北师大版必修第二册52平面与平面垂直课时作业

【精编】5.2平面与平面垂直-1课时练习

一.填空题

1.三棱锥中，尸力,平面NBC,/8_L/C,尸4=JTU,48=2,40=&则三棱锥

P-ABC的外接球的表面积为.

2.如图，己知直四棱柱"88-44GR的所有棱长等于L^ABC=60,。和°i分别是上下底

面对角线的交点，〃在线段上，0H=3吸,点/在线段8Q上移动，则三棱锥历—CQ用的

体积最小值为.

3.如图，在三棱锥。一/8C中，三条侧棱°4,OB,0c两两垂直且相等，”是中点，则°财

与平面/AC所成角的大小是.（结果用反三角函数值表示）

4aBe所在平面a外一点P到三角形三个顶点距离相等，那么点P在平面a内的射影一定是MBC

的.

5.在四面体PN4C中，PCLPAfPC1PBfAP=BP=AB=2PC=2,则四面体0/4C外接

球的表面积是.

6.设°表示平面，久6表示直线,给定下列四个命题：

①a||a,a_L8=力||a；②a||人a_La=Z?_La；

③a_La,a_L6=>61|a；④QJ,a,bLa=>a^b.

其中正确的命题是（填序号）.

广^ABC=-

7.已知三棱锥?一月6c的四个顶点均在同一个球面上，底面MB。满足3"=6c='6,2,

若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为.

8.如图，已知四面体44。的棱43//平面a,且=6,其余的棱长均为1,四面体48。以

AS所在的直线为轴旋转x弧度，且始终在水平放置的平面°上方，如果将四面体488在平面〃内

正投影面积看成关于x的函数，记为S（'）,则函数S"）的取值范围为.

9.在空间四边形ABCD中,AC=BC,AD=BD,则异面直线AB与CD所成角的大小为.

10.正方体的体对角线与面对角线所成的角a的集合是.

11.在45。的二面角的一个半平面内有一点P,它到另一个半平面的距离等于1,则点尸到二面角的

棱的距离为.

273

12.己知四面体力内接于球0,且==亚,/C=2,若四面体45CO的体积为3,球

心0恰好在棱DA上，则球0的表面积是.

13.在我国古代数学名着《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖麝，在鳖膈

中，ZBJ■平面8CZ）,且有AB=BD=2fCD=\9点P是力。上的一个动

点，则AP8O的面积的最小值为.

14.如图，正三棱柱'8。一44。|中，4B=1,若二面角C-'8-C的大小为60。，则点到直

15.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖麝，如图所示，若四面体”“8为鳖摘，

且48,平面BCD,AB=BC=CD,则力。与平面48c所成角大小为（结果用反三角函

数值表示）

参考答案与试题解析

1.【答案】167r

【解析】根据题设位置关系，可知以0”为长.宽.高的长方体的外接球就是三棱侏「一”台。

的外接球，根据这一特点进行计算.

【详解】

设外接球的半径为R，则（2炉=PA2+AB2+AC2=\6

•••S=16〃

【点睛】

对于求解多条侧棱互相垂直的兀何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更

加方便计算出几何体外接球的半径.

2.【答案】9

48

【解析】因为G到平面BBRD（即三棱锥底面&MH）的距离为定值，所以当△OMH的面积取得最小值

时，三棱锥"一的体积最小，将平面RBRD单独画图可得，当点M在点B处时，△ONH的面

积有最小值，求出三棱锥C-GM”的体积即可。

【详解】

因为直四棱柱ABCD?AECR的底面是菱形,NABC=60°,边长为1,

且

平面BBRD,且0£尸2,。£=2,

\_

AC,到平面BB.D.D的距离为O.Cr2，

V0H=3HBP点M是线段BD上的动点,

・••当△OMH的面积取得最小值时，三棱锥的体积有最小值。

将平面BBRD单独画图可得，

当B点到0月的距离最小时，△O】MH的面积有最小值。

过点B做BF//O.H,可得直线BF上方的点到0.H的距离比直线BF上的点到O.H的距离小,而线段BD

上除B点外的所有点都在直线BF下方，到0,11的距离比B点到0H的距离大。

即当M点在B点时，△OMH的面积取得最小值，且三棱锥的体积有最小值。

「用72

连接0出，贝IJO|B=OB产＞'=4

lx且

2

BB「O\B\方向

・・・31到03的距离d=°产2:7,

・・.H到直线QB的距离为5d;14。

］八久1/IV7V21V3

・乜网/=212=2214=X

r/15oci.^1也

・Vc「o、BH=31<382=48

••o

也

故答案为：48。

【点睛】

本题考查了四棱柱的结构特征和三棱锥的体积计算，动态动点的最值问题需要先确定点的位置，属于

较难题。

arccos——

3.【答案】3

【解析】根据题意及线面垂直的判定定理可得43工平面°A/C,即可分析得点。在底面的射影在CW

上，即可找到线面角，结合余弦定理即可求解.

【详解】

连接CM,因为三条侧棱°彳，0B,℃两两垂直且相等，〃是48中点，所以△力BC为正三角形,

所以C"1'BQM,,所以48_L平面,过点。作°PLMC交MC于点p,则

上OPOPJ.平面4BC,所以NQMC即为0M与平面44C所成的角，不妨设侧棱长为2,则

OM=Ji,CM=R,在M)MC中，由余弦定理可得，

-OM2+MC2-OC22+6-4也

cosNOMC=-----------------=------y=—『=—

20MMC2x72x763，所以°历与平面ABC所成的角为

G

arccos——

3

6

arccos——

故答案为：3

【点睛】

本题主要考瓷线面角的求法，属于基础题.

4.【答案】外心

【解析】由MBC所在平面a外一点p到三角形三个顶点距离相等可得,斜线PA，PB，PC在底面的射

影相等；由三角形外心的性质可得是的外心.

【详解】

作图如下：

由题意可得，

PA=PB=PC

尸0J.面49C：

PO1OA、PO_LOB、PO1OC

故"OA二\POB=\POC

：.OA=OB=OC

故答案为:外心

【点睛】

本题主要考查线面垂直的性质及三角形外心的定义;属于中档题；

三角形外心是三角形外接圆的圆心，亦是三角形三边垂直平分线的交点；其性质：到三角形三个顶点的

距离相等.

197r

5.【答案】

3

【解析】由APAB为等边三角形，且PC，平面48可知，0H//PC、即可找到球心所在的位置，

列出等量关系即可求出半径.

【详解】

・：PC上P4,PCJ.PB,上平面P43.设。是外接球球心，〃是△48尸的中心，，平

OH=-PC=-PH=2x-x-=—R2=OP2=OH2+PH2=—

面P4B,则22,233,则12,故四面

体外接球的表面积是3

【点睛】

“切”“接”问题处理的注意事项

(1)“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如

果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.

⑵“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即

球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

6.【答案】②④

【解析】利用线面垂直的判定方法.线面垂直的性质定理及线面平行的判断方法.性质，对已知中的

四个结论逐一进行分析，即可得到答案.

【详解】

对于①，

〃||a,aJ_'=>Z，与a平行.相交或bua,

故①错误；

对于②，

a//b,aLa

山直线与平面亲直的性质：

两条直线平行，

其中一条直线垂直与一个平面，

则另外一条直线也垂直此平面.

:.bLa

故②正确；

对于③，

a1a,a_Lb

由线面垂直的性质可得，

6IIa，或bua

故③错误；’

对于④，

aLa,b_La

9

由垂直于同一平面的两直线平行，

allb

故④正确；

故答案为：②®

【点睛】

本题考查立体几何中的线面垂直的判定.线面垂直的性质和线面平行的判定.线面平行的性质；线面

垂直性质的应用是求解本题的关键;属于中档题；

32

7.【答案】—7T

【解析】画出示意图，利用体积最大时产所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.

【详解】

如图所示：

cccII-NABe=_

设球心为°，△/8C所在圆面的圆心为5‘平面"8C；因为氏4=8C=,6,12,

所以△NBC是等腰直角三角形，所以a是"C中点；所以当三棱锥体积最大时，。为射线°°与球

匕-4•00|£丽.瓜娓=3

的交点，所以3；因为2,设球的半径为H,所以

P(1=PO+001=R+小R?-AO：=H+正-3所以g(R+J内-3>3=3

,解得：R=2,所

以球的体积为：33.

【点睛】

本题考查三楂锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质,

例如：球心与小圆面圆心的连线垂宜于小圆面.

旦旦

8.【答案】~T91~

【解析】用极限法思考.当直线CC平面0时，S（x）有最小值,当直线CQ//平面a时，、（力有最

大值,这样就可以求出函数8（列的取值范围.

【详解】

取力§的中点A/,连接CM,DMvDA=DB,CA=CBAB_LCM,AB_LDM，于是有

平面CDW,所以48,。，=其余的棱长均为i,所以

AC1BC,CM=DMCM1DMi

2，"到C°的距离为2,

当直线CD•平面a时，1刃有最小值，最小值为：224.

q/丫\-xx[=~~~

当直线CO//平面a时，W有最大值,最大值为22

-V2叵

4'2

故答案为：L」

【点睛】

本题考查了棱锥的几何性质，考查了线面垂宜的判定与应用，考查了空间想象能力.

9.【答案】y

【解析】取力8的中点E,证明/8_L面COE,即可得出结果.

【详解】

解：如图，取“8的中点石，连结E.EC

•・•AC=BC,AD=BD

;.CEtAB,DEtAB

又CEC\DE=E,

:.4B上面CDE,又CDuCDE,

AB1CD9

71

异面直线AB与CD所成角的大小为万.

乃

故答案为：5.

【点

本题考查异面直线所成的角，可通过证明线面垂直得到，是基础题.

fV2I

10.【答案】^901,arctan—•

【解析】利用IF方体的性质.线而垂育的判定与件质以及线而角的定义即可得出.

【详解】

如下图所示，

连接4c.4G,则BO_L4C,CC,±BD

Q4cleq=C,,BO_L平面4CG4,◊力q匚平面/。。/、BD1AC,

体对角线"G与面对角线所成角为90'.

/-“_A/.tan/C/C］二5^二

A

设正方体的棱长为1,则dC=J2,G-、3,AC2.

arctan^

••体对角线AC'与面对角线AC所成角为2

••正方体的体对角线与面对角线所成的角a的集合是

故答案为：J.

【点睛】

本区考查正方体的性质.线面垂直的判定与性质，考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

11.【答案】72

【解析［尸为二面角a-1一夕的一个面二内一点.是它到另一个面夕的距离，P0=\PH是它到

棱的距离.得出4PH。为二面角0一/一夕的平面角,在RUH。中求解即可.

【详解】

作图如下:

P为二面角0一，一夕的一个面白内一点.

P°是它到另一个面夕的距离，

P0=\

PH是它到棱的距离.

・・•POLP

POLI9

乂PH工1,

.•」J.平面P。"，

得出UOH,

所以NPHO为二面角0.的平面角,

:"PHO=45。

在Rt住PHO中

故答案为：、后.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定和性质及二面角的平面角的定义;把语言文字转化为数学图形是求解本题的

关犍;属于中档题;考查学生的空间想象能力.

12.【答案】16万

【解析】根据力"=8C=应,4C=2,可知△48c为直角三角形，其外接圆的圆心为AC的中点°、

连0°,可知。0，平面48C,根据为的中点可知平面力BC,所以QC为

四面体彳〃8的高,根据四面体18CO的体积可求得QC,在直角三角形中由勾股定理可求得

外接球的直径40,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面枳.

【详解】

如图:在三角形ABC中，因为+=所以△48C为直角三角形，所以三角形ABC的外接圆

的圆心为AC的中点a，连°Q,根据垂径定理,可得°a■平面“sc,因为°，«为“°，4°的中点

可知OC_L平面48C,所以QC为四面体48CO的高.

所以"吟3应=?解得公2技所以/。7（2百）3=4

所以四面体/8C。的外接球的半径为2,表面积为4乃*=4^x22=16乃.

D

B

【点睛】

本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积，球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到

DC1平面是解题关键.属于中档题.

13.【答案】正

5

【解析怖•,8C于。，QM,9于M,连接PM,由题意可得，也〃M，QW"°,易得8。JL

平面尸，即PM1BD,故求"BD面积的最小值转化为求出PM的最小值即可.

【详解】

作PQJ.3C于0

QMA.BD^M

连接PM,

在螯腌4—8。中，

/B_L平面BCD,

且有80,。，

AB=BD=2,

CD=T

所以PQ//M?,

Q^\\CD

易得，’

PO1RD,QM1RD

又切。M=。

故8Q_L平面。。河，

所以PM_LBO,

POOCQMBO

-2=~V~5f=~，1=-后7=-，

史竿,20”竿

即15V5,

PQ+2QM=2（5°；0C）=2

所以小^

设gw=M0（x<i）

则尸。=2-2》，

因为PQ1QM,

PM=J（啮+（0/）2=J（2-2X）2+X2=，5」-8X+4

n\vA,

4

x=—

二•当5时，

2M

PM最小为了.

S\pm=LxBDxPM=Lx2义PM=PM

因为22,