小专题(九)与正方形有关的常考模型

小专题(九)与正方形有关的常考模型

模型一：正方形中相交垂线段模型

分别连接正方形内两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图①中的线段AF与BE，图②中的线段AF与EG，图③中的线段HF与EG)满足：(1)若垂直，则相等；(2)若相等，却不一定垂直，如图④中的线段MN与AE.1．如图，在正方形ABCD中，E，F是边BC，CD上的点，且BE＝CF，连接AE，BF.若正方形ABCD的边长为8，CF＝6，则线段BG的长为

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2．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至边DC上的点E处，使DE＝5.若折痕为PQ，则PQ的长为

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模型二：正方形中一线三垂直模型

如图，已知正方形ABCD，过B，D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E，F，则△BCE≌△CDF.3．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过点D，B作DE⊥l于点E，BF⊥l于点F.若DE＝4，BF＝5，则EF的长为

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4．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°.∴∠DOF＋∠COF＝90°.∵∠EOF＝∠COE＋∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF.∴△COE≌△DOF(ASA)．∴CE＝DF.

模型四：正方形中的“外角平分线”模型

在正方形ABCD中，点E在射线CB上，EF交外角∠DCG的平分线(图①)或其所在直线(图②)于点F，AE⊥EF，则有AE＝EF.5．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)如图①，求证：AE＝EF；(1)证明：在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，∴AM＝EC，∠BAE＋∠AEB＝90°，∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°.∵CF平分正方形的外角，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.又∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△AME≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF.(2)如图②，当AB＝2，E是边BC的中点时，请直接写出CF的长．

模型五：正方形中的半角模型

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，GF，则有①EF＝BE＋DF；②△AGF是等腰直角三角形；③EA平分∠BEF，FA平分∠DFE；④△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍．6．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.(2)解：GE＝BE＋GD成立．理由：由(1)得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.又∵∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠GCD＝45