2025-2026学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x(x−3)<0}，B={x|x≤−1或x>2}，则A∩(∁RB)=A.(0,2] B.(2,3) C.[1,2] D.{1,2}2.下列命题是真命题的是(

)A.∀x∈R，x2+x>0 B.∃x∈R，x2<x

C.x∈Q是x∈Z的充分不必要条件 D.3.已知随机变量X～N(1,σ2)，且P(X>2)=0.2，则P(0<X≤1)=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.64.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如图等高条形图：

根据图中的信息，下列结论中不正确的是(

)A.样本中多数男生喜欢手机支付

B.样本中的女生数量少于男生数量

C.样本中多数女生喜欢现金支付

D.样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量5.已知数列{an2n+1}是首项为1，公差为2的等差数列，则数列{1aA.37 B.511 C.7156.若存在x∈(−2,−1)，使得不等式x2−kx+2>0成立，则实数k的取值范围为(

)A.(−22,+∞) B.(−∞,−22)7.已知点P为抛物线y=14x2上的动点，点P在x轴上的射影为点H，点A的坐标为(12,6)，则|PA|+|PH|A.13 B.12 C.11 D.108.已知函数f(x)=xcosx−asin2x，若当x∈(0,π4)时，f(x)>0，则a的最大值为A.−1 B.0 C.12 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为y=0.65x−1.8，若a，b，c成等差数列，则x4681012ya2bc6A.变量x与y的样本相关系数r>0 B.b=3

C.当x=6时，残差为−0.1 D.当x=20时，y的预测值为11.310.已知在(x+2x)n的展开式中，第3项的二项式系数与第5A.n=8 B.第4项的二项式系数最大

C.x2的系数为60 D.展开式各项系数之和为11.下列说法正确的有(

)A.4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种

B.4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种

C.盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出(取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球)的概率是730

D.把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记X为装有球的盒子的个数，则X的期望值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a>0，b>0，1a+1b=1，则a+b的最小值是13.若命题“∃x∈R，x2+x−m<0”为假命题，则实数m的取值范围是

．14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

若函数f(x)=ax−lnx．

(1)当a=2时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)已知a>1e(e为自然对数函数的底数)，若f(x)在区间(0,e]上的最小值为3，求实数16.(本小题15分)

如图所示，已知多面体ABCDEP中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，DE=12AP．

(1)证明：CE//平面PAB；

(2)设AB=AP=2，求平面BPC与平面17.(本小题15分)

随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．

(1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：选择新能源汽车选择传统汽车总计40岁以下703010040岁及以上4060100总计11090200(i)记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为P，求P的估计值；

(ii)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关．

(2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y(单位：万台)关于年份x的线性回归方程y=4.7x−9495.2，且销售量y的方差为sy2=50，年份x的方差为sx2=2.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱．

附：(i)在线性回归方程y​=b​x+a​中，b=i=1nα0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82818.(本小题17分)

雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为23，答错的概率为13，且每道题答对与否互不影响．

(1)求小王答3道题后积分小于6的概率；

(2)设小王答4道题后积分为X，求E(X)；

(3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为i(i=0,1,2,…,12)时，最终积分为12的概率为Pi，请直接写出P0和P19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为D(2,0)，离心率为12，过C的左焦点F的直线与C交于异于点D的A，B两点．

(1)求椭圆C的方程．

(2)记直线AB的斜率为k，直线AD与直线BD的斜率分别为k1，k2，

(i)若k参考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.A

6.C

7.B

8.C

9.ABC

10.BC

11.ACD

12.4

13.(−∞,−114.615.解：(1)∵f(x)=2x−lnx，则f′(x)=2−1x，

可得f′(1)=1，f(1)=2，

∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x+1．

(2)∵f(x)=ax−lnx，则f′(x)=a−1x=ax−1x，a>1e，

由f′(x)<0可得0<x<1a，由f′(x)>0可得x>1a，

∴函数f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,e]上单调递增，

∴f(x)min=f(1a)=1−ln1a=1+lna=3，解得a=e2，符合题意．

综上，a=e2．

16.解：(1)证明：∵DE=12AP，且DE与AP无公共点，

∴DE//AP，

∵AP⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，

∴DE//平面PAB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD//AB，

∵AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，

∴CD//平面PAB，

∵CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDE，

∴平面CDE//平面PAB，

又CE⊂平面CDE，

∴CE//平面PAB．

(2)∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，∵AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直，

∴以点A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示．

则B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，E(0,2,1)，

∴BC=(0,2,0)，CP=(−2,−2,2)，CE=(−2,0,1)，

设平面BPC的一个法向量为m=(x,y,z)，

则BC⊥mCP⊥m，则17.解：(1)(i)样本中选择新能源汽车者共有110人，其中年龄在40岁以下共70人，

所以选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为70110=711，

由样本估计总体，所以选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率P=711；

(ii)零假设为H0：选择新能源汽车与年龄无关，

所以χ2=200×(70×60−30×40)2100×100×110×90=20011≈18.182>10.828，

依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，

即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过0.001；

(2)根据公式r=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2，b=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，

得r=b⋅i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2=b⋅nsx2nsy2=b⋅sxsy=4.7×250=0.94>0.9，

故y与x线性相关性很强．

18.解：(1)小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1