全国初中数学竞赛试题

全国初中数学竞赛试题

考试时间4月2日早晨9：30-11：30满分120分

一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号

为A,B,C,D四个选项，其中有且只有一个选项是正确。请将正确选项代号

填入题后括号里。不填、多填或错填均得。分)

1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；而且从

10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时

经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施千米数是()

(A)36(B)37(C)55(D)90

2.已知〃?=1+&,n=1-V2,且(7〃一一14〃?+。)(3〃2一6〃-7)=8,则。值等于

()

(A)-5(B)5(C)-9(D)9

3.RtAABC三个顶点4,&C均在抛物线y=/上，而且斜边AB平行于x轴.若

斜边上高为/?，则()

(A)h<\(B)/!=1(C)1</?<2(D)h>2

4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点直线将其剪成两部分；拿出其

中一部分，再沿一条不过任何顶点直线将其剪成两部分；又从得到三部分中拿出

其中之一，还是沿一条不过任何顶点直线将其剪成两部分……如此下去，最终得

到了34个六十一边形和一些多边形纸片，则最少要剪刀数是()

(A)(B)(C)(D)

5.如图，正方形A8C。内接于。。，点P在劣弧AB上，连结OP,交AC于点

。.若QP=QO,则空值为()

04

(A)2V3-1

(B)25/3

(C)V3+J2

(D)V3+2

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6.已知a,b,c为整数，且a+b=,c-a=.若t/<b,则a+b+c最大值

为.

7.如图，面积为c正方形OEFG内接于

面积为1正三角形A8C,其中mb,c为整数，

BEFC

且b不能被任何质数平方整除，则二值

（第7题图）

等于___________

8.正五边形广场AACQE周长为米.甲、乙两人分别从4、C两点同时出发，沿

八一8一。一。一£一人一…方向绕广场行走:，甲速度为50米/分，乙速度为46米/

分.那么出发后经过_______分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

］「7~\「90~|

9.已知0＜。＜1,且满足〃-+ciH+…+ciH------=18,则［lOa］值等于

_30」30」30」

.（同表示不超出入最大整数）

10.小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加

上数字8,成为一个七位数电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2,

成为一个八位数电话号码.小明发觉，他家两次升位后电话号码八位数，恰是原

来电话号码六位数81倍，则小明家原来电话号码是.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11.已知x”，人为互质正整数（即”，人是正整数，且它们最大条约数为

1）,且〃W8,V2—1<x<-^3—1.

（1）试写出一个满足条件］;

（2）求全部满足条件上

12.设“，b,。为互不相等实数，且满足关系式

b2+c2=2a1+16«+14①

hc=G2-4a-5②

求a取值范围.

13.如图，点〃为。。外一点，过点尸作。。两条切线，切点分别为A,B.过

点4作P8平行线，交。。于点C.连结PC,交。。于点E；连结AE,并延长

AE交PB于点K.求证：PE・AC=CE・KB.

14.10个学生参加〃个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生最少参

加某一个小组，任意两个课外小组，最少能够找到两个学生，他们都不在这两个

课外小组中.求〃最小值.

全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,

B,C,D四个选项，其中有且只有一个选项是正确。请将正确选项代号填入题后括号里。

不填、多填或错填均得。分)

1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌：而且从10千

米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,

那么第二次同时经过这两种设施千米数是()

(A)36(B)37(C)55(D)90

答：C.

解.：因为4和9最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施千米数

是在55千米处.

故选C.

2.已知机=1+J2,〃=1一&,且(7〃?2一|46+々乂3〃2-6〃-7)=8,则a值等

于()

(A)-5(B)5(C)-9(D)9

答：C.

解：由已知可得〃/-2,〃=1,n2-2n=\.又

(1m2-14w+a\3n2-6«-7)=8,所以(74-«)(3-7)=8解得”=一9

故选C.

3.RtaABC三个顶点A,B,。均在抛物线y=/上，而且斜边A8平行于x轴.若

斜边上高为力，则()

(A)/?<1(B)h=\(C)l</i<2(D)h>2

答：B.

解：设点A坐标为(a,a2),点C坐标为(c,c2)(|c|<|a|),则点B坐标为

(-a,a2),由勾股定理,得AC?=9-°)2+。2—°2)2,

BC2=(c+a)2+(c2-a2)2,AC2+BC1=AB2

所以(a2-c2)2=a2-c2.

因为所以42一/=[,故斜边人8上高心/一d=1

故选B.

4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点直线将其剪成两部分；拿出其中一

部分，再沿一条不过任何顶点直线将其剪成两部分：又从得到三部分中拿出其中之一，还是

沿一条不过任何顶点直线将其剪成两部分……如此下去，最终得到了34个六十二边形和■

些多边形纸片，则最少要剪刀数是()

(A)(B)(C)(D)

答：B.

解：依照题意，用剪刀沿不过顶点直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分内角

和增加360°.于是，剪过k次后，可得(k+1)个多边形，这些多边形内角和为(k+l)X360°.

因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形，它们内角和为34X(62-2)X1800=34

X6OXI8O0,其余多边形有(k+l)-34=k—33(个),而这些多边形内角和不少于在一33)X

180°.所以(k+1)X360°234X60X1800+(k—33)XI80°,解得kN.

当我们按以下方式剪刀时，能够得到符合条件结论.先从正方形上剪下I个三角形，

得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下I个三角形，得到2个三角形和1个六边

形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形.再取33个三角形，

在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形.对这33个四边形，按上述

正方形剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33X58个三角形.于是共剪了

58+33+33X58=(刀).

故选B.

5.如图，正方形A8C。内接于。O,点。在劣弧48上，连结。P,交AC于点Q.若

QP=QO,则空值为(

QA

(A)2>/3-1

(B)273

/笛c闵、

(C)V3+V2

(D)V3+2

答：D.

即------1=r2-m2，解得ni=r

\〃】）3

所以，生=匕?=2=百+2

QAr-mV3-1

故选D.

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6.已知a,b,c为整数，且a+b=,c-a=.若a<b,则a+b+c最大值

为.

答：5013.

解：由。+Z?=2006,c-a=2005,得。+b+c=a+4011.

因为。+。=2006,«<b,。为整数，所以，。最大值为1002.

于是，a+b+c最大值为5013.

7.如图，面积为。、历3正方形OEFG内接于

7,b,C为整数，\

面积为【正三角形A3C,其中,

BEFC

（第7题图）

且b不能被任何质数平方整除，则值

b

等广

答:T

,4

解:设正方形。EFG边长为x,正三角形4BC边长为m，则，/=耳

V3

x-Ym-x

由△AOGs/XABC,可得一=上尸——解得工=（26一3），〃

mJ3

——m

2

于是/二（2百一3）2〃?？=2873-48,

由题意，。=28,b=3,c=48,所以伫£=-型

b3

8.正五边形广场A8CQE周长为米.甲、乙两人分别从A、。两点同时山发，沿A-

8一。一。一£一八一…方向绕广场行走，甲速度为50米/分，乙速度为46米/分.那么出发后

经过,分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

答：104.

解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x

400r

米，乙走了46X——-=368x米.于是368（工一1）+800—400（.1—1）>400,

50

故日3.此时八誓=1。4・

所以，12.5WK13.5.

29

9.已知0<a<\,且满足a+—++…+a+——=18,则㈣值等

3030

于..（卜］表示不超出x最大整数）

答：6.

122912

解：因为0<ClH------<64-------<・・・<。H-------<2,所以CI+a+一

3030303030

a+—等于0或1.由题设知，其中有18个等于1,所以

30

111329

a+一a+ClH----=0,a+lla+一a+一

30i30303030

1112

所以0<aH---<1r1Wa+—v2.

3030

故18W30a<19,于是6W10a〈g,所以[l(Kv]=6.

10.小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数

字8,成为一个七位数电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数

电话号码.小明发觉，他家两次升位后电话号码八位数，恰是原来电话号码六位数81倍，

则小明家原来电话号码是.

答：282500.

解：设原来电话号码六位数为罚两，则经过两次升位后电话号码八位数为

laSbcdef.依照题意，有81Xabcdef=laSbcdef.

记x=/?xl04+cxl0'+dxl02+exl0+/,于是

SIxt/xIO5+81A=208X1054-tzxlO6+x,

解得41250X(208—71“).

172208

因为OWxVlO',所以0W1250X(2O8—71a)Vl()5,故匕<〃w".

7171

因为a为整数，所以。=2.于是尸1250X(208—71X2)=82500.

所以，小明家原来电话号码为2825(H).

三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分)

11.已知x=2,。，〃为互质正整数(即a,〃是正整数，且它们最大条约数为1),

a

且aW8,V2—1<x<V3—1.

(1)试写出一个满足条件x；

(2)求全部满足条件工

解：(1)x=—满足条件...........5分

(2)因为x=。，为互质正整数，且〃W8,所以

a

当a=l时，(V2-l)xl</?<(V3-l)xl,这么正整数〃不存在.

当a=2时，(JJ-1)x2<b<(石-1)x2,故匕=1,此时x

2

当a=3时，(JJ-l)x3<Z?<(J5—1)x3,故〃=2,此时工=一.

3

当4=4时，(V2-1)X4</7<(V3-1)X4,与。互质正整数〃不存在.

当a=5时，(V2-l)x5</?<(V3-l)x5,故。=3,此时x=3

5

当a=6时，(Ji-l)x6〈力<(JJ-l)x6,与。互质正整数力不存在.

34s

当4=7时，(豉-1)'7<力<(石一1)x7,故8=3,4,5此时x=—,—>—.

777

故〃=5,此时工=2

当a=8时，(V2-l)x8</?<(V3-l)x8,

8

1233455

所以，满足条件全部分数为一，一，士，士,,・••••••••••••••••••15分

2357778

12.设〃，b,c为互不相等实数，且满足关系式

b2+c2=2a2+16c/+14①

bc=a2-4a-5②

求。取值范用.

解法一：由①一"②得Si》=24(〃+1)>0,所以〃>一1.

当a>—1时，〃+c'2=2a?++14=2(。+1)(。+7)>0.......................10分

22

又当初a=〃，由①，②得c=a+16a+14f③

ac=a2-4a-5④

将④两边平方,结合③得a2Q2+ma+1%=伍2-4。-5)2

化简得24/+&--404—25=0,故(6。+5)(4〃2一2。-5)=0,

:5...1土国

解得a=——，或〃=-------.

64

所以，。取值范围为。>一1且。工-9,a」士卢1...................15分

64

解法二：因为/尸+。2=2。2+13+14,bc=a2-4a-5,所以

(b+c)2=2a2+16。+14+2(。2-4a-5)=4a2+8a+4=4(a+l)2,

所以/9+C=±2(«+1).又bc=az-40-5,所以匕，c为一元二次方程

A2±2(«+l)A+a2-4a—5=0(§)

两个不相等实数根，故A=4(。+1)2-4(〃2一4。-5)>0,所以〃〉一1.

当。>一1时，b2+c2=2a2+1+14=2(a+1)(«4-7)>0.....................10分

另外，当初a=b,由⑤式有a?±2(a+1)。+。2-4。-5=0,

即4a2-2a-5=0或-&/-5=0,解得，a="'"l或q_

46

当初a=c,同理可得a=_，或a二1±-21.

64

所以，。取值范围为A—I且。工一9,aJ='2..................]5分

64

13.如图，点尸为。。外一点，过点P作。O两条切线，切点分别为A,B.过点A

作PH平行线，交。。于点C.连结〃C,交。。于点法连结AE,并延长AK父PB于点K.求

证：PE・AC=CE・KB./\

证实：因为AC/PB,所以/KPE=NACE.又必是。。切线,/\

所以NKAP=/ACE,故/KPE=/KAP,于是

△KPESAKAP,

KPKE

所以即KP2=KEKA.

~KA~~KP

由切割线定理得KB1=K