离散数学及应用 课件 3.2-3 集合的基本运算

DiscreteMathematics鄢小虎

离散数学2集合之间的关系

包含（子集）

A

B

x(x

A

x

B)

不包含A⊈B

x(x

A

x

B)

相等

A=B

A

B

B

A

不相等A

B

真子集

A

B

A

B

A

B

非真子集

A

B

思考：

和

的定义注意：（元素）和（集合）是不同层次的问题3集合间的关系A＝｛1，2，3，4｝B＝｛3，1，4，2｝C＝｛x|x是深职大24人工智能本的学生｝D＝｛柯秋彤,覃茜,陈一名｝E＝｛柯秋彤,杨汉鸿,陈一名,鄢小虎｝关系：A=BD

C或者D

C

选人回答：E和C是什么关系？4空集与全集空集

不含任何元素的集合实例{x|x2+1=0xR}就是空集定理空集是任何集合的子集

A

x(x

x

A)T

（推理见定理3.1）

推论空集是惟一的.证

假设存在1和2，则1

2且1

2，因此1=2全集E

相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即

A

(A

E

)5n元集n元集:含有n个元素的集合称为n元集0元集:

∅1元集,如{a},{b}在n元集中，含有m(m≤n)个元素的子集成为它的m元子集6幂集定义全部子集构成的集合，记P(A)={x|x

A

}实例

P(

)={

}，

P({

})={

,{

}}

P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数：如果|A|=n，则|P(A)|=2n=

课堂练习：设A={{1},1},B={a,{b,c},

}求P(A),P(B)73.2集合的基本运算集合基本运算的定义

文氏图（JohnVenn）例题集合运算的算律集合包含或恒等式的证明8集合基本运算的定义并

A

B={x|x

A

x

B}交

A

B={x|x

A

x

B}相对补

A

B={x|x

A

x

B}对称差

A

B=(A

B)

(B

A)=(A

B)(A

B)

绝对补

A=E

A

9文氏图表示大矩形表示全集E，圆的内部表示集合10课堂练习A＝｛韩先泰,刘东璟,陈至钊｝B＝｛刘东璟,陈泓,林佩汶｝请计算：A

B,A

B,A

B,A

B？11课堂练习练习：第4题。12课堂练习分别对条件(1)到(5)，确定X集合与下述那些集合相等。

S1={1,2,…,8,9},S2={2,4,6,8},S3={1,3,5,7,9},

S4={3,4,5},S5={3,5}

若X

S3=,则X

若X

S4,X

S2=,则X若X

S3=,则X

若X

S4=,

则X=S2=S5=S3,S5=S4,S513并运算通过编程实现求给定集合A和B的并集C的运算。提示：C=A

B={x|x

A

x

B}。输入集合为a,b，输出集合为c，即

c=bing(a,b)。注意：利用set()将c设置为空集，将集合a中与b中相同的元素删除。实例：A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}。14交运算通过编程实现求给定集合A和B的交集C的运算。提示：C=A

B={x|x

A

x

B}.实例：A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}.输入集合为a,b，输出集合为c，即c=jiao(a,b)15相对补运算通过编程实现求给定集合A和B的相对补集C的运算。提示：C=A

B={x|x

A

x

B}.实例：A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}输入集合为a,b，输出集合为c，即c=bu(a,b)16对称差运算通过编程实现求给定集合A和B的差集C的运算。提示：A

B=(A

B)

(B

A)=(A

B)(A

B)

实例：A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}将该代码转换为函数：

c=bing(bu(a,b)，bu(b,a)）或c=bu(bing(a,b)，jiao(b,a)）17课前复习1.集合的性质：明确性、互异性、无序性2.计算幂集：全体子集构成的集合

计算步骤？个数？练习：第10题18课前复习3.集合的基本运算交、并、相对补(理解定义并能编程实现)jiao,bing,bu19关于运算的说明运算顺序：和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推广到有穷个集合上，即

A1

A2

…An={x|x

A1

x

A2

…

x

An}

A1

A2

…An={x|x

A1

x

A2

…

x

An}某些重要结论

A

B

AA

B=

A

B=A20

交换A

B=B

AA

B=B

A结合(A

B)C=A

(B

C)(A

B)C=A

(B

C)幂等A

A=AA

A=A

与

与

分配A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)吸收A

(A

B)=AA

(A

B)=A集合运算的算律吸收律的前提：、可交换21集合运算的算律（续）

D.M律A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)

(B

C)=B

C

(B

C)=B

C双重否定

A=A

E补元律A

A=A

A=E零律A

=

A

E=E同一律A

=AA

E=A否定

=E

E=22算律的证明利用程序验证结合律：(A

B)C=A

(B

C)分配律：A

(B

C)=(A

B)(A

C)D.M律：A

(B

C)=(A

B)(A

C)提示：令A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}

，C={2,3,5,9}23算律的证明bing(bing(A,B),C)=bing(A,bing(B,C))bing(A,jiao(B,C))=jiao(bing(A,B),bing(A,C))bu(A,bing(B,C))=jiao(bu(A,B),bu(A,C))24集合的基数与有穷集合包含排斥原理有穷集的计数3.3集合中元素的计数25集合A的基数：集合A中的元素数，记作cardA有穷集

A：cardA=|A|=n，n为自然数.有穷集的实例：

A={a,b,c},cardA=|A|=3

B={x|x2+1=0,x

R},cardB=|B|=0

设C是深职大23人工智能本学生组成的集合,则

C=31；特别地，|∅|=0无穷集的实例：

N,Z,Q,R,C等集合的基数与有穷集合26文氏图解决计数问题：

一条性质决定一个集合，没有特殊说明，任意两个集合都是相交的，步骤如下：文氏图27解：例190个程序员，熟悉Python的有43名，熟悉C的有32名，18人熟悉两种语言。请问有多少人对两种语言都不懂？应用28课堂练习视频讲解：/video/BV1of4y1w7Eo/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=a51ca7f1bea47936da95136bb729af5429项目化任务医疗专家系统围绕症状识别、药物筛查、检查建议、疾病对比和医生推荐等功能展开，借助交集、并集、差集和对称差集等基本集合操作，实现对医疗信息的智能处理。系统中预先建立一个疾病数据库，其中包含每种疾病的基本信息，如典型症状、建议药物和必要检查项目。每种疾病的信息采用一种类似“字典”的方式存储，其中各项数据（症状、药物、检查）均以集合形式进行描述。30项目化任务当系统接收到患者的症状信息时，首先将这些症状视为一个集合，然后与预先定义的每种疾病的症状集合进行比较。这种比较主要侧重于计算两个集合的重合部分（即交集），从而直观反映出患者与每种疾病之间可能的匹配程度。为使匹配结果具有可比性，系统采用一种比例计算方法，将患者匹配到的症状数量与每个疾病的典型症状总数进行比较，形成一个相似度指标。这一量化方法有助于对所有候选疾病排序，优先推荐最有可能的疾病作为初步诊断依据。31项目化任务在医疗过程中，一个重要环节是防止患者使用过敏或有风险的药物。系统通过对医生所开药物信息进行分析，提前剔除掉与患者已知过敏药物的部分。核心思想是利用集合差集的操作，将完整处方药物集合与患者过敏药物集合进行比较，去除风险药品，留下安全选项。基于初步的诊断结果，系统需要生成一份全面的检查建议。这一过程首先明确可能涉及的多个疾病，然后将每种疾病对应的检查项目收集并整合成一个完整的建议清单。这种整合采用的是类似集合并集的逻辑，可以自动移除重复项，确保所有必要的检查都得到覆盖。32项目化任务为了帮助医生进一步区分相似症状的不同疾病，系统提供了一个差异性诊断功能。其核心在于对比两种疾病的症状集合，找出各自独有的症状部分。这种做法能明确展示出疾病间的关键区别，为进一步的诊断提供有力参考。该模块依赖于集