常工作的概率都是12,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是(A.5564 B.1C.18 D.13.事件A,B,C相互独立,若P(AB)=16,P(BC)=18,P(ABC)=18,则P(B)=,P(AB)14.田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》,话说齐王、田忌分别有上、中、下等马各一匹,赛马规则是:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局,最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,A3和B1,B2,B3,每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用PAiBj(i,j∈{1,2,3})表示马匹Ai与Bj比赛时齐王获胜的概率,若PA1B1=0.8,PA1B2=0.9,PA1B3=0.95,PA2B1=0.1,PA2B2=0.6,PA15.甲、乙2人进行定点投篮游戏,在1次投篮中投进的概率分别为0.7,0.6,且各次投篮是否投进相互独立,各人投篮是否投进相互独立,每人各投篮1次为“一轮游戏”.(1)在一轮游戏中,求2人共投进1球的概率;(2)在两轮游戏中,求2人共投进1球的概率.C级学科素养创新练16.如图所示,用A,B,C,D四种不同的元件分别连接成两个系统M,N.当元件A,B都正常工作或元件C正常工作或元件D正常工作时,系统M正常工作;当元件A,B都正常工作或元件B,D都正常工作或元件C正常工作时,系统N正常工作.已知A,B,C,D四种元件正常工作的概率分别为0.5,0.9,0.7,0.8,且各元件是否正常工作是彼此独立的.试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为合理.参考答案1.A左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46=23,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为22.C由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-35×1-23=215,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-215=1315.3.B设甲击中为事件A,乙击中为事件B,则P(AB)=P(A)·P(B)=0.9×0.7=0.63.故选B.4.D根据题意,依次分析选项:对于A,事件A与B为对立事件,则P(A∪B)=1,A正确;对于B,P(B)=23,P(C)=12,P(BC)=13,有P(B)P(C)=P(BC对于C,事件C=“第二次摸到红球”,包括事件“第一次摸到白球,第二次摸到红球”和事件“两个球都是红球”,C正确;对于D,因为P(B)=23,P(A)+P(D)=1-P(B)+P(D)=1-23+16=12,所以P(B)≠P(A)+P(D5.0.902设甲、乙、丙三颗卫星预报准确依次为事件A,B,C,不准确为事件A,B,C,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1,至少两颗预报准确的事件有ABC,ABC,ABC,∴至少两颗卫星预报准确的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.6.1323甲、乙两人都未能解决的概率为1-12×1-13=问题得到解决就是至少有1人能解决问题,∴P=1-137.解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=25,P(B)=34,P(C)=(1)∵A,B,C是相互独立事件,∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25(2)三种情形:①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1-②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=3208.D这两项都不合格的概率是1-则至少有一项合格的概率是1-359.D由题意知,P(A)P(B)=19,P(A)P(B)=P(A)P(B)设P(A)=x,P(B)=y,则(∴x2-2x+1=19,∴x-1=-13,或x-1=13∴x=23,即事件A发生的概率P(A)等于210.BC对于A,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,所以2个球都是红球的概率为13×1对于B,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,所以2个球中恰有1个红球的概率为13×1-12+1-13×12=12对于C,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,所以至少有1个红球的概率为13×1-12+1-13×12+13对于D,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,所以2个球不都是红球的概率为1-13×1故选BC.11.ACD对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-132×13=427,故A正确.对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能单独破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34=25,所以此密码被破译的概率为1-25=35,故B错误.对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=812=23,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=612=12.A设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(H)=12,P(T)=P(R)=1-12×12=34,故系统正常工作的概率P=1-P(T)P(R)P(G)P(13.1213∵P(ABC)=P(AB)P(C)=16P(∴P(C)=34,即P(C)=1又P(BC)=P(B)P(C)=18∴P(B)=12,P(B)=1又P(AB)=16,则P(