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DiscreteMathematics鄢小虎

离散数学24.4关系的闭包闭包定义闭包的构造方法集合表示矩阵表示图表示闭包的性质3为什么需要闭包？有时候希望关系R有一些性质，如：自反（对称或传递）性。为此，需要再R中加入一些有序对，构成新的关系R

，使得R

具有所需的性质，但又希望有序对尽可能少。满足以上要求的R

就是R的自反（对称或传递）闭包。说明：本书只研究自反、对称、传递闭包4闭包定义

定义设R是非空集合A上的关系,R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R

,使得R

满足以下条件：

（1）R

是自反的（对称的或传递的）

（2）R

R

（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R

有R

R

.(有序对尽量少)

一般将R的自反闭包记作r(R),对称闭包记作s(R),传递闭包记作t(R).5闭包的构造方法(应用)定理1设R为A上的关系,则有

(1)r(R)=R∪R0

(2)s(R)=R∪R

1

(3)t(R)=R∪R2∪R3∪…

说明：对于有穷集合A(|A|=n)上的关系,(3)中的并最多不超过Rn.

若R是自反的，则r(R)=R;若R是对称的，则

s(R)=R;若R是传递的，则t(R)=R.A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<a,d>}计算集合A的自反、对称和传递闭包，并编程验证依据：(1)r(R)=R∪R0(R0

=IA)

(2)s(R)=R∪R

1

(3)t(R)=R∪R2∪R3∪…

6课堂练习设关系R,r(R),s(R),t(R)的关系矩阵分别为M,Mr,Ms和Mt,则

Mr=M+EMs=M+M

Mt=M+M2+M3+…E是和M同阶的单位矩阵,M

是M的转置矩阵.注意：在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加，即为：0+0=00+1=11+0=11+1=17闭包的构造方法（续）从键盘输入一个关系的关系矩阵，计算其自反、对称和传递闭包提示：Mr=M+EMs=M+M

Mt=M+M2+M3+…实例：A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<a,d>}8编程练习9闭包的构造方法（续）设关系R,r(R),s(R),t(R)的关系图分别记为G,Gr,Gs,Gt,则Gr,Gs,Gt的顶点集与G的顶点集相等.除了G的边以外,以下述方法添加新边：

考察G的每个顶点,如果没有环就加上一个环，最终得到Gr.考察G的每条边,如果有一条xi到xj的单向边,i≠j,则在G中加一条xj到xi的反方向边，最终得到Gs.考察G的每个顶点xi,找从xi出发的每一条路径，如果从xi到路径中任何结点xj没有边，就加上这条边.当检查完所有的顶点后就得到图Gt.10实例例1设A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>},R、

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